Rasjonale funksjonar

Døme

Funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$ er ein rasjonal funksjon sidan både teljaren og nemnaren er polynom av første grad.

Ein brøk er ikkje definert når nemnaren er lik null. Det betyr at $f(-2)$ ikkje er definert sidan nemnaren blir null for denne x-verdien.

🤔 Tenk over: Kan grafen til funksjonen f vere ein samanhengande graf?

Vi seier at grafen har eit brot eller eit brotpunkt for $x=-2$.

Vi teiknar grafen til f i GeoGebra.

Grafen til funksjonen f består av to separate delar.

Loddrett (vertikal) asymptote

I dømet over kan det sjå ut som at den delen av grafen for x-verdiar mindre enn $-2$ bøyer av og går tilnærma loddrett oppover når x nærmar seg verdien $-2$. Det motsette gjeld for den andre delen av grafen. Gå til oppgåve 1 på oppgåvesida "Rasjonale funksjonar" for å utforske meir om dette før du går vidare her.

Grafen kryp inntil den loddrette linja $x=-2$ gitt av brotpunktet. Vi kallar denne linja for den loddrette eller den vertikale asymptoten til funksjonen.

Vi skriv

$f\left(x\right)\to \infty$ når $x\to -2^{-}$

Vi les "$f\left(x\right)$ går mot uendeleg når $x$ går mot $-2$ frå negativ side".

🤔 Tenk over: Korleis skal vi skrive og lese kva som skjer når x nærmar seg $-2$ frå positiv side?

Framgangsmåte

Vi finn loddrette asymptotar ved å finne nullpunkta til nemnaren i den rasjonale funksjonen. Vi må i tillegg sjekke at ikkje teljaren òg er lik null for desse x-verdiane. Kvifor? Det kan du utforske meir i nokre av oppgåvene.

Vassrett (horisontal) asymptote

Vi går tilbake til funksjonen $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$. Det kan sjå ut som at grafen flatar ut når x blir stor. Det same ser ut til å skje i motsett ende av grafen. Gå til oppgåve 2 for å utforske dette nærare.

Det kan visast at når x går mot uendeleg eller minus uendeleg, nærmar f seg verdien 1. I oppgåve 2 viser vi òg at f aldri kan ha verdien 1. Linja $y=1$ er derfor ein vassrett eller ein horisontal asymptote for funksjonen f. Nedanfor har vi teikna grafen til f med begge asymptotane.

Vi ser at grafen til f smyg seg inntil begge asymptotane.

Finne vassrett asymptote utan å teikne grafen

Vi ser nok ein gong på funksjonen $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$. Når vi skal leite etter andre asymptotar enn loddrette, ser vi alltid på kva som skjer når x blir veldig stor, eller veldig stor og negativ.

Vi ser på teljaren $x-2$. Når x blir veldig stor eller veldig stor og negativ, blir konstantleddet $-2$ uvesentleg. Det betyr at teljaren rett og slett nærmar seg x når x blir stor. Det same får vi i nemnaren: Han går òg mot x når x blir veldig stor (eller veldig stor og negativ). Heile funksjonsuttrykket nærmar seg då $\frac{x}{x}$, som er lik 1. Matematisk kan vi, når vi lar x gå mot uendeleg, skrive

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}\to \frac{x}{x}=1$ når $x\to \infty$

Framgangsmåte

Vi kan bruke metoden over for å finne ein eventuell vassrett asymptote. I praksis er det enklast å dele alle ledda i teljaren og i nemnaren på den høgaste potensen av x. I vårt tilfelle er den høgaste potensen av x x i første, altså berre x. Då får vi

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}}$

No er det kanskje enklare å sjå kva som skjer når x går mot uendeleg: Dei to småbrøkane med x i nemnaren går mot null, og uttrykket går mot $\frac{1}{1}=1$. Konklusjonen blir at $y=1$ er vassrett asymptote for funksjonen f.

Asymptotar med GeoGebra

I GeoGebra får du teikna asymptotane til ein rasjonal funksjon med kommandoen "Asymptote(Funksjon)".

Analyse av rasjonale funksjonar

Analyse av rasjonale funksjonar betyr, i tillegg til å finne eventuelle nullpunkt og skjeringspunktet med y-aksen, å finne asymptotane til funksjonen. Asymptotane er til god hjelp dersom du skal teikne eller skissere grafen til funksjonen utan hjelpemiddel. Det kan òg vere aktuelt å bestemme verdimengda til slike funksjonar.

Video om rasjonale funksjonar

I videoen er det brukt ein eldre versjon av GeoGebra, men det er berre utsjånaden som er forskjellig her.