Polynomfunksjonar

Vi finn grafisk botnpunktet (0.59, 2.17) og toppunktet (3.41, 7.83) med verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi finn grafisk med verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra at funksjonen har nullpunktet $x=5,05$.

Skjeringspunktet med andreaksen er (0, 3), som vi finn ved å skrive (0,f(0)).

Å analysere ein funksjon betyr at vi finn ut mest mogleg om han. Her betyr det å finne eventuelle

• toppunkt
• botnpunkt
• skjeringspunkt med koordinataksane

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finn vi at funksjonen har eit toppunkt i (0, 4) og eit botnpunkt i (2, 3.2). Toppunktet er samtidig skjeringspunkt med y-aksen.

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt", finn vi at funksjonen har nullpunktet $x=-2$.

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finn vi at funksjonen har eit toppunkt i (0.84, 2.08) og botnpunkt i $\left(-0.59, -1.62\right)$ og i (2, 0).

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt" finn vi at funksjonen har nullpunkta $x=-1, x=0$ og $x=2$. Legg merke til at grafen har eit botnpunkt i det eine nullpunktet.

Frå nullpunkta har vi at grafen skjer andreaksen i (0, 0) (origo).

Dersom a er negativ, kjem grafen frå pluss uendeleg og går mot minus uendeleg. Dersom a er positiv, blir det omvendt: Grafen kjem frå minus uendeleg og går mot pluss uendeleg.

d er konstantleddet og flyttar heile grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

Her er det litt avhengig av b, så her er det berre å teste ut!

Test ut!

Ekstremalpunkta finn vi i toppunktet A(1.8, 0.3) og i botnpunktet B(7.6, -0.7).

Den høgaste temperaturen har vi i det høgre endepunktet på grafen, det vil seie klokka 12. Vi les av grafen at temperaturen då er nesten 2 °C. Den lågaste temperaturen er i botnpunktet. $7,6 \mathrm{h}=7 \mathrm{h} 0,6·60 \min =7 \mathrm{h} 36 \min$. Den lågaste temperaturen er klokka 07.36, og då er temperaturen minus 0,7.

Vi har nullpunkt for $x=0$, $x=4$ og $x=10$.

Nullpunkta viser når temperaturen var 0 °C. Det var han ved midnatt, klokka 4 og klokka 10.

For å gjere det enklare skriv vi r i staden for $r\left(h\right)$ i utrekninga nedanfor:

$\begin{array}{rcl}d+h& = & 2,2\\ 2r+h& =& 2,2\\ 2r& =& 2,2-h\\ r& =& \frac{2,2-h}{2}\end{array}$

Vi får at $r\left(h\right)=\frac{2,2-h}{2}$, som vi skulle vise.

Høgda h må vere mindre enn 2,2 dm. Dersom høgda er 2,2 dm, er radiusen 0, og då har vi ingen sylinder. Høgda må òg vere større enn 0. Vi får at

$D_r=\langle 0, 2.2\rangle$

Volumet til ein sylinder er gitt ved $V=\pi r^2·h$. Vi bruker uttrykket frå a) og får $V\left(h\right)=\pi r^2·h=\pi {\left(\frac{2,2-h}{2}\right)}^2·h=\frac{\pi }{4}{\left(2,2-h\right)}^2·h$.

$V\left(h\right)=\frac{\pi }{4}{\left(2,2-h\right)}^2·h=\frac{\pi h}{4}\left(4,84-4,4h+h^2\right)=\frac{\pi }{4}\left(4,84h-4,4h^2+h^3\right)$

Dette er ein tredjegradsfunksjon sidan høgaste potens av h er 3.

Vi teiknar grafen til $V\left(h\right)$ i GeoGebra ved å skrive

V(h)=Funksjon(pi/4·(2.2-h)^2·h, 0, 2.2)

Vi les av punktet $\left(1, V\left(1\right)\right)$ på grafen ved å skrive inn (1, V(1)). Sjå punktet A på figuren nedanfor.

Volumet er 1,1 liter når høgda er 1,0 dm.

Vi teiknar linja $y=1$og finn skjeringspunkta mellom linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta B og C på figuren nedanfor.

Høgda kan vere 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" på funksjonen $V\left(h\right)$.

Vi får av toppunktet D på figuren at det største volumet sylinderen kan ha, er 1,24 liter, og då er høgda i sylinderen 0,73 dm.

Det største volumet sylinderen kan ha, er 1,24 liter. Volumet må vere større enn 0, elles har vi ikkje ein sylinder. Verdimengda til $V\left(h\right)$ blir derfor

$V_V=⟨0, 1.24]$

Linje 1 gir oss uttrykket for r som funksjon av h. Vi skriv inn uttrykket som funksjonen $r\left(h\right)$ i linje 2 og i linje 3 bruker vi funksjonen når vi definerer funksjonen for volumet av sylinderen. I linje 4 bruker vi verktøyet "ReknUt" $\boxed{\underset{}{\overset{}{ ✓ }}}$ for å multiplisere ut funksjonsuttrykket til $V\left(h\right)$ og ser at det er ein tredjegradsfunksjon sidan den høgaste potensen av h er 3.

Linje 5 gir oss at volumet av ein sylinder med høgde lik 1 dm er 1,13 liter. Linje 6 gir oss at når volumet av sylinderen er 1 liter, er høgda anten 0,39 dm eller 1,15 dm. Den siste løysinga er utanfor definisjonsmengda til $V\left(h\right)$.

Linje 7 gir oss at det største volumet sylinderen kan ha, er 1,24 liter. Då er høgda 0,73 dm. Verdimengda til funksjonen $V\left(h\right)$ blir derfor $V_V=⟨0, 1.24]$.

Samanhengen mellom radius og høgde har vi frå oppgåve a):

$r\left(h\right)=\frac{2,2-h}{2}$

Vi har definert denne funksjonen i CAS i den førre oppgåva, og vi treng berre éi linje i CAS for å rekne ut dei to radiusane når vi bruker sløyfeparentes.

Linje 5 gir oss at radius i ein sylinder som har eit volum på 1,0 liter, anten er 0,91 dm eller 0,53 dm.

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra, vel "Regresjonsanalyse" og observerer punkta i regresjonsanalysevindauget. Punkta ser ut omtrent som på figuren nedanfor. Då kan ein tredjegradsfunksjon passe.

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at tredjegradsfunksjonen

$T\left(x\right)=-0,008x^3+0,261x^2-1,5x+18,3$

passar godt som modell for temperaturutviklinga.

Vi observerer at modellen passar best fram til klokka 15. Så søkk temperaturen raskare enn det modellen gir.

Modellen vi fann, beskriv temperaturen dei første 24 timane etter midnatt på ein god måte. Utover 24 timar er modellen ubrukeleg fordi tredjegradsfunksjonen berre er minkande etter toppunktet rett etter klokka 17.

Botnen blir eit kvadrat. For å finne lengda av sidekanten må vi ta 60 og trekke frå breidda av to lyseblå rektangel, som kvar har breidde lik x. Då får vi at

$l=60-2x$

Arealet G til botnen, det vi kallar grunnflata, blir òg ein funksjon av x. Vi får

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& = & {\left(60-2x\right)}^2\\ & =& {60}^2-2·60·2x+{\left(2x\right)}^2\\ & =& 3 600-240x+4x^2\end{array}$

Høgda på eska blir x. Vi må multiplisere grunnflata med høgda for å få volumet, her kalla V.

$\begin{array}{rcl}V\left(x\right)& = & G\left(x\right)·h\\ & =& \left(3 600-240+4x^2\right)·x\\ & =& 3 600x-240x^2+4x^3\\ & =& 4x^3-240x^2+3 600x\end{array}$

Volumet er altså ein polynomfunksjon av tredje grad.

Vi ser òg at x må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få ei eske. Dersom $x=0$, klipper vi ikkje bort noko, og dersom $x=30$, får vi ingen botn, vi klipper bort heile papplata. Definisjonsmengda er då

$D_V=⟨0, 30⟩$

Vi skriv V(x)=Funksjon(4x^3-240x^2+3600x,0,30) i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" for å finne eventuelle ekstremalpunkt.

Vi får eit toppunkt i $\left(10, 16 000\right)$. Det vil seie at det største volumet eska kan få, er $16 000 {\mathrm{cm}}^3$. Då må vi klippe bort kvadrat med sidekant 10 cm frå hjørna på papplata.

Sidan toppunktet er $\left(10, 16 000\right)$ og volumet ikkje kan vere 0, får vi at verdimengda er

$V_V=⟨0, 16 000]$

Vi må finne ut når volumfunksjonen har verdien 10 000, det vil seie vi må løyse likninga

$V\left(x\right)=10 000$

Vi løyser likninga ved å teikne linja $y=10 000$ og finne skjeringspunktet mellom linja og grafen til $V\left(x\right)$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Vi må klippe bort kvadrat med sidekant 3,6 cm eller 18,3 cm frå hjørna på papplata for at volumet av eska skal bli $10 000 {\mathrm{cm}}^3$.

På linje 1 skriv vi inn volumfunksjonen ved å skrive inn grunnflata multiplisert med høgda. Legg merke til at vi normalt ikkje skriv inn funksjonar med avgrensingar i definisjonsmengda i CAS, sidan CAS taklar dette dårleg. Frå linje 2 får vi at det største volumet eska kan få, er $16 000 {\mathrm{cm}}^3$, og då må vi klippe bort kvadrat med sidekant 10 cm frå hjørna på papplata. Frå linje 3 får vi at volumet av eska blir $10 000 {\mathrm{cm}}^3$ når vi klipper bort kvadrat med sidekantar på 3,6 cm eller 18,3 cm. Den siste løysinga er utanfor det aktuelle området for x.

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel "Regresjonsanalyse". Vi vel modellen "Polynom" med grad 2.

Ein andregradsfunksjon som passar godt med tala, er

$f\left(x\right)=0,617x^2-11,0x+86,6$

Vi bruker den symbolske utrekninga i regresjonsanalysevindauget og får at talet på selde isar den 15. august blir 60.

Av forma på grafen i a) får vi at salet vil halde fram med å stige utover hausten. Det er ikkje veldig sannsynleg når det blir gradvis kaldare.

Vi vel grad 3 på modellen "Polynom" i regresjonsanalyseverktøyet og får at ein tredjegradsfunksjon som passar godt med tala, er

$g\left(x\right)=-0,08x^3+1,78x^2-15,93x+91,75$

Den symbolske utrekninga gir at salet av is den 15. august er negativt. Modellen passar endå dårlegare enn modellen i oppgåve a) fordi ein tredjegradsfunksjon med negativ koeffisient framfor tredjegradsleddet går mot minus uendeleg ettersom x blir større.

Vi skriv inn funksjonen i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøya "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt" til å finne nullpunkta til funksjonen og topp- og botnpunkta på grafen.

Nullpunkt: $x=-1$ og $x=3$

Toppunkt: $\left(-1,0\right)$

Botnpunkt: $\left(1.67,-9.48\right)$

Det spesielle er at nullpunktet $\left(-1,0\right)$ samtidig er eit toppunkt.

Sidan eitt av nullpunkta er $x=-1$, veit vi at vi kan trekke ut faktoren $\left(x+1\right)$ frå funksjonsuttrykket. Vi bruker polynomdivisjon:

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& (x^3& -& x^2& -& 5x& -3)& :& (x& +& 1)& =x^2& -& 2x& -& 3\\ -& (x^3& +& x^2)& & & & & & & & & & & & \\ & & -& 2x^2& -& 5x& -3& & & & & & & & & \\ & & -& (2x^2& -& 2x)& & & & & & & & & & \\ & & & & & -3x& -3& & & & & & & & & \\ & & & & -& (-3x& -3)& & & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Sidan vi har eit nullpunkt for $x=3$, veit vi at vi kan setje faktoren $\left(x-3\right)$ utanfor faktoren $x^2-2x-3$. Då får vi

$x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x+1\right)$

Vi kan derfor skrive funksjonen f på faktorisert form som

$f\left(x\right)=x^3-x^2-5x-3=\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+1\right)=\left(x-3\right){\left(x+1\right)}^2$

Når vi faktoriserer funksjonsuttrykket til f, får vi to faktorar av typen $\left(x+1\right)$. Nullpunktet $x=-1$ blir derfor òg kalla eit dobbelt nullpunkt. Det er òg derfor funksjonen berre har to nullpunkt. Dette skjer når eit nullpunkt samtidig er eit ekstremalpunkt slik som her. Då kryssar ikkje grafen x-aksen i dette nullpunktet.

Når ein tredjegradsfunksjon har to nullpunkt, kan ikkje grafen krysse x-aksen i meir enn eitt av nullpunkta. For dersom han gjorde det, må det vere tre nullpunkt på grafen. Sjå illustrasjonen nedanfor der vi har teikna grafen til ein ukjend tredjegradsfunksjon g som ligg rett over grafen til f.

Vi kan skrive f på faktorisert form ved hjelp av dei tre nullpunkta. Vi får at

$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-\left(-1\right)\right)\left(x-1\right)=a\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

Konstanten a bestemmer vi ved at $f\left(0\right)=-1$:

$\begin{array}{rcl}a\left(0+2\right)\left(0+1\right)\left(0-1\right) & =& -1\\ -2a & =& -1\\ a & =& \frac{1}{2}\end{array}$

Funksjonsuttrykket blir

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

Vi gjer ein polynomdivisjon for å faktorisere funksjonen. Sidan funksjonen har eit nullpunkt for $x=-1$, er han deleleg med $\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x+1\right)$.

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+3x^2-6x-8\right):\left(x+1\right)& =& x^2+2x-8\\ \underline{-\left(x^3+x^2\right) }& & \\ 2x^2-6x-8& & \\ \underline{-\left(2x^2+2x\right) }& & \\ -8x-8& & \\ \underline{-(-8x-8)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer kvotienten vidare og får at

$x^2+2x-8=\left(x+4\right)\left(x-2\right)$

I tillegg til $x=-1$ har funksjonen $g\left(x\right)$ nullpunkta $x=-4$ og $x=2$.

Vi gjer ein polynomdivisjon for å faktorisere funksjonen. Sidan funksjonen har eit nullpunkt for $x=2$, er han deleleg med $\left(x-2\right)$.

$\begin{array}{lcc} \left( x^3-3x^2+4\right):\left(x-2\right)& =& x^2-x-2\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ -x^2 +4& & \\ \underline{-\left(x^2+2x\right) }& & \\ -2x+4& & \\ \underline{-(-2x+4)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer kvotienten vidare og får at

$x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

I tillegg til $x=2$, som er eit dobbelt nullpunkt, har funksjonen h nullpunktet $x=-1$.

Vi gjer ein polynomdivisjon for å faktorisere funksjonen. Sidan funksjonen har eit nullpunkt for $x=-1$, er han deleleg med $\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x+1\right)$.

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+3x^2+5x+3\right):\left(x+1\right)& =& x^2+2x+3\\ \underline{-\left(x^3+x^2\right) }& & \\ 2x^2+5x+3& & \\ \underline{-\left(2x^2+2x\right) }& & \\ 3x+3& & \\ \underline{-(3x+3)}& & \\ 0& & \end{array}$

Kvotienten $x^2+2x+3$ kan ikkje faktoriserast vidare. For å bevise det kan vi tenke oss at vi set uttrykket lik 0. Diskriminanten i abc-formelen blir

$b^2-4ac=2^2-4·1·3=4-12=-8$

Sidan diskriminanten er negativ, har likninga inga løysing. Kvotienten har derfor ingen nullpunkt og kan ikkje faktoriserast.

Funksjonen $i\left(x\right)$ har derfor berre nullpunktet $x=-1$.

Dersom koeffisienten framfor tredjegradsleddet er positiv, vil funksjonen gå mot uendeleg når x går mot uendeleg. Funksjonen vil gå mot minus uendeleg når x går mot minus uendeleg. Då må grafen krysse x-aksen minst éin stad slik at funksjonen må ha minst eitt nullpunkt.

Det same gjeld dersom koeffisienten framfor tredjegradsleddet er negativ. Då vil funksjonen gå mot minus uendeleg når x går mot uendeleg, og mot uendeleg når x går mot minus uendeleg. Då må grafen krysse x-aksen minst éin stad, som gir den same konklusjonen.

Ein tredjegradsfunksjon må derfor alltid ha minst eitt nullpunkt.

Funksjonsuttrykket må være deleleg med $\left(x-2\right)$ og $\left(x+3\right)$. Då er det òg deleleg med produktet

$\left(x-2\right)\left(x+3\right)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$

Vi gjer ein polynomdivisjon:

$\begin{array}{lc} \left(x^4+3x^3-x^2-9x-18\right):\left(x^2+x-6\right)& =x^2+2x+3\\ \underline{-\left(x^4+x^3-6x^2\right) }& \\ 2x^3+5x^2-9x-18& \\ \underline{-\left(2x^3+2x^2-12x\right) }& \\ 3x^2+3x-18& \\ \underline{-\left(3x^2+3x-18\right) }& \\ 0& \end{array}$

Kvotienten $x^2+2x+3$ kan ikkje faktoriserast vidare, som vi fann ut i oppgåve d).

Funksjonen j har derfor berre nullpunkta $x=2$ og $x=-3$.

Løysing utan hjelpemiddel:

Funksjonsuttrykket må vere deleleg med $\left(x-2\right)$. Vi gjer polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+0x^2+\left(a-4\right)x-2a\right):\left(x-2\right)& =& x^2+2x+a\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ 2x^2+\left(a-4\right)x-2a& & \\ \underline{-\left(2x^2 -4x\right) }& & \\ ax-2a& & \\ \underline{-(ax-2a)}& & \\ 0& & \end{array}$

Så må vi finne nullpunkta til kvotienten $x^2+2x+a$. Vi set kvotienten lik 0 og løyser likninga med andregradsformelen.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+a & =& 0\\ & & \\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·a}}{2·1}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{2}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4\left(1-a\right)}}{2}\\ & =& \frac{-2\pm 2\sqrt{1-a}}{2}\\ & =& -1\pm \sqrt{1-a}\end{array}$

1. Likninga har to løysingar. Då må det som står under rotteiknet, vere større enn 0, som betyr at $a<1$. Då vil funksjonen ha totalt tre nullpunkt inkludert nullpunktet $x=2$.

2. Likninga har éi løysing. Då må det som står under rotteiknet, vere lik 0, som betyr at $a=1$. Då vil funksjonen ha totalt to nullpunkt inkludert nullpunktet $x=2$.

3. Likninga har ingen løysingar. Då må det som står under rotteiknet, vere mindre enn 0, som betyr at $a>1$. Då vil funksjonen ha berre eitt nullpunkt: $x=2$.

Løysing med hjelpemiddel:

I linje 2 polynomdividerer vi $p\left(x\right)$ med $\left(x-2\right)$. I linje 3 set vi resultatet lik 0 og løyser likninga. I linje 4 finn vi ut når det som står under rotteiknet i løysinga i linje 3, er større enn eller lik null. Vi får det same resultatet som vi gjorde utan hjelpemiddel.