Grunnleggande omgrep og samanhengar. Vinklar - Matematikk 1T-Y - TP - NDLA

Hopp til innhald
Bokmål
Oppgåve

Grunnleggande omgrep og samanhengar. Vinklar

Her kan du jobbe med sentrale, grunnleggande geometriske omgrep og samanhengar.

Oppgåve 1

Korleis definerer vi

a) ei linje?

Løysing

Ei linje består av uendeleg mange punkt etter kvarandre slik at figuren vi får når vi teiknar punkta, ikkje krummar, men går i same retning heile tida. Linja har ei uendeleg utstrekning i begge retningar (éin dimensjon).

b) eit linjestykke?

Løysing

Eit linjestykke er ein del av ei linje og er avgrensa av to endepunkt.

c) ein stråle?

Løysing

Ein stråle er ein del av ei linje og er avgrensa av eitt endepunkt. Strålen har uendeleg utstrekning i éi retning.

Oppgåve 2

Teikn ein rett, ein spiss og ein stump vinkel.

Løysing

Rett vinkel:

To linjestykke startar i det same punktet. Vinkelen mellom linjestykka er 90 gradar. Det eine linjestykket står rett opp, det andre linjestykket går rett ut til sida. Illustrasjon.
Rett vinkel.

Spiss vinkel:

To linjestykke startar i det same punktet. Vinkelen mellom linjestykka er mindre enn 90 gradar. Vinkelen liknar på ein blyantspiss. Illustrasjon.
Spiss vinkel.

Stump vinkel:

To linjestykke startar i det same punktet. Vinkelen mellom linjestykka er større enn 90 gradar. Illustrasjon.
Stump vinkel.

Ein rett vinkel er 90°.

Ein spiss vinkel er mindre enn 90°.

Ein stump vinkel er større enn 90° og mindre enn 180°.

Oppgåve 3

Set namn på dei markerte vinklane på figurane ut ifrå dei gitte punkta.

a)

Linjestykka A B, B C og B D er teikna slik at dei dannar to vinklar som begge har linjestykket B D som vinkelbein. Vinkelen som har A B som høgre vinkelbein og B D som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.
Løysing

Den markerte vinkelen har AB som høgre vinkelbein og BD som venstre vinkelbein. Toppunktet er B, så det korrekte namnet på vinkelen blir derfor ABD.

b)

Linjestykka A B, B C og B D er teikna slik at dei dannar to vinklar som begge har linjestykket B D som vinkelbein. Vinkelen som har B D som høgre vinkelbein og B C som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.
Løysing

Den markerte vinkelen har BD som høgre vinkelbein og BC som venstre vinkelbein. Det korrekte namnet på vinkelen blir derfor DBA.

c)

Linjestykka A B, B C og B D er teikna slik at dei dannar to vinklar som begge har linjestykket B D som vinkelbein. Vinkelen som har B C som høgre vinkelbein og A B som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.
Løysing

Den markerte vinkelen har BC som høgre vinkelbein og AB som venstre vinkelbein. Det korrekte namnet på vinkelen blir derfor CBA.

d)

Linjestykka A B, B C og B D er teikna slik at dei dannar to vinklar som begge har linjestykket B D som vinkelbein. Vinkelen som har A B som høgre vinkelbein og B C som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.
Løysing

Den markerte vinkelen har AB som høgre vinkelbein og BC som venstre vinkelbein. Det korrekte namnet på vinkelen blir derfor ABC.

e) Ein vinkel har linjestykket AB som høgre vinkelbein og linjestykket AC som venstre vinkelbein. Kva blir det korrekte namnet på vinkelen ut ifrå punkta?

Tips til oppgåva

Finn først ut kva for eit punkt som er toppunktet til vinkelen.

Løysing

Sidan A er eit av endepunkta på begge linjestykka, er dette toppunktet til vinkelen. Sidan B ligg på høgre vinkelbein, blir det korrekte namnet på vinkelen BAC.

f) Ein vinkel har linjestykket BC som høgre vinkelbein og linjestykket AC som venstre vinkelbein. Kva blir det korrekte namnet på vinkelen ut ifrå punkta?

Løysing

Sidan C er eit av endepunkta på begge linjestykka, er dette toppunktet til vinkelen. Sidan B ligg på høgre vinkelbein, blir det korrekte namnet på vinkelen BCA.

Oppgåve 4

a) Teikn to komplementvinklar.

Løysing
Vinkelen mellom linjestykka A B og B C er 90 gradar. Linjestykket B D ligg mellom A B og A C slik at vinkel A B D pluss vinkel C B D er 90 gradar. Illustrasjon.
Komplementvinklar.

Vinklane og er komplementvinklar.

b) Teikn to supplementvinklar.

Løysing
Punktet B ligg på linjestykket A C. Eit linjestykke er teikna mellom B og eit anna punkt, D. Summen av vinkel A B D og vinkel C B D er 180 gradar. Illustrasjon.
Supplementvinklar.

Vinklane og er supplementvinklar.

Oppgåve 5

Set saman omgrep og forklaring.

Geometriske omgrep

Geometrisk omgrep

Forklaring

1. punkt

a. består av uendeleg mange punkt, har uendeleg utstrekning i éi retning

2. linje

b. avgrensa av to endepunkt

3. linjestykke

c. har inga utstrekning, men har ein bestemd posisjon

4. stråle

d. består av uendeleg mange punkt, har uendeleg utstrekning i begge retningar

5. plan

e. har uendeleg utstrekning i to dimensjonar

Løysing

1c, 2d, 3b, 4a, 5e

Oppgåve 6

a) Kor stor er vinkel CAB på figuren nedanfor når vinkel BAC er 50°?

Linjestykka A B og A C er teikna. Vinkelen som har A B som høgre vinkelbein og A C som venstre vinkelbein, er 50 gradar. Vinkelen som har A C som høgre vinkelbein og A B som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.
Løysing

Vinkel BAC på figuren er 50°. Vinkel CAB og vinkel BAC utgjer til saman ein heil sirkel. Det betyr at

b) Kor stor er vinkel DBC på figuren nedanfor når vinkel ABD er 35°?

Vinkelen mellom linjestykka A B og B C er 90 gradar. Linjestykket B D ligg mellom A B og A C slik at vinkel A B D pluss vinkel C B D er 90 gradar. Vinkel A B D er 35 gradar. Illustrasjon.
Løysing

Sidan dei to vinklane er komplementvinklar, får vi

c) Kor stor er vinkel DBC på figuren nedanfor når vinkel ABD er 35°?

Punktet B ligg på linjestykket A C. Eit anna linjestykke er teikna mellom punktet B og eit anna punkt, D. Vinkel A B D er 70 gradar. Summen av vinkel A B D og vinkel C B D er 180 gradar. Illustrasjon.
Løysing

Sidan dei to vinklane er supplementvinklar, får vi

d) Kor stor er vinkel ABD på figuren nedanfor når vinkel DBC er 35°?

Punktet B ligg på linjestykket A C. Eit anna linjestykket går mellom punktet B og eit anna punkt, D. Vinkel C B D er 35 gradar. Summen av vinkel A B D og vinkel C B D er 180 gradar. Illustrasjon.
Løysing

Sidan dei to vinklane er supplementvinklar, får vi

e) Kor stor er vinkel ABD på figuren nedanfor når vinkel DBC er 37°?

Vinkelen mellom linjestykka A B og B C er 90 gradar. Linjestykket B D ligg mellom A B og A C slik at vinkel A B D pluss vinkel C B D er 90 gradar. Vinkel C B D er 37 gradar. Illustrasjon.
Løysing

Sidan dei to vinklane er komplementvinklar, får vi

Oppgåve 7

a) Kva kallar vi to linjer som ligg i same plan og ikkje skjer kvarandre?

b) Kva kallar vi ein vinkel på 90°?

c) Kva kallar vi ein vinkel mellom 0° og 90°?

d) Kva kallar vi ein vinkel mellom 90° og 180°?

e) Kva kallar vi to vinklar som til saman er 90°?

f) Kva kallar vi to vinklar som til saman er 180°?

Løysing

a) parallelle linjer

b) rett vinkel

c) spiss vinkel

d) stump vinkel

e) komplementvinklar

f) supplementvinklar

Oppgåve 8

Bruk figuren når du svarer på spørsmåla.

To linjestykke A B og C D skjer kvarandre i punktet E. Illustrasjon.

a) Kva er samanhengen mellom vinklane CEA og DEB?

Løysing

Vinklane CEA og DEB er dei to spisse vinklane på figuren. Dei er toppvinklar.

b) Kva er samanhengen mellom vinklane AED og BEC?

Løysing

Vinklane AED og BEC er dei to stumpe vinklane på figuren. Dei er òg toppvinklar.

c) Kva er samanhengen mellom vinklane CEA og BEC?

Løysing

Vinklane CEA og BEC er supplementvinklar.

d) Kva er samanhengen mellom vinklane AED og DEB?

Løysing

Vinklane AED og DEB er supplementvinklar.

e) Kva er samanhengen mellom vinklane CEA og AEC?

Løysing

Summen av vinklane AED og DEB er 360°.

Oppgåve 9

To parallelle linjer m og n er begge skorne av ei tredje linje l. Vinkelen alfa har l som høgre vinkelbein og n som venstre vinkelbein. Vinkel beta er 50 gradar og har n som høgre vinkelbein og l som venstre vinkelbein. Vinkelen u har m som høgre vinkelbein og l som venstre vinkelbein. Vinkelen w har m som høgre vinkelbein og l som venstre vinkelbein. Vinkelen v har l som høgre vinkelbein og m som venstre vinkelbein. Illustrasjon.

Linjene m og n på figuren er parallelle. Bestem vinklane u, v, w og α.

Løysing vinkel u

Vinkel u er samsvarande med vinkel β sidan dei har felles venstre vinkelbein (linja l). Høgre vinkelbein til dei to vinklane er parallelle linjer. Vi har dermed at .

Løysing vinkel v

Vinkel v er supplementvinkel til vinkel u. Då får vi at

Løysing vinkel w

Vinkel w er toppvinkel med vinkel u. Då får vi at

Løysing vinkel α

Vinkel α er supplementvinkel til vinkel β. Då får vi at

Alternativt kan vi bruke at toppvinkelen til α (som er lik α) og vinkel v er samsvarande vinklar, og at dei er like fordi dei har linje l som høgre vinkelbein og to parallelle linjer som venstre vinkelbein. Då får vi at

Oppgåve 10

To linjer skjer kvarandre. Dei fire vinklane som er danna, er u, v, w og z. Figuren viser at u og v er spisse vinklar, mens w og z er stumpe vinklar. Illustrasjon.

Vis at utan å bruke at dei er toppvinklar.

Løysing

Dette er beviset på at toppvinklar er like.

Oppgåve 11

Forklar kvifor på figuren nedanfor.

To strålar møtest og dannar vinkelen u. Den eine strålen står vinkelrett på ei linje, den andre strålen står vinkelrett på ei anna linje. Dei to linjene møtest og dannar vinkelen v. Illustrasjon.
Løysing

Her blir det lettast å forklare dersom vi set namn på nokre punkt:

Linjestykka A D og B E skjer kvarandre i punktet C. Punkta er slik at A D står normalt på D E og B E står normalt på A B. Vinkel B A C er kalla u på figuren, og vinkel C E D er kalla v. Dei fem punkta dannar to rettvinkla trekantar A B C og C D E med felles toppunkt C, som ikkje er den rette vinkelen. Punktet F er skjeringspunktet mellom forlenginga av linjestykket A B og forlenginga av linjestykket E D. Illustrasjon.

Denne oppgåva kan løysast på fleire måtar:

  1. Vi ser på trekantane ABC og CDE. Begge desse trekantane har ein rett vinkel. I tillegg ser vi at vinklane ACB og DCE er toppvinklar og dermed like. Vinkelsummen i ein trekant er . Vi har derfor at vinklane u og v, som er den tredje vinkelen i kvar av trekantane, må vere like.

  2. Vi ser på trekantane ADF og BEF. Begge desse trekantane har ein rett vinkel. I tillegg deler dei vinkel F. På same måte som i løysing nummer 1 får vi at .

  3. Vinkelbeinet AB til u står vinkelrett på vinkelbeinet CE til v. Det andre vinkelbeinet til u, AC, står vinkelrett på det andre vinkelbeinet til v, DE. Etter setninga om vinkelbein som parvis står vinkelrett på hverandre, må .

Oppgåve 12

Kva kan du om grunnleggande omgrep og samanhengar i geometrien?