Regresjon og modellering

Vi skriv tala frå tabellen inn i reknearkdelen i GeoGebra, men lar året 1973 tilsvare $x=0$, året 1980 tilsvare $x=7$ og så vidare. Vi vel regresjonsanalyseverktøyet og modellen "Lineær", og vi får at funksjonen S kan beskrivast med uttrykket $S\left(x\right)=-5,39x+158$. Vi kopierer funksjonen og punkta over i grafikkfeltet.

Vi skriv inn linja $y=100$ og finn skjeringspunktet mellom linja og grafen til funksjonen S med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Vi finn at utsleppet av svoveldioksid er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, det vil seie i 1984.

Utslepp i år 2010, som er 37 år etter 1973:

Utsleppet kan ikkje vere negativt. Modellen ovanfor kan ikkje brukast til å anslå utslepp i lang tid framover. Når vi ser på punkta og grafen ovanfor, ser vi at modellen passar bra fram til 1996. Ein lineær modell passar dårleg etter 1996.

Vi skriv tala frå tabellen inn i reknearkdelen i GeoGebra, men lar året 1998 tilsvare $x=0$, året 2000 tilsvare $x=2$ og så vidare. Vi vel regresjonsanalyseverktøyet og modellen "Lineær" for kvar av indeksane.

Frukt: Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $F\left(x\right)=0,8x+101$.

Tobakk: Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $T\left(x\right)=7,7x+100$.

Sko og anna fottøy: Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $S\left(x\right)=-2,2x+104$.

Året 2006 tilsvarer at $x=8$.

Prisindeks i 2006 for frukt er$F\left(8\right)=0,8·8+101=107,4$.

Prisindeks i 2006 for tobakk er $T\left(8\right)=7,7·8+100=161,6$.

Prisindeks i 2006 for sko og anna er $S\left(8\right)-2,2·8+104=86,4$.

Vi kan òg rekne ut dette direkte i GeoGebra ved å skrive F(8) og så vidare.

Modellane stemmer ganske bra med dei observerte verdiane.

Vi vel å bruke Python:

1from scipy.optimize import curve_fit
2
3X = [7,8,9,10,11,13,15,18]
4Y = [102.5,100,99,93.5,93.2,77.1,68.1,58.5]
5
6
7def modell(x,a,b):
8    return a*x + b
9
10konstantar, kovarians = curve_fit(modell, X,Y)
11
12a,b = konstantar
13
14print(f'P(x)= {a:.1f}x+{b:.0f}')

Dette gir $P\left(x\right)=-4,3x+136$.

Prisindeks i 2007 er $P\left(17\right)=-4,3·17+135,9=62,8$.

Prisindeks i 1990 er $P\left(0\right)=-4,3·0+135,9=135,9$.

Modellen bygger på dei observerte verdiane i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen ein prisindeks på 62,8, mens prisindeksen i verkelegheita var 61,6. Vi kan dermed seie at modellen treffer svært bra når det gjeld 2007.

I perioden frå 1997 til 2008 fall prisen på klede. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klede fall frå 1990 og framover. Prisindeksen på 135,9 for 1990 vil vere den høgaste i heile perioden 1990–2008.

Når den verkelege prisindeksen i 1990 var på 99,5, betyr det at modellen vår treffer dårleg. Prisutviklinga på klede følger ikkje modellen vår i perioden 1990 til 1997. Frå 1990 fram til 1997 har det faktisk vore ein auke i prisindeksen.

I begge tilfella utgjer konstantleddet dei faste utgiftene og timeprisen stigningstalet.

Hos firma A er totalkostnadene i kroner ved leige av lokalet i x timar gitt med funksjonsuttrykket

$A\left(x\right)=500x+3 000$

Konstantleddet er 3 000 og viser her at den faste leigeprisen er 3 000 kroner. Den må betalast uansett kor mange timar lokalet skal leigast. Legg merke til at grafen skjer $y$-aksen i punktet (0, 3 000).

Stigningstalet er 500. Det betyr at det kostar 500 kroner for kvar ekstra time lokalet skal leigast.

Kostnadene aukar jamt med auken i talet på leigde timar. Vi har lineær vekst i kostnadene.

Tilsvarande gjeld for $B\left(x\right)$ og firma B.

Vi teiknar grafane til dei to funksjonane og finn skjeringspunktet mellom grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Grafane skjer kvarandre når $x=2$. Det betyr at dersom du skal leige lokala i to timar, er det prismessig det same kva firma du vel. Prisen er 4 000 kroner hos begge firmaa.

Dersom du skal leige lokalet i mindre enn to timar, lønner det seg å velje firma B. Det ser vi ved at grafen til $B\left(x\right)$ ligg under grafen til $A\left(x\right)$ i dette området.

Hvis du skal leige lokalet i meir enn to timar, lønner det seg å velje firma A. Det ser vi ved at grafen til $B\left(x\right)$ ligg under grafen til $A\left(x\right)$ i dette området.