Oppgave

Varians og standardavvik

Vi jobber med oppgaver om varians og standardavvik.

4.1.21

La $X$ være antall hummere en hummerfisker får i en tilfeldig hummerteine. Sannsynlighetsfordelingen for $X$ er gitt i tabellen:

Sannsynlighetsfordeling
$x$	0	1	2	3	4
$P (X = x)$	0,55	0,30	0,10	0,04	0,01

Regn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket.

Løsning

$\begin{array}{rcl} μ & = & 0 \cdot 0, 55 + 1 \cdot 0, 30 + 2 \cdot 0, 10 + 3 \cdot 0, 04 + 4 \cdot 0, 01 \\ = & 0, 30 + 0, 20 + 0, 12 + 0, 04 \\ = & 0, 66 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{rclc} V a r (X) & = & {(0 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 55 + {(1 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 30 + {(2 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 10 \\ + {(3 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 04 + {(4 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 01 \\ = & 0, 24 + 0, 03 + 0, 18 + 0, 22 + 0, 11 \\ = & 0, 78 \end{array} \end{array}$

$σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{0, 78} = 0, 883 \approx 0, 88$

4.1.22

Overflaten til et tetraeder består av fire likesidede trekanter. De ulike sidene er markert med henholdsvis 1, 2, 3 og 4 øyne.

Vi kaster to slike "terninger". La $X$ være produktet av antall øyne på de to sidene som vender ned mot bordet.

a) Lag en oversikt over utfallsrommet til $X$ .

Løsning

Vi lager en tabell for å skaffe oversikt:

utfallsrom
	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	6	8
3	3	6	9	12
4	4	8	12	16

Dette gir følgende utfallsrom:

$U_{X} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16\}$

b) Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Løsning

Vi leser av tabellen i a) og oppgir alle sannsynlighetene i sekstendeler:

sannsynligheten i sekstendeler
$x$	1	2	3	4	6	8	9	12	16
$P (X = x)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$

c) Regn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til $X$ .

Løsning

$\begin{array}{ccl} E (X) & = & 1 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{2}{16} + 3 \cdot \frac{2}{16} + 4 \cdot \frac{3}{16} + 6 \cdot \frac{2}{16} + 8 \cdot \frac{2}{16} \\ + 9 \cdot \frac{1}{16} + 12 \cdot \frac{2}{16} + 16 \cdot \frac{1}{16} \\ = & \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{6}{16} + \frac{12}{16} + \frac{12}{16} + \frac{16}{16} + \frac{9}{16} + \frac{24}{16} + \frac{16}{16} \\ = & \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6, 25 \end{array}$

$\begin{array}{cl} \begin{array}{ccl} V a r (X) & = & {(1 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{1}{16} + {(2 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} + {(3 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} \\ + {(4 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{3}{16} + {(6 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} \\ + {(8 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} + {(9 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{1}{16} \\ + {(12 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} + {(16 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{1}{16} \\ = & \frac{27, 6}{16} + \frac{36, 1}{16} + \frac{21, 1}{16} + \frac{15, 2}{16} + \frac{0, 5}{16} + \frac{6, 1}{16} + \frac{7, 6}{16} + \frac{66, 1}{16} + \frac{95}{16} \\ = & \frac{275, 3}{16} = 17, 20 \approx 17, 2 \end{array} \end{array}$

$σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{17, 2} = 4, 14 \approx 4, 1$

d) Lag et program som simulerer kast med to slike tetraedre og få programmet til å regne ut gjennomsnittet, variansen og standardavviket. Sammenlikn med svarene du regnet ut i c).

Løsning

Her er to ulike måter å skrive programmet på. Kanskje har du et tredje alternativ som virker minst like godt?

python

1import numpy as np
2
3rng = np.random.default_rng() 
4
5N = 100000
6X = np.zeros(N) #en array for resultatene av kast
7V = np.zeros(N) #en array for kvadratavvikene
8
9tetra_1 = (rng.integers(1, 5, size = N)) #kaster den ene terningen tilfeldig
10tetra_2 = (rng.integers(1, 5, size = N)) #kaster den andre terningen tilfeldig
11
12for i in range(N):     #finner produktene av de to terningene i hvert kast
13    X[i] = tetra_1[i]*tetra_2[i]
14
15snitt = sum(X)/N       #finner gjennomsnittsverdien
16
17for i in range(N):     #regner ut kvadratavviket i hvert tilfelle
18    V[i] = (snitt-X[i])**2
19    
20varians = sum(V)/N    #finner variansen
21avvik = np.sqrt(varians)  #regner ut kvadratavviket
22
23print(f"Gjennomsnittet er {snitt:.2f}, variansen er {varians:.1f}. og standardavviket er {avvik:.1f}.")

python

1import numpy as np
2
3N = 100000
4U = [1,2,2,3,3,4,4,4,6,6,8,8,9,12,12,16]     #lister opp alle de mulige utfallene i rett antall
5X = np.zeros(N) #en array for resultatene av kast
6V = np.zeros(N) #en array for kvadratavvikene
7
8for i in range(N):
9    X[i] = np.random.choice(U) #velger tilfeldig et utfall fra utfallsrommet og legger det i arrayen
10
11snitt = sum(X)/N   #finner gjennomsnittet
12    
13for i in range(N):     #regner ut kvadratavviket i hvert tilfelle
14    V[i] = (snitt-X[i])**2
15    
16varians = sum(V)/N    #finner variansen
17avvik = np.sqrt(varians)  #regner ut kvadratavviket
18
19print(f"Gjennomsnittet er {snitt:.2f}, variansen er {varians:.1f}, og standardavviket er {avvik:.1f}.")

Når vi kjører disse programmene mange ganger, ser vi at svarene varierer veldig lite. Vi kan få dem til å variere enda mindre ved å kjøre simuleringen flere ganger, det vil si ved å gjøre N større.

4.1.23

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved

Sannsynlighetsfordeling
$x$	1	2	3	4
$P (X = x)$	0,40	$a$	0,20	0,10

a) Bestem $a$ .

Løsning

Vi har at summen i en sannsynlighetsfordeling alltid skal være lik 1:

$\begin{array}{rcl} 0, 40 + a + 0, 20 + 0, 1 & = & 1 \\ a & = & 1 - 0, 70 \\ a & = & 0, 30 \end{array}$

b) Finn standardavviket til $X$ .

Løsning

Vi må først finne forventningsverdien:

$μ = 1 \cdot 0, 4 + 2 \cdot 0, 3 + 3 \cdot 0, 2 + 4 \cdot 0, 1 = 2, 0$

Så kan vi regne ut variansen og standardavviket:

$\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & {(1 - 2)}^{2} \cdot 0, 4 + {(2 - 2)}^{2} \cdot 0, 3 \\ + {(3 - 2)}^{2} \cdot 0, 2 + {(4 - 2)}^{2} \cdot 0, 1 \\ = & 0, 4 + 0 + 0, 2 + 0, 4 \\ = & 1 \\ σ & = & \sqrt{1} = 1 \end{array}$

4.1.24

To maskiner, $A$ og $B$ , pakker lakrispastiller i esker. Antall pastiller i eska varierer noe. La $X$ være antall pastiller i eskene til pakkemaskin $A$ og $Y$ være antall pastiller i eskene til pakkemaskin $B$ .

Sannsynlighetsfordelingene til $X$ og $Y$ er gitt nedenfor.

Maskin $A$ :

maskin a
$x$	28	29	30	31	32
$P (X = x)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{20}$

Maskin $B$ :

maskin b
$y$	28	29	30	31	32
$P (Y = y)$	$\frac{2}{25}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{50}$

a) Finn forventningsverdi, varians og standardavvik til $X$ og $Y$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & 28 \cdot \frac{1}{10} + 29 \cdot \frac{1}{4} + 30 \cdot \frac{1}{2} + 31 \cdot \frac{1}{10} + 32 \cdot \frac{1}{20} \\ = & 28 \cdot \frac{2}{20} + 29 \cdot \frac{5}{20} + 30 \cdot \frac{10}{20} + 31 \cdot \frac{2}{20} + 32 \cdot \frac{1}{20} \\ = & \frac{2 \cdot 28 + 5 \cdot 29 + 10 \cdot 30 + 2 \cdot 31 + 1 \cdot 32}{20} \\ = & \frac{595}{20} = 29, 75 \end{array}$

$\begin{array}{ccl} V a r (X) & = & {(28 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{10} + {(29 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{4} + {(30 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{2} \\ + {(31 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{10} + {(32 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{20} \\ = & 3, 06 \cdot \frac{2}{20} + 0, 56 \cdot \frac{5}{20} + 0, 06 \cdot \frac{10}{20} + 1, 56 \cdot \frac{2}{20} + 5.06 \cdot \frac{1}{20} \\ \approx & 0, 89 \end{array}$

$S D (X) = \sqrt{0, 89} \approx 0, 94$

$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 28 \cdot \frac{2}{25} + 29 \cdot \frac{3}{20} + 30 \cdot \frac{3}{5} + 31 \cdot \frac{3}{20} + 32 \cdot \frac{1}{50} \\ = & 28 \cdot \frac{8}{100} + 29 \cdot \frac{15}{100} + 30 \cdot \frac{60}{100} + 31 \cdot \frac{15}{100} + 32 \cdot \frac{2}{100} \\ = & \frac{8 \cdot 28 + 15 \cdot 29 + 60 \cdot 30 + 15 \cdot 31 + 2 \cdot 32}{100} \\ = & \frac{2988}{100} = 29, 88 \end{array}$

$\begin{array}{ccl} V a r (Y) & = & {(28 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{2}{25} + {(29 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{3}{20} + {(30 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{3}{5} \\ + {(31 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{3}{20} + {(32 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{1}{50} \\ = & 3, 53 \cdot \frac{2}{20} + 0, 77 \cdot \frac{5}{20} + 0, 01 \cdot \frac{10}{20} + 1, 25 \cdot \frac{2}{20} + 4, 49 \cdot \frac{1}{20} \\ \approx & 0, 69 \end{array}$

$S D (Y) = \sqrt{0, 69} \approx 0, 83$

b) Hvilken maskin produserer esker med minst spredning i antall pastiller?

Løsning

Standardavviket til $Y$ er mindre enn standardavviket til $X$ . Det betyr at maskin $B$ produserer pastillesker med minst spredning i antall pastiller.

c) Lag et program som lar brukeren oppgi sannsynlighetsfordeling, og som så regner ut forventningsverdi, varians og standardavvik. Test programmet ved å kjøre det på maskin A og B.

Løsning

Forslag til program:

python

1import numpy as np
2
3X = input("Oppgi de mulige verdiene X kan ha. Skill mellom verdiene med komma.")
4p_x = input("Oppgi de tilhørende sannsynlighetene. Skill med komma.")
5
6X = X.split(",")
7for i in range(len(X)):
8    X[i] = float(X[i])
9X = np.array(X)
10
11p_x = p_x.split(",")
12for i in range(len(p_x)):
13    p_x[i] = float(p_x[i])
14p_x = np.array(p_x)
15
16e = sum(X*p_x)
17v = sum((X-e)**2*p_x)
18
19print(f"Forventningsverdien blir {e:.2f}.")
20print(f"Variansen blir {v:.2f}.")
21print(f"Standardavviket blir {np.sqrt(v):.2f}.")

I linjene 3 og 4 henter vi dataene fra brukeren.

Linjene 6 og 11: Vi splitter opp informasjonen fra brukeren og legger tallene i ei liste.

Linjene 7–8 og 12–13: Vi gjør om elementene til tall.

Linjene 9 og 14: Vi transformerer til array slik at vi får mulighet til å regne med elementene.

Linje 16: Vi finner forventningsverdien.

Linje 17: Vi finner variansen.

Linjene 19–21: Vi skriver ut de tre verdiene.

Legg merke til at du må oppgi sannsynlighetene som desimaltall (med punktum som desimalskilletegn), og ikke som brøk.

4.1.21

4.1.22

4.1.23

4.1.24

Regler for bruk av teksten "Varians og standardavvik"