Skjeringspunkt og nullpunkt

Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" og finn at punktet $A\left(2, 2\right)$ er skjeringspunktet mellom grafane, sjå figuren i a).

Utan bruk av digitale hjelpemiddel:

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & g\left(x\right)\\ -\frac{3}{2}x+5& =& 2x-2\\ -3x+10& =& 4x-4 \\ -3x-4x& =& -4-10\\ -7x& =& -14\\ x& =& 2\\ g\left(2\right)& =& 2·2-2=4-2=2\end{array}$

Vi får både med og utan digitale hjelpemiddel at skjeringspunktet er (2, 2).

Grafisk bruker vi verktøyet "Nullpunkt". (Vi kunne òg ha brukt verktøyet "Skjering mellom to objekt" på grafane og x-aksen, som gir det same resultatet.)

Funksjonen f har nullpunkt for $x=3,3$ (sjå punktet C i oppgåve a)), og funksjonen g har nullpunkt $x=1,0$ (sjå punktet B).

Ved rekning utan digitale hjelpemiddel:

$\begin{array}{l}\begin{array}{rclccrcl}f\left(x\right)& =& 0& & & g\left(x\right)& =& 0\\ -\frac{3}{2}x+5& =& 0& & & 2x-2& =& 0\\ -3x& =& -10& & & 2x& =& 2\\ x& =& \frac{10}{3}& & & x& =& 1\end{array}\end{array}$

Ved rekning med CAS i GeoGebra:

Vi får dei same nullpunkta ved rekning som grafisk.

For å finne ut kor mykje lønn Per får per time for sjølve salet, må vi multiplisere lønna per sal (10) med talet på sal s. Den totale lønna per time for Per er summen av grunnlønna på 105 kroner og lønna for salet, 10s.

$L\left(s\right)=10s+105$

Vi skriv L(s)=Funksjon(10s+105,0,15) i algebrafeltet i GeoGebra og får teikna grafen.

Vi teiknar linja $y=175$. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til L med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punktet A på figuren i oppgåve b).

Med ei timelønn på 175 kroner har Per har hatt 7 sal.

Dette kan vi òg finne ved rekning i CAS.

Sidan definisjonsmengda går til og med 15, er den største verdien funksjonen kan ha, $15·10 \mathrm{kroner}+105 \mathrm{kroner}=255 \mathrm{kroner}$. Den lågaste er 105 kroner. Verdimengda blir $V_L=\left[105, 255\right]$.

Vi må rekne ut temperaturstigninga per minutt, som blir $\frac{5,4 °\mathrm{C}}{60 \min }=0,09 °\mathrm{C}/\min$. Den totale temperaturstigninga etter x minutt får vi ved å multiplisere x med 0,09, og temperaturen i vatnet får vi ved å legge til starttemperaturen på 5 °C. Temperaturfunksjonen blir derfor

$T\left(x\right)=0,09x+5$

1,5 timer svarer til $1,5·60 \min =90 \min$.

$T\left(90\right)=0,09·90+5=13,1$

Temperaturen i vatnet etter 2,5 timar er 13,1 °C.

Vi teiknar linja $y=14$. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til T med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punktet A på figuren i oppgåve c).

Temperaturen var 14 °C etter 100 minutt, altså etter 1 time og 40 minutt.

Når prøven startar, er $x=0$. Temperaturen i vassflaska til Anette var dermed 6,5 °C ved prøvestart.

Sidan funksjonen for temperaturen i vatnet til Anette (f) har mindre stigningstal enn funksjonen for temperaturen i vatnet til Trine, stig temperaturen saktare i vatnet til Anette. Flaska til Anette er derfor best til å halde vatnet kaldt.

Vi kan ta utgangspunkt i eit punkt på grafen, til dømes punktet $\left(1, 1\right)$. Når vi beveger oss 1 eining i positiv retning langs førsteaksen, stig grafen med 2 einingar.

Stigningstalet er $\frac{2}{1}=2$.

Vi kallar funksjonen for f. Grafen til funksjonen f skjer andreaksen i punktet $\left(0, -1\right)$. Konstantleddet er dermed $-1$.

Funksjonsuttrykket kan då skrivast som

$f\left(x\right)=2x-1$

Nullpunktet er der grafen skjer førsteaksen.

Grafisk ser vi at nullpunktet er $x=\frac{1}{2}$.

Ved rekning set vi

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$

Ordne kvar likning slik at $y$ kan skrivast som ein funksjon av $x$ i kvar av likningane.

Vi ordnar kvar likning og skriv y som ein funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}x+y& = & -2& \Rightarrow & y& = & -x-2\\ & & & & & & \\ 2x-3y& =& 6& \Rightarrow & y& =& \frac{2}{3}x-2\end{array}$

Så teiknar vi grafane og les av skjeringspunktet:

x-koordinaten er løysinga for x, og y-koordinaten er løysinga for y. Løysinga på likningssettet er

$x=0 \wedge y=-2$

Vi ordnar kvar likning og skriv y som ein funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}6x+2y& = & 8& \Rightarrow & y& = & -3x+4\\ & & & & & & \\ 2x-y& =& 6& \Rightarrow & y& =& 2x-6\end{array}$

Så teiknar vi grafane og les av skjeringspunktet:

Løysinga på likningssettet er $x=2 \wedge y=-2$.

Vi ordnar kvar likning og skriv y som ein funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}-5x-2y& = & 4& \Rightarrow & y& = & -\frac{5}{2}x-2\\ & & & & & & \\ 2x-3y& =& 6& \Rightarrow & y& =& \frac{2}{3}x-2\end{array}$

Så teiknar vi grafane og les av skjeringspunktet:

Løysinga på likningssettet er $x=0 \wedge y=-2$.

Sidan vi kjem fram til to uttrykk der konstantledda er like, treng vi ikkje eigentleg å teikne grafane for å sjå at løysinga for x er 0, for då får vi den same y-verdien frå dei to likningane: $-2$.

Vi ordnar kvar likning og skriv y som ein funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}-4x& = & 3y-2& \Rightarrow & y& = & -\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\\ & & & & & & \\ -6y& =& 8x-4& \Rightarrow & y& =& -\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\end{array}$

Grafane får same funksjonsuttrykk. Det vil seie at dei er samanfallande. Alle punkt som ligg på linja $y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$, er løysingar av likningssettet.

Vi ordnar kvar likning og skriv y som ein funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}-y& = & x-6& \Rightarrow & y& = & -x+6\\ & & & & & & \\ 4y+4x& =& -2& \Rightarrow & y& =& -x-\frac{1}{2}\end{array}$

Så teiknar vi grafane og les av skjeringspunktet:

Sidan linjene har same stigningstal og ulikt konstantledd, er dei parallelle og vil ikkje skjere kvarandre. Likningssettet har derfor inga løysing. Sidan vi kjem fram til to uttrykk der stigningstala er like, men konstantledda ulike, treng vi ikkje eigentleg å teikne grafane for å sjå at dei ikkje har løysing.