Rasjonale funksjonar

Ein brøk kan ikkje ha verdien 0 i nemnaren. Dersom vi set $x=-2$ inn i nemnaren, får vi

$\begin{array}{rcl}-2+2 & =& 0\end{array}$

Funksjonen er ikkje definert for $x=-2$.

Verditabellen blir slik:

Det kan sjå ut som at funksjonsverdiane veks over alle grenser når x-verdien nærmar seg $-2$ frå negativ side.

Vi kan bruke denne verditabellen:

Det kan sjå ut som at funksjonsverdien kan bli så låg vi vil, berre vi vel ein x-verdi nær nok $-2$ frå den positive sida.

Vi lagar ein verditabell der vi lar x bli veldig stor.

Det ser ut som at funksjonsverdien nærmar seg 1.

Vi lagar ein tilsvarande verditabell der vi lar x få verdiane $-10, -100, -1 000$ og $-10 000$.

Det ser ut som at funksjonsverdien nærmar seg 1 no òg, denne gongen frå oversida. I den førre oppgåva nærma funksjonsverdien seg 1 nedanfrå.

Sjå på teorisida korleis vi har skrive matematisk kva som skjer med funksjonsverdien når $x\to -2^{-}$, til dømes.

I oppgåve a) hadde vi at f nærmar seg 1 nedanfrå når x vart veldig stor. Vi skriv derfor

$f\left(x\right)\to 1^{-}$ når $x\to \infty$

Vi les "$f\left(x\right)$ går mot $-1$ når x går mot uendeleg".

Tilsvarande for oppgåve b) får vi at

$f\left(x\right)\to 1^{+}$ når $x\to -\infty$

Set opp ei likning og prøv å løyse ho.

Vi krev at funksjonen f skal ha verdien 1. Det gir oss likninga

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 1\\ \frac{x-2}{x+2} & =& 1 |·\left(x+2\right)\\ x-2 & =& x+2\\ x-x & =& 2+2\\ 0x & =& 4\\ & & \end{array}$

Likninga har inga løysing. Funksjonen f kan ikkje ha verdien 1.

Den loddrette (vertikale) asymptoten finn vi ved å setje nemnaren i funksjonsuttrykket lik 0.

Vi får $x-2=0$, som gir $x=2$.

Den loddrette asymptoten blir $x=2$.

Den vassrette (horisontale) asymptoten finn vi ved å dele alle ledda i teljaren og nemnaren på den høgaste potensen av x, som er x. Då får vi

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}+\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1+\frac{1}{x}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}$

Når x går mot uendeleg, går småbrøkane i teljaren og nemnaren mot 0, og f går mot $\frac{1}{1}=1$.

Den vassrette asymptoten blir $y=1$.

Vi teiknar funksjonen f i GeoGebra og skriv kommandoen Asymptote(f) for å få teikna asymptotane.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}x+1 & =& 0\\ x & =& -1\end{array}$

Vassrett asymptote:

$g\left(x\right)=\frac{3x-1}{x+1}=\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle 3-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle 1+\frac{1}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{3}{1}=3$ når x går mot uendeleg.

Den vassrette asymptoten blir $y=3$.

Vi teiknar funksjonen g i GeoGebra og skriv kommandoen Asymptote(g) for å få teikna asymptotane.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}2x+4 & =& 0\\ 2x & =& -4\\ x & =& -2\end{array}$

Vassrett asymptote:

$h\left(x\right)=\frac{2}{2x+4}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle 2+\frac{4}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{0}{2}=0$ når x går mot uendeleg.

Den vassrette asymptoten blir $y=0$, eller x-aksen.

Vi teiknar funksjonen h i GeoGebra og skriv kommandoen Asymptote(h) for å få teikna asymptotane.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}2x+3 & =& 0\\ 2x & =& -3\\ x & =& -\frac{3}{2}\end{array}$

Vassrett asymptote:

$i\left(x\right)=\frac{3x-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2x+3}=\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}-\frac{1}{2x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}}=\frac{{\displaystyle 3-\frac{1}{2x}}}{{\displaystyle 2+\frac{3}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{3}{2}$ når x går mot uendeleg.

Den vassrette asymptoten blir $y=\frac{3}{2}$.

Vi teiknar funksjonen i i GeoGebra og skriv kommandoen Asymptote(i) for å få teikna asymptotane.

Vi startar med å finne asymptotane.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}x-1 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$

Vassrett asymptote:

$f\left(x\right)=\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{{\displaystyle \frac{-2x}{x}+\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle -2+\frac{1}{x}}}{{\displaystyle 1-\frac{1}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{-2}{1}=-2$ når x går mot uendeleg.

Den vassrette asymptoten blir $y=-2$.

Vi lagar ein verditabell der vi vel nokre x-verdiar på kvar si side av den loddrette asymptoten.

Vi teiknar først asymptotane og deretter punkta frå verditabellen. Så kan vi trekke opp grafen, og vi bruker at grafen til ein rasjonal funksjon smyg seg inntil asymptotane.

Vi observerer at dei to delane av grafen speglar kvarandre. For rasjonale funksjonar med lineære nemnarar og teljarar vil det alltid vere slik. Derfor treng vi eigentleg berre å rekne ut nokre punkt for den eine delen av grafen.

Vi startar med å finne asymptotane.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}3x-2 & =& 0\\ 3x & =& 2\\ x & =& \frac{2}{3}\end{array}$

Vassrett asymptote:

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{3x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{{\displaystyle 1-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle 3-\frac{2}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{1}{3}$ når x går mot uendeleg.

Den vassrette asymptoten blir $y=\frac{1}{3}$.

Skjeringspunkt med y-aksen: $f\left(0\right)=\frac{0-1}{3·0-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.

Eventuelle skjeringspunkt med x-aksen (nullpunkt):

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 0\\ \frac{x-1}{3x-2} & =& 0 |·\left(3x-2\right)\\ x-1 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$

Då veit vi at grafen går gjennom punkta $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ og $\left(1,0\right)$. Asymptotane kryssar kvarandre i punktet $\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$. Punktet $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ ligg over og til venstre for asymptotekrysset, mens punktet $\left(1,0\right)$ ligg under og til høgre for asymptotekrysset. Den eine grafdelen ligg derfor over og til venstre for asymptotekrysset, mens den andre ligg under og til høgre.

Ei skisse av grafen kan sjå slik ut:

Vi startar med å finne asymptotane.

Loddrett asymptote:

$\begin{array}{rcl}2x-2 & =& 0\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$

Vassrett asymptote:

$g\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{x}{2}}+3}{2x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{2x}+\frac{3}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{2}+\frac{3}{x}}}{{\displaystyle 2-\frac{2}{x}}}$

Funksjonen går mot $\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$ når x går mot uendeleg.

Den vassrette asymptoten blir $y=\frac{1}{4}$.

Skjeringspunkt med y-aksen: $g\left(0\right)=\frac{{\displaystyle \frac{0}{2}}+3}{2·0-2}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$.

Eventuelle skjeringspunkt med x-aksen (nullpunkt):

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& 0\\ \frac{{\displaystyle \frac{x}{2}}+3}{2x-2} & =& 0 |·\left(2x-2\right)\\ \frac{x}{2}+3 & =& 0\\ \frac{x}{2} & =& -3\\ x & =& -6\end{array}$

Då veit vi at grafen går gjennom punkta $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ og $\left(-6,0\right)$. Asymptotane kryssar kvarandre i punktet $\left(1,\frac{1}{4}\right)$. Punktet $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ ligg under og til venstre for asymptotekrysset. Det gjer òg punktet $\left(-6,0\right)$. Den eine grafdelen ligg derfor under og til venstre for asymptotekrysset, mens den andre må ligge over og til høgre.

Ei skisse av grafen kan sjå slik ut:

Totalkostnadene er summen av dei faste og dei variable kostnadene. Når prisen er 0,49 kr per minutt, kostar det $\mathrm{0,49}·x$ å ringe x minutt. Totalkostnaden blir derfor $\mathrm{0,49}x+59$ når vi tek med dei faste kostnadene. Sidan vi skal finne kostnadene per minutt, må vi dele på talet på minutt, altså x. Kostnadene K per minutt x blir derfor

$K\left(x\right)=\frac{0,49x+59}{x}$

Vi skriv K(x)=Funksjon((0.49x+59)/x,0,1400) i algebrafeltet og får teikna grafen i det aktuelle området.

Vi skriv inn punktet $(300, K(300\left)\right)$. Sjå punkt $A$ på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre dersom Morten ein månad ringte 300 minutt.

Vi teiknar linja$y=0,60$. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkt $B$ på grafen. Han måtte ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skulle bli 60 øre.

Vi finn den vassrette asymptoten ved å som vanleg dele alle ledda i teljaren og nemnaren på den høgaste potensen av x.

$K\left(x\right)=\frac{0,49x+59}{x}=\frac{{\displaystyle \frac{0,49x}{x}}+{\displaystyle \frac{59}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}=\frac{0,49+{\displaystyle \frac{59}{x}}}{1}=0,49+\frac{59}{x}$

Når x går mot uendeleg, vil brøken gå mot 0. Den vassrette asymptoten til funksjonen blir derfor

$y=0,49$

Når x blir stor, betyr det at Morten ringte svært mykje. Då ville derfor kostnadene per minutt nærme seg 0,49 kroner. Det kan vi òg observere når vi teiknar linja $y=0,49$, sjå grafbiletet i oppgåve a).

Vi kan òg seie at dersom Morten ringte svært mykje, betydde den faste månadsavgifta lite, og kostnaden per ringeminutt nærma seg prisen per ringeminutt.

Dei variable kostnadene er 150 multiplisert med talet på produserte hjelmar x. Legg vi til dei faste kostnadene på 10 500 kroner, får vi totalkostnaden. Funksjonen K blir derfor

$K\left(x\right)=150x+10 500$

$K\left(300\right)=150·300+10 500=55 500$.

Det kostar 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmar.

For å finne gjennomsnittskostnaden per hjelm må vi ta totalkostnaden, K, og dele på talet på hjelmar, x.

$\begin{array}{ccl}f\left(x\right)& =& \frac{K\left(x\right)}{x}\\ & =& \frac{150x+10 500}{x}\\ & =& \frac{150x}{x}+\frac{10 500}{x}\\ & =& \frac{10 500}{x}+150\end{array}$

Vi skriv f(x)=Funksjon(10500/x+150,0,500) i algebrafeltet og får teikna grafen i det aktuelle området.

Med ein totalkostnad på 84 300 kr blir det produsert 492 sykkelhjelmar.

$\begin{array}{rcl}84 300& =& 150x+10 500\\ 84 300-10 500& =& 150x\\ x& =& 492\end{array}$

Dette gir ein gjennomsnittskostnad på

$\begin{array}{rcl}f\left(492\right)& =& \frac{10 500}{492}+150\\ & =& 171,34\end{array}$

Når det blir produsert hjelmar for 84 300 kr, kostar kvar hjelm 171 kr i gjennomsnitt.

Vi har at $f\left(x\right)=\frac{10 500}{x}+150$. Då kan vi sjå med ein gong at brøken går mot null når x går mot uendeleg. Det betyr at den vassrette asymptoten til funksjonen er $y=150$. Det betyr vidare at kostnadene per hjelm nærmar seg 150 kroner når det blir produsert svært mange hjelmar.

Vi finn som vanleg den vertikale asymptoten ved å finne nullpunktet til nemnaren. Då får vi

$\begin{array}{rcl}2x-a & =& 0\\ 2x & =& a\\ x & =& \frac{a}{2}\end{array}$

Sidan linja $x=\frac{2}{3}$ skal vere vertikal asymptote til funksjonen, får vi at

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{2} & =& \frac{2}{3}\\ a & =& \frac{2}{3}·2\\ a & =& \frac{4}{3}\end{array}$

Vi finn som vanleg den horisontale asymptoten ved å dele alle ledda i teljaren og nemnaren på den høgaste potensen av x.

$g\left(x\right)=\frac{ax+2}{2x-1}=\frac{{\displaystyle \frac{ax}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{2x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle a+\frac{2}{x}}}{{\displaystyle 2-\frac{1}{x}}}$

Funksjonen g går mot $\frac{a}{2}$ når x går mot uendeleg. Sidan linja $y=3$ skal vere horisontal asymptote til funksjonen, får vi at

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{2} & =& 3\\ a & =& 6\end{array}$

Vi finn den loddrette asymptoten ved å setje nemnaren lik 0.

$\begin{array}{rcl}x+b & =& 0\\ x & =& -b\end{array}$

Når $x=2$ skal vere loddrett asymptote, betyr det at

$\begin{array}{rcl}-b & =& 2\\ b & =& -2\end{array}$

Vi finn den vassrette asymptoten ved å dele på den høgaste potensen av x i alle ledda i teljaren og nemnaren:

$h\left(x\right)=\frac{a{\displaystyle x}+3}{x+b}=\frac{{\displaystyle \frac{ax}{x}+\frac{{\displaystyle 3}}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{b}{x}}}=\frac{{\displaystyle a}+{\displaystyle \frac{3}{x}}}{1-{\displaystyle \frac{b}{x}}}$

Når x går mot uendeleg, vil funksjonen h gå mot $\frac{{\displaystyle a}}{1}=a$. Sidan linja $y=1$ skal vere vassrett asymptote, betyr det at $\begin{array}{rcl}a & =& 1\end{array}$.

Løysinga blir $a=1 \wedge b=-2$.

Vi finn den loddrette asymptoten ved å setje nemnaren lik 0.

$\begin{array}{rcl}bx-a & =& 0\\ bx & =& a\\ x & =& \frac{a}{b}\end{array}$

Når $x=\frac{2}{5}$ skal vere loddrett asymptote, betyr det at

$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$

Vi finn den vassrette asymptoten ved å dele på den høgaste potensen av x i alle ledda i teljaren og nemnaren:

$i\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{x}{a}}+3}{bx-a}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{ax}+\frac{{\displaystyle 3}}{x}}}{{\displaystyle \frac{bx}{x}}-{\displaystyle \frac{a}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}}{b-{\displaystyle \frac{a}{x}}}$

Når x går mot uendeleg, vil funksjonen i gå mot $\frac{{\displaystyle \frac{1}{a}}}{b}=\frac{1}{ab}$. Når $y=\frac{1}{10}$, betyr det at

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{ab} & =& \frac{1}{10}\\ ab & =& 10\end{array}$

Vi har no to likningar med to ukjende som vi kan løyse. Vi bruker innsetjingsmetoden og tek utgangspunkt i den første likninga.

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b} & =& \frac{2}{5}\\ a & =& \frac{2}{5}b\end{array}$

Vi set dette inn i den andre likninga.

$\begin{array}{rcl}\frac{2}{5}b·b & =& 10\\ b^2 & =& 10·\frac{5}{2}\\ b & =& \pm \sqrt{25}\\ & =& \pm 5\end{array}$

Vi får to sett med løysingar:

$\begin{array}{rcl}b & =& 5: a=\frac{2}{5}·5=2\\ b & =& -5: a=\frac{2}{5}·\left(-5\right)=-2\end{array}$

Vi kan ikkje ha null i nemnaren, altså er funksjonen ikkje definert for$x=-2$.

Vi sjekkar brotpunktet $x=-2$. Dersom dette skal vere ein asymptote, kan ikkje $x=-2$ vere eit nullpunkt for teljaren òg. Vi set $-2$ inn i teljaren og får

${\left(-2\right)}^2-4=4-4=0$

Funksjonen har derfor ingen vertikal asymptote.

Vi sjekkar om vi kan finne ein fast verdi som funksjonsverdien nærmar seg dersom vi lar x gå mot uendeleg. Vi deler som vanleg på den høgaste potensen av x, som er $x^2$:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}=\frac{1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}$

Når x går mot uendeleg, går teljaren mot 1, mens nemnaren går mot 0. Då går heile brøken mot uendeleg og ikkje mot ein fast verdi. Då kan ikkje funksjonen ha nokon horisontal asymptote.

Ein rasjonal funksjon der teljaren har høgare grad enn nemnaren, vil aldri ha ein horisontal asymptote (vi beviser ikkje det her).

Teljaren må innehalde faktoren $x-\left(-2\right)=x+2$. Vi prøver å faktorisere funksjonsuttrykket:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{x+2}}=x-2$

Grafen blir ei rett linje! Men sidan funksjonen ikkje er definert for$x=-2$, blir det eit brot i grafen her. Ei teikning av grafen til f kan sjå slik ut der vi har markert brotpunktet med eit kryss sidan GeoGebra ikkje gjer det:

Vi ser at vi har$x-2$ i nemnaren. Dette uttrykket er null når$x=2$, altså er funksjonen ikkje definert for denne $x$-verdien.

Sidan teljaren er av andre grad og nemnaren er av første grad, har teljaren høgare grad enn nemnaren, og funksjonen vil ikkje ha vassrett asymptote.

Alternativ løysing: Vi deler alle ledda i teljaren og nemnaren på den høgaste potensen av x, som er $x^2$:

$g\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x-2}=\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}=\frac{1-{\displaystyle \frac{9}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}$

Når x går mot uendeleg, går teljaren mot 1 og nemnaren mot 0. Då går heile brøken mot uendeleg og ikkje ein fast verdi. Funksjonen har derfor ingen vassrett asymptote.

Prøv polynomdivisjon!

$\begin{array}{l} \left(x^2-9\right):\left(x-2\right)=x+2-\frac{5}{x-2}\\ \underline{-\left(x^2-2x\right)}\\ 2x-9\\ \underline{-\left(2x-4\right)}\\ -5\end{array}$

Når x går mot uendeleg, vil det siste leddet, som er ein brøk, gå mot 0. Då nærmar funksjonsuttrykket seg den rette linja $y=x+2$.

Du lærer meir om slike skråasymptotar i S1 og R1.