Polynomfunksjonar

Døme på polynom

Uttrykket $3x+3$ er eit polynom av første grad fordi x er av første grad. Uttrykket $2x^2-2x+4$ er eit polynom av andre grad fordi den høgaste eksponenten av x i uttrykket er 2. $x-4+2x^3$ er eit døme på eit tredjegradspolynom fordi den høgaste eksponenten av x her er 3.

Det er vanleg å ordne eit polynom slik at leddet med den høgaste eksponenten kjem først, leddet med nest høgast eksponent kjem som nummer to, og så vidare. Fjerdegradspolynomet $-5+3x^3-x^2+7x^4$ skriv vi på ordna form som $7x^4+3x^3-x^2-5$. Kvart potensledd har ein koeffisient. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten til $x^2$ lik $-1$, og koeffisienten til x er lik 0 sidan det ikkje er eit ledd der x er i første grad i polynomet.

Lineære funksjonar og andregradsfunksjonar er polynomfunksjonar av høvesvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjonar er polynomfunksjonar av tredje grad.

Analyse av polynomfunksjonar

Vi bruker dei same metodane som vi bruker når vi analyserer andregradsfunksjonar, og vi viser dette med eit døme. Vi teiknar grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1$

i GeoGebra og finn nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt med y-aksen.

Nullpunkt

Funksjonen har nullpunkta $x=-2,2, x=-0,8 \mathrm{og} x=1,6$.

Skjering med 𝑦-aksen

Grafen skjer y-aksen når $x=0$. Skjeringspunktet er $\left(0, -1\right)$.

Ekstremalpunkt

Grafen har toppunkt $\left(-1.6, 0.5\right)$. Grafen har botnpunkt $\left(0.6, -1.3\right)$.

For andregradsfunksjonar sa vi at ein funksjon hadde den lågaste verdien i botnpunktet og den høgaste verdien sin i toppunktet. Ein tredjegradsfunksjon kan ha høgare verdiar enn i toppunktet andre stader på grafen. Vi seier likevel at grafen har eit toppunkt, sjølv om det berre er lokalt, det vil seie i eit lite område rundt punktet.

🤔 Tenk over: For andregradsfunksjonar tek vi gjerne med likninga for det vi kallar symmetrilinja i analysen. Symmetrilinja er den loddrette linja gjennom ekstremalpunktet. Kvifor har vi ikkje funne noka symmetrilinje for eksempelfunksjonen vår?

For andre typar funksjonar kan det vere aktuelt å ha med andre ting i analysen. Det kjem vi tilbake til der det er aktuelt.

Verdimengde

Definisjonsmengda til funksjonen er ikkje avgrensa. Sidan funksjonsverdiane ikkje er avgrensa av dei to ekstremalpunkta, vil funksjonsverdien gå mot uendeleg når x går mot uendeleg, og minus uendeleg når x går mot minus uendeleg på grunn av tredjegradsleddet. Vi får derfor at

$V_f=\mathrm{ℝ}$

Eit praktisk døme på ein tredjegradsfunksjon

Ei bedrift har komme fram til at overskotet O i kroner ved å produsere og selje x einingar av ei vare per dag er gitt ved

$O\left(x\right)=-\frac{3}{1 000}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^2+100x-2 000$

Bedrifta kan maksimalt produsere 200 einingar per dag.

Bedrifta ønsker svar på

• kor mange einingar dei skal produsere for at overskotet skal bli størst mogleg

• når bedrifta går med overskot

🤔 Tenk over: Kva må vi finne for å finne det største moglege overskotet?

🤔 Tenk over: Kva bør vi finne dersom vi skal finne ut når bedrifta går med overskot?

Sidan bedrifta maksimalt kan produsere 200 einingar per dag, kan vi setje definisjonsmengda til funksjonen til $\left[0,200\right]$. Vi teiknar funksjonen innanfor dette intervallet med kommandoen "Funksjon" og finn ekstremalpunkta med verktøyet "Ekstremalpunkt" og nullpunkta med verktøyet "Nullpunkt".

Vi får at overskotsfunksjonen har toppunktet $\left(81.23,2 865.48\right)$. Det største overskotet er derfor omtrent 2 865 kroner ved 81 produserte einingar per dag.

Grafen ligg over x-aksen mellom dei to nullpunkta. Det er i dette intervallet bedrifta går med overskot, altså når det blir produsert frå og med 22 til og med 131 einingar per dag.

Analyse av polynomfunksjonar utan hjelpemiddel

Vi skal finne ut mest mogleg om fjerdegradsfunksjonen

$f\left(x\right)=x^4-x^3-7x^2+13x-6$

utan hjelpemiddel. Vi får gitt at funksjonen har nullpunkt for $x=1$ og $x=-3$.

Før du har lært om derivasjon, kan du ikkje finne ekstremalpunkt til polynomfunksjonar av tredje grad eller høgare utan hjelpemiddel. Derfor er det òg vanskeleg å finne verdimengda til slike funksjonar utan hjelpemiddel. Det vi kan seie om funksjonen vår, er at sidan den høgaste potensen av x er 4, eit partal, og koeffisienten framfor $x^4$ er positiv, vil funksjonen ha ei nedre grense, eller det vi kallar eit absolutt minimum. Dette finn du meir om på sidene om derivasjon.

Vi ser på nullpunkta til funksjonen.

🤔 Tenk over: Kan funksjonen ha fleire nullpunkt enn dei to som er gitt?

Ved hjelp av opplysningane om nullpunkta kan vi finne ut om funksjonen har fleire nullpunkt. Sidan det eine nullpunktet er 1, vil funksjonsuttrykket bestå av faktoren $\left(x-1\right)$, og tilsvarande gjeld for det andre nullpunktet. Funksjonsuttrykket kan derfor faktoriserast ved hjelp av dei to gitte nullpunkta, og vi startar med å multiplisere saman dei to faktorane.

$\left(x-1\right)\left(x-\left(-3\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$

Funksjonsuttrykket til f må vere deleleg med dette uttrykket. Då kan vi utføre polynomdivisjon med uttrykket.

$\begin{array}{ccccccccccccccccccccccc}& (x^4& -& x^3& -& 7& x^2& +& 13& x& -& 6& )& :& (& x^2& +& 2x& -& 3& )& = & x^2-3x+2 \\ -(& x^4& +& 2x^3& -& 3& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & \\ & & -& 3x^3& -& 4& x^2& +& 13& x& -& 6& & & & & & & & & & & \\ & -(& -& 3x^3 & -& 6& x^2& +& 9& x& )& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & 2& x^2& +& 4& x& -& 6& & & & & & & & & & & \\ & & & & -(& 2& x^2& +& 4& x& -& 6& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & \end{array}$

Så undersøker vi om kvotienten, $x^2-3x+2$, kan faktoriserast vidare. Vi får at

$x^2-3x+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$

Funksjonen f har derfor desse nullpunkta:

• $x=-3$

• $x=1$ (dobbelt nullpunkt)

• $x=2$

🤔 Tenk over: Kor mange nullpunkt kan ein fjerdegradsfunksjon ha?

Film om polynomfunksjonar

I filmen er det brukt ein eldre versjon av GeoGebra, men det er berre utsjånaden som er forskjellig her.