Oppgåve

Likninga til ei rett linje

Her kan du øve på å finne funksjonsuttrykket til lineære funksjonar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

På figuren ser du to rette linjer i eit koordinatsystem. Finn funksjonsuttrykket til desse to linjene ved å lese av figuren.

I eit koordinatsystem er det teikna to rette linjer. Grafen til den raude linja skjer y-aksen for y er lik minus 1 og går gjennom punktet med koordinatane 1 og 1. Grafen til den blå linja går gjennom origo og punktet med koordinatane 1 og minus 1. Illustrasjon.

Løysing

Blå linje:

Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er då lik 0.

Vi les av stigningstalet og ser at det blir $- 1$ .

Funksjonsuttrykket til den blå linja blir $g (x) = - x$ .

Raud linje:

Den raude linja skjer andreaksen i punktet $(0, - 1)$ . Konstantleddet er dermed $- 1$ .

Vi les av stigningstalet til den raude linja ved å starte i punktet $(0, - 1)$ og ser at vi må gå 2 trinn opp for å treffe grafen igjen. Det betyr at stigningstalet er lik 2.

Funksjonsuttrykket til den raude linja blir altså $f (x) = 2 x - 1$ .

Oppgåve 2

I eit koordinatsystem er grafen til fire lineære funksjonar teikna. Grafen til f av x er vassrett og skjer y-aksen for y er lik 3. Grafen til g av x går gjennom origo og gjennom punktet med koordinatane 1 og 1. Grafen til h av x skjer y-aksen for y er lik minus 1 og går gjennom punktet med koordinatane 1 og 3. Grafen til j av x går gjennom punktet med koordinatane minus 1 og minus 1 og punktet med koordinatane 1 og minus 2. Illustrasjon.

I koordinatsystemet ovanfor har vi teikna grafane til dei fem funksjonane f, g, h, i og j. Finn funksjonsuttrykket til kvar av dei 5 funksjonane ved å lese av grafane.

Løysing

Vi gjer som i oppgåve 1 og finn skjeringspunktet med y-aksen og stigninga ut frå dette punktet.

Funksjonsuttrykket til den raude grafen f kan skrivast som $f (x) = 3$ .

Funksjonsuttrykket til den blå grafen g kan skrivast som $g (x) = x$ .

Funksjonsuttrykket til den svarte grafen h kan skrivast som $h (x) = 4 x - 1$ .

Funksjonsuttrykket til den lilla grafen i kan skrivast som $i (x) = - 3 x + 2$ .

Funksjonsuttrykket til den grøne grafen j kan skrivast som $j (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ .

Oppgåve 3

I eit koordinatsystem er det teikna fire rette linjer. Grafen til den blå linja skjer y-aksen for y er lik minus 1 og går gjennom punktet med koordinatane 1 og 1. Grafen til den raude linja går gjennom origo og punktet med koordinatane 1 og minus 1. Grafen til den svarte linja skjer y-aksen for y er lik 2 og går gjennom punktet med koordinatane 1 og 0. Grafen til den grøne linja er vassrett og skjer y-aksen for y er lik minus 2. Illustrasjon.

I koordinatsystemet ovanfor er det teikna fire grafar. Under er det fire funksjonsuttrykk. Forklar kva graf og funksjonsuttrykk som høyrer saman.

a) $f (x) = 2 x - 1$

Løysing

Stigningstalet er 2. Linja skjer andreaksen i punktet $(0, - 1)$ . Det er den blå grafen, som er den einaste grafen som stig.

b) $g (x) = - 2 x + 2$

Løysing

Stigningstalet er $- 2$ . Linja skjer andreaksen i punktet $(0, 2)$ . Det er den svarte grafen, han som søkk og er brattast.

c) $h (x) = - x$

Løysing

Stigningstalet er $- 1$ . Linja skjer andreaksen i origo $(0, 0)$ . Det er den raude grafen, den andre grafen som søkk.

d) $i (x) = - 2$

Løysing

Stigningstalet er 0. Linja skjer andreaksen i punktet $(0, - 2)$ . Det er den grøne grafen, som er den vassrette grafen.

Oppgåve 4

Ei rett linje går gjennom punkta $(0, - 1)$ og $(1, 1)$ .

a) Finn stigningstalet til denne rette linja.

Løysing

Stigningstalet er gitt ved $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{1 - (- 1)}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$ .

b) Bruk eittpunktsformelen og finn likninga for linja gjennom desse punkta.

Løysing

Vi bruker punktet $(1, 1)$ og stigningstalet frå a) og får likninga

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 1 & = & 2 (x - 1) \\ y - 1 & = & 2 x - 2 \\ y & = & 2 x - 1 \end{array}$

c) Bruk det generelle uttrykket for ei rett linje til å finne likninga for linja.

Løysing

Vi bruker stigningstalet frå a), set inn punktet $(1, 1)$ og får

$\begin{array}{rcl} y & = & a x + b \\ y & = & 2 x + b \\ 1 & = & 2 \cdot 1 + b \\ 1 & = & 2 + b \\ - 1 & = & b \end{array}$

Likninga for linja blir $y = 2 x - 1$ .

Oppgåve 5

Ei rett linje har stigningstal 2 og går gjennom punktet $(2, 2)$ .

Finn likninga for linja.

Løysing

Ved eittpunktsformelen:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 2 & = & 2 (x - 2) \\ y - 2 & = & 2 x - 4 \\ y & = & 2 x - 2 \end{array}$

Ved å bruke det generelle uttrykket for linja:

$\begin{array}{rcl} y & = & a x + b \\ 2 & = & 2 \cdot 2 + b \\ b & = & 2 - 4 = - 2 \\ y & = & 2 x - 2 \end{array}$

Oppgåve 6

Gitt funksjonen $f (x) = - 3 x + 1$ . Grafen til ein annan funksjon g er parallell med grafen til f og går gjennom punktet $(- 1, - 2)$ .

Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g.

Løysing

Når grafane til f og g er parallelle, har dei det same stigningstalet. Ei likning for grafen til g blir

$\begin{array}{rcl} y - (- 2) & = & - 3 (x - (- 1)) \\ y + 2 & = & - 3 x - 3 \\ y & = & 3 x - 5 \end{array}$

Funksjonen g kan då skrivast $g (x) = - 3 x - 5$ .

Oppgåve 7

Ei rett linje går gjennom punkta $(2, 1 200)$ og $(5, 4 800)$ .

a) Finn stigningstalet til denne rette linja.

Løysing

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{4 800 - 1 200}{5 - 2} = \frac{3 600}{3} = 1 200$

b) Finn likninga for linja gjennom desse punkta.

Løysing

Vi bruker eittpunktsformelen:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 1 200 & = & 1 200 (x - 2) \\ y & = & 1 200 x - 2 400 + 1 200 \\ y & = & 1 200 x - 1 200 \end{array}$

Oppgåve 8

Ei rett linje går gjennom punkta $(0.2, 0.5)$ og $(0.5, 2.6)$ .

Finn likninga for linja gjennom desse punkta.

Løysing

Vi finn stigningstalet:

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2, 6 - 0, 5}{0, 5 - 0, 2} = \frac{2, 1}{0, 3} = 7, 0$

Vi bruker det generelle uttrykket for linja:

$\begin{array}{rcl} y & = & a x + b \\ 0, 5 & = & 7, 0 \cdot 0, 2 + b \\ 0, 5 & = & 1, 4 + b \\ b & = & 0, 5 - 1, 4 = - 0, 9 \\ y & = & 7, 0 x - 0, 9 \end{array}$

Oppgåve 9

Ei rett linje har stigningstal 0,01 og går gjennom punktet $(2, 0.05)$ .

Finn likninga for linja.

Løysing

Vi bruker eittpunktsformelen:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 0, 05 & = & 0, 01 (x - 2) \\ y & = & 0, 01 x - 0, 02 + 0, 05 \\ y & = & 0, 01 x + 0, 03 \end{array}$

I Furefoss by kostar det 40 kroner å leige ein sparkesykkel i 10 minutt. For å leige sparkesykkelen i 15 minutt kostar det 55 kroner. Finn ein formel for kor mykje det kostar å leige sparkesykkelen i x minutt når vi går ut frå at leigeprisen består av eit fastbeløp og ein bestemd pris per minutt.

Løysing

Vi har her to punkt på linja, $(10, 40)$ og $(15, 55)$ . Vi finn først stigningstalet:

$\frac{55 - 40}{15 - 10} = \frac{15}{5} = 3$

Så finner vi uttrykket for linja (vi bruker eittpunktsformelen her):

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 40 & = & 3 (x - 10) \\ y - 40 & = & 3 x - 30 \\ y & = & 3 x - 30 + 40 \\ y & = & 3 x + 10 \end{array}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Likninga til ei rett linje(DOCX)
Likninga til ei rett linje(PDF)

Lineære funksjonar

Likninga til ei rett linje

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Oppgåve 6

Oppgåve 7

Oppgåve 8

Oppgåve 9

Oppgåve 10

Nedlastbare filer