Oppgåve

Interaktivt innhald

Lineære funksjonar

Her kan du bli betre kjend med lineære funksjonar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Skriv inn $f (x) = a \cdot x + b$ i algebrafeltet i GeoGebra. Då skal du få to glidarar og ei rett linje i grafikkfeltet.

a) Endre på glidarane til a og b. Kva observerer du?

Løysing

Her har vi bygd inn ei interaktiv GeoGebra-fil som du kan bruke om du ikkje klarte å lage figuren:

Vi kan observere at dersom $a < 0$ , får vi ei linje som søkk når x veks. Dersom $a > 0$ , får vi det motsette, ei linje som stig når x veks. Dersom $a = 0$ , får vi ei vassrett linje.

Vi legg merke til at dersom vi endrar på b, vil grafen flytte seg opp og ned i algebrafeltet. Vi ser at linja skjer y-aksen i punktet $(0, b)$ .

Last ned figuren her dersom han ikkje blir vist.(GGB)

Oppgåve 2

a) Skriv ned stigningstalet og konstantleddet til kvar av de i tre funksjonane $f$ , $g$ og $h$ :

$f (x) = 2 x + 2$

Løysing

Stigningstal: 2

Konstantledd: 2

$g (x) = - 3 x - 2$

Løysing

Stigningstal: $- 3$

Konstantledd: $- 2$

$h (x) = x$

Løysing

Stigningstal: 1

Konstantledd: 0

b) Kva fortel stigningstalet og konstantleddet oss om grafen til ein lineær funksjon?

Løysing

Stigningstalet fortel kor raskt grafen til funksjonen veks eller minkar. Jo større stigningstalet er, jo brattare er grafen.

Konstantleddet fortel kor grafen skjer andreaksen. Når grafen skjer andreaksen, er variabelen x lik 0.

Verditabell
x	f(x)
-2	1
0	2
2	3

Verditabell
x	g(x)
-2	6
0	2
2	-2

Verditabell
x	h(x)
-2	-4
0	0
2	4

Oppgåve 4

Dei tre lineære funksjonane f, g og h er gitt ved

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x - 1 \\ g (x) & = & x + 2 \\ h (x) & = & x - 3 \end{array}$

a) Teikn grafane av dei tre funksjonane i det same koordinatsystemet.

Løysing

I eit koordinatsystem der x- og y-aksen går frå minus 6 til 6, er grafane til dei lineære funksjonane f av x er lik x minus 1, g av x er lik x pluss 2 og h av x er lik x minus 3 teikna. Grafane er parallelle linjer. Grafen til f av x skjer y-aksen for y er lik minus 1, grafen til g av x skjer y-aksen for y er lik 2, og grafen til h av x skjer y-aksen for y er lik minus 3. Illustrasjon.

b) Kvar skjer desse grafane andreaksen?

Løysing

Konstantleddet til $f (x)$ er $- 1$ . Grafen til $f (x)$ skjer dermed andreaksen i punktet $(0, - 1)$ .

Konstantleddet til $g (x)$ er 2. Grafen til $g (x)$ skjer dermed andreaksen i punktet $(0, 2)$ .

Konstantleddet til $h (x)$ er $- 3$ . Grafen til $h (x)$ skjer dermed andreaksen i punktet $(0, - 3)$ .

c) Kan du seie noko om korleis desse grafane går i forhold til kvarandre, og kvifor det er slik?

Løysing

Funksjonane har det same stigningstalet. Linjene er derfor parallelle.

Oppgåve 5

Bruk det du veit om stigningstalet og konstantleddet til ein lineær funksjon til å teikne dei rette linjene som er gitt ved

a) $f (x) = x - 2$

Løysing

Grafen av f har stigningstal 1 og konstantledd $- 2$ , det vil seie at grafen skjer andreaksen i $- 2$ . Vi kan ta utgangspunkt i $- 2$ på andreaksen. Stigningstalet på 1 fortel at dersom vi flyttar oss ei eining langs førsteaksen, stig grafen med 1 eining. Vi kan setje av to punkt til og teikne ei rett linje gjennom punkta.

I eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 1 til 6 og y-aksen går frå minus 3 til 4, er grafen til funksjonen f av x er lik x minus 2 teikna. Grafen er ei rett linje som går gjennom punktet med koordinatane 0 og minus 2, punktet med koordinatane 1 og minus 1 og punktet med koordinatane 2 og 0. Illustrasjon.

b) $g (x) = - x + 2$

Løysing

Grafen av g har stigningstal $- 1$ og konstantledd 2, det vil seie at grafen skjer andreaksen i 2. Vi kan ta utgangspunkt i 2 på andreaksen. Stigningstalet på $- 1$ fortel at dersom vi flyttar oss ei eining langs førsteaksen, søkk grafen med 1 eining. Vi kan setje av to punkt til og teikne ei rett linje gjennom punkta.

I eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 1 til 6 og y-aksen går frå minus 2,5 til 4, er grafen til funksjonen g av x er lik minus x pluss 2 teikna. Grafen er ei rett linje som går gjennom punktet med koordinatane 0 og 2, punktet med koordinatane 1 og 1 og punktet med koordinatane 2 og 0. Illustrasjon.

c) $h (x) = 2 x + 0, 5$

Løysing

Grafen av h har stigningstal 2 og konstantledd 0,5, det vil seie at grafen skjer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstalet på 2 fortel at dersom vi flyttar oss ei eining langs førsteaksen, stig grafen med 2 einingar. Vi kan setje av to punkt til og teikne ei rett linje gjennom punkta.

I eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 1 til 5 og y-aksen går frå minus 1,5 til 5, er grafen til funksjonen h av x er lik 2 x pluss 0,5 teikna. Grafen er ei rett linje som går gjennom punktet med koordinatane 0 og 0,5, punktet med koordinatane 1 og 2,5 og punktet med koordinatane 2 og 4,5. Illustrasjon.

Oppgåve 6

a) Finn stigningstalet til ei linje som går gjennom punkta $(3, 4)$ og $(6, 10)$ .

Løysing

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{10 - 4}{6 - 3} = \frac{6}{3} = 2$

b) Finn stigningstalet til ei linje som går gjennom punkta $(1, 2)$ og $(3, 4)$ .

Løysing

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

c) Finn stigningstalet til ei linje som går gjennom punkta $(- 3, 4)$ og $(2, 10)$ .

Løysing

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{10 - 4}{2 - (- 3)} = \frac{6}{5}$

d) Finn stigningstalet til ei linje som går gjennom punkta $(1, 2)$ og $(- 1, - 5)$ .

Løysing

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- 5 - 2}{- 1 - 1} = \frac{- 7}{- 2} = \frac{7}{2}$

Oppgåve 7

a) Finn stigningstalet til ei linje som har konstantledd lik 5 og går gjennom punktet $(3, 7)$ .

Løysing

Sidan konstantleddet er 5, veit vi at linja går gjennom punktet $(0, 5)$ .

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{7 - 5}{3 - 0} = \frac{2}{3}$

b) Finn stigningstalet til ei linje som går gjennom punktet $(3, - 9)$ og har konstantledd lik $-3$ .

Løysing

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- 9 - (- 3)}{3 - 0} = \frac{- 6}{3} = - 2$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Lineære funksjonar(DOCX)
Lineære funksjonar(PDF)