Fag

Fagstoff

Video

Grunnleggande om logikk og bevisføring

Her repeterer vi noko av det mest grunnleggande i bevisføring og jobbar vidare med det.

I emnet "Implikasjon, ekvivalens og nokre matematiske bevistypar" i 1T kunne du lære det mest grunnleggande om matematisk bevisføring. I denne artikkelen vil vi gjenta noko av det som står der og dessutan gå gjennom ein ny type bevis.

Implikasjon og ekvivalens

Vi ser på dei to matematiske utsegnene:

$\begin{array}{rcl} p : 2 x + 4 & = & 8 \\ q : x & = & 2 \end{array}$

Vi kan seie at dersom $p$ er sann, må òg $q$ vere sann. Vi kan òg seie at $p$ medfører, eller impliserer, $q$ . Dette skriv vi med matematiske symbol slik:

$p \Rightarrow q$

Denne utsegna les vi som " $p$ medfører $q$ ", eller som " $2 x + 4 = 8$ medfører at $x = 2$ ".

Symbolet " $\Rightarrow$ " kallar vi ei implikasjonspil. Denne kan gå anten frå venstre mot høgre eller frå høgre mot venstre. Det vil seie at vi like gjerne kunne ha skrive $q \Leftarrow p$ . Vi vil likevel lese dette som at " $p$ medfører $q$ ". På grunn av lesarvennlegheita er det vanleg å skrive i den rekkefølga vi les, med mindre det er gode grunnar til å gjere noko anna. Pilene kan elles òg skrivast oppover eller nedover.

Er det sånn at $q \Rightarrow p$ også?

Svar

Ja, det er det. Dersom det er sant at $x = 2$ , må det òg vere sant at $2 x + 4 = 8$ .

I ein slik situasjon der vi kan seie at implikasjonen går begge vegar, har vi det vi kallar for ein ekvivalens. Vi har eit eige symbol for dette, ei ekvivalenspil, som er ein kombinasjon av dei to implikasjonspilene. Vi kan skrive

$p \Leftrightarrow q$

Dette blir lese som " $p$ er ekvivalent med $q$ " og betyr at inga av utsegnene kan vere sanne utan at det andre òg er sant.

Vi ser på to nye utsegner:

$\begin{array}{rcl} p : (x - 2)^{2} & = & 16 \\ q : x & = & 6 \end{array}$

Kva for nokre av utsegnene under er sanne? Tenk nøye gjennom det før du klikkar på boksen.

$p \Rightarrow q$
$q \Rightarrow p$
$q \Leftarrow p$
$p \Leftarrow q$
$p \Leftrightarrow q$

Svar

Dei rette utsegnene er 2 og 4. Desse to utsegnene er eigentleg den same utsegna, som seier at " $q$ medfører $p$ ".

Vi har at $q : x = 6$ . Dersom dette er sant, må vi òg ha at $p$ er sant. Det kan vi vise ved å setje inn $x = 6$ i $p$ :

$\begin{array}{rcl} (x - 2)^{2} & = & (6 - 2)^{2} \\ = & 4^{2} \\ = & 16 \end{array}$

Men kvifor har vi ikkje implikasjon den andre vegen? Vi løyser likninga i utsegn $p$ :

$\begin{array}{rcl} (x - 2)^{2} & = & 16 \\ x - 2 & = & \pm 4 \\ x & = & 6 \lor x = - 2 \end{array}$

Her ser vi at dersom $p$ er sant, treng likevel ikkje $q$ å vere sant. Vi kan òg ha at $x = - 2$ . Her har vi dermed ikkje nokon ekvivalens, men berre ein implikasjon den eine vegen.

Når vi skal sjekke om vi har ekvivalens, må vi hugse å sjekke om implikasjonen går begge vegar!

Ulike typar bevis

Det finst mange måtar å føre matematiske bevis på. I 1T fekk du lære om direkte bevis, kontrapositive bevis og bevis med motdøme. Du kan lese meir om desse bevistypane i artikkelen "Nokre matematiske bevistypar". Direkte bevis er nok det du har møtt mest av, og som regel er det det du har gjort i oppgåver der det står "vis at ...". I R2 skal du få møte fleire former for bevis, mellom anna induksjonsbevis, som kjem i ein seinare artikkel.

Bevis ved sjølvmotseiing

Her skal vi vise ein bevistype som vi kan kalle bevis ved sjølvmotseiing. Det inneber at vi i staden for å bevise at noko er sant, prøver å bevise at det motsette er sant. Mot slutten av beviset vil vi då komme fram til ei sjølvmotseiing, og den opphavlege utsegna er bevist.

Påstand: $\sqrt{3}$ er eit irrasjonalt tal.

Kva betyr det at eit tal er irrasjonalt, igjen?

Eit rasjonalt tal er eit tal som kan skrivast som ein brøk med heile tal i teljaren og nemnaren. Det vil seie at eit irrasjonalt tal er eit tal som ikkje kan skrivast som ein brøk med heile tal i teljaren og nemnaren.

To vanlege døme på irrasjonale tal er $π$ og $e$ .

Vi ønsker å bevise at $\sqrt{3}$ er irrasjonalt ved å prøve å bevise det motsette, nemleg at det faktisk er rasjonalt. Dersom det er rasjonalt, kan vi skrive $\sqrt{3}$ som ein brøk med heile tal i teljaren og nemnaren. Vi tenker oss at vi forkortar brøken så langt vi kan, slik at teljaren og nemnaren ikkje har nokon felles faktorar.

Vi startar med å setje opp det første uttrykket, og så jobbar vi oss nedover med implikasjonar og ekvivalensar:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{3} & = & \frac{a}{b} \\ ⇓ \\ 3 & = & \frac{a^{2}}{b^{2}} \\ ⇕ \\ 3 b^{2} & = & a^{2} \end{array}$

For at $a^{2}$ skal kunne vere lik $3 b^{2}$ , må vi ha at 3 er ein faktor i $a$ . Kvifor det, trur du?

Forklaring

Dersom to tal skal vere like, må dei òg bestå av dei same faktorane. Det betyr at $a^{2}$ må innehalde faktoren 3. Men for at $a^{2}$ skal kunne innehalde faktoren 3, må $a$ òg innehalde faktoren 3. Dette er fordi at alle faktorar i eit kvadrattal kjem i par (tenk gjennom kvifor), og dermed må ein faktor i eit kvadrattal som ikkje sjølv er eit kvadrattal, òg vere ein faktor i kvadratrota.

Merk at vi no heile tida snakkar om heiltalige røter.

Sidan 3 er ein faktor i $a$ , kan vi setje $a = 3 k$ . Vi held fram med forsøket på å bevise at $\sqrt{3}$ er eit rasjonalt tal:

$\begin{array}{rcl} 3 b^{2} & = & (3 k)^{2} \\ ⇕ \\ 3 b^{2} & = & 9 k^{2} \\ ⇕ \\ b^{2} & = & 3 k^{2} \end{array}$

No har vi vist at $b$ òg må innehalde faktoren 3. Men hugs at vi starta med ein hypotese om at $a$ og $b$ ikkje hadde felles faktorar. Dermed har vi ei sjølvmotseiing, og vi har bevist at $\sqrt{3}$ ikkje kan vere eit rasjonalt tal. Då er den einaste moglege slutninga at det er eit irrasjonalt tal.

Film om implikasjon og ekvivalens

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0