Oppgave

Summer av stokastiske variabler

Her får du oppgaver der du må jobbe med summer av stokastiske variabler.

4.1.31

La $X$ være en stokastisk variabel med $E (X) = 3$ og $V a r (X) = 2$ .

La $Y$ være en annen stokastisk variabel med $E (Y) = 5$ og $V a r (Y) = 3$ .

a) Regn ut $E (X + Y)$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} E (X + Y) & = & E (X) + E (Y) \\ = & 3 + 5 = 8 \end{array}$

b) Regn ut $V a r (X + Y)$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V a r (X + Y) & = & V a r (X) + V a r (Y) \\ = & 2 + 3 = 5 \end{array}$

c) Regn ut $E (100 \cdot X)$ , $V a r (100 \cdot X)$ og $S D (100 \cdot Y)$ .

Løsning

$E (100 \cdot X) = 100 \cdot E (X) = 100 \cdot 3 = 300$

$V a r (100 \cdot X) = 100 \cdot V a r (X) = 100 \cdot 2 = 200$

$S D (100 \cdot Y) = \sqrt{100} \cdot S D (Y) = 10 \sqrt{2}$

4.1.32

Lise skal lage godteposer til en barnebursdag. Hun kjøper inn store poser med karameller, og det er cirka 20 karameller i hver pose. Det kommer 14 barn i bursdagen, og hun vil helst ha 10 karameller til hver. Hun lurer litt på om hun kan forvente at det holder å kjøpe 7 poser. Fra produsenten får hun vite at sannsynlighetsfordelingen for antall karameller i hver pose er som gitt i tabellen:

sannsynlighetsfordeling
antall karameller, $x$	18	19	20	21	22
$P (X = x)$	$0, 02$	$0, 2$	$0, 7$	$0, 06$	$0, 02$

Hvor mange karameller kan Lise regne med å få hvis hun kjøper 7 poser?

Løsning

Vi setter variabelen $S$ lik antallet karameller til sammen i de 7 posene.

Vi har at $μ_{S} = 7 \cdot μ_{X}$ .

$\begin{array}{rcl} μ_{X} & = & 18 \cdot 0, 02 + 19 \cdot 0, 2 + 20 \cdot 0, 7 + 21 \cdot 0, 06 + 22 \cdot 0, 02 \\ = & 19, 86 \\ μ_{S} & = & 7 \cdot 19, 86 = 139, 02 \end{array}$

Forventningsverdien for antall karameller i 7 poser er 139. Det betyr at Lise kan forvente å få en karamell for lite.

4.1.33

En hundeeier driver med avl og har hvert år to tisper av to ulike raser som får kull. Rasene han har, får inntil 7 valper i ett kull, men det vanligste er 4. Han er en populær oppdretter, og valpene er vanligvis holdt av lenge før han vet hvor mange han får. Kundene har som oftest en favorittrase, men tar gjerne den andre rasen dersom det er for få av den de helst ønsker. Oppdretteren trenger derfor å vite hvor mange valper han kan forvente å få til sammen hvert år. Vi lar $X$ betegne hvor mange valper den ene tispa får, og $Y$ hvor mange valper den andre tispa får.

Sannsynlighetsfordelingene til $X$ og $Y$ er gitt nedenfor.

sannsynlighetsfordeling x
$x$	1	2	3	4	5	6	7
$P (X = x)$	0,02	0,08	0,25	0,4	0,2	0,04	0,01

sannsynlighetsfordeling y
$y$	1	2	3	4	5	6	7
$P (Y = y)$	0,02	0,03	0,2	0,35	0,25	0,1	0,05

a) Finn forventningsverdien til $X$ og $Y$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & 1 \cdot 0, 02 + 2 \cdot 0, 08 + 3 \cdot 0, 25 \\ + 4 \cdot 0, 4 + 5 \cdot 0, 2 + 6 \cdot 0, 04 + 7 \cdot 0, 01 \\ = & 0, 02 + 0, 16 + 0, 75 + 1, 6 + 1 + 0, 24 + 0, 07 \\ = & 3, 84 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 1 \cdot 0, 02 + 2 \cdot 0, 03 + 3 \cdot 0, 2 \\ + 4 \cdot 0, 35 + 5 \cdot 0, 25 + 6 \cdot 0, 1 + 7 \cdot 0, 05 \\ = & 0, 02 + 0, 06 + 0, 6 + 1, 4 + 1, 25 + 0, 6 + 0, 35 \\ = & 4, 28 \end{array}$

b) Lag et program som kan løse oppgave a og i tillegg finne $E (X + Y)$ , $V a r (X + Y)$ og $S D (X + Y)$ .

Tips

Ta utgangspunkt i programmet fra oppgave 4.1.24 c) på siden "Varians og standardavvik" og utvid det.

Løsning

Forslag til program:

python

1import numpy as np
2
3X = input("Oppgi de mulige verdiene X kan ha. Skill mellom verdiene med komma.")
4p_x = input("Oppgi de tilhørende sannsynlighetene. Skill med komma.")
5
6X = X.split(",")
7for i in range(len(X)):
8    X[i] = float(X[i])
9X = np.array(X)
10
11p_x = p_x.split(",")
12for i in range(len(p_x)):
13    p_x[i] = float(p_x[i])
14p_x = np.array(p_x)
15
16e_X = sum(X*p_x)
17v_X = sum((X-e_X)**2*p_x)
18
19Y = input("Oppgi de mulige verdiene Y kan ha. Skill mellom verdiene med komma.")
20p_y = input("Oppgi de tilhørende sannsynlighetene. Skill med komma.")
21
22Y = Y.split(",")
23for i in range(len(Y)):
24    Y[i] = float(Y[i])
25Y = np.array(Y)
26
27p_y = p_y.split(",")
28for i in range(len(p_y)):
29    p_y[i] = float(p_y[i])
30p_y = np.array(p_y)
31
32e_Y = sum(Y*p_y)
33v_Y = sum((Y-e_Y)**2*p_y)
34
35e = e_X + e_Y
36v = v_X + v_Y
37
38print(f"Forventningsverdien for X blir {e_X:.2f}.")
39print(f"Forventningsverdien for Y blir {e_Y:.2f}.")
40print(f"Forventningsverdien for X+Y blir {e:.2f}.")
41print(f"Variansen for X+Y blir {v:.2f}.")
42print(f"Standardavviket for X+Y blir {np.sqrt(v):.2f}.")

I linjene 3 og 4 henter vi dataene fra brukeren om $X$ .

Linjene 6 og 11: Vi splitter opp informasjonen fra brukeren og legger tallene i ei liste.

Linjene 7–8 og 12–13: Vi gjør om elementene til tall.

Linjene 9 og 14: Vi transformerer til array slik at vi får mulighet til å regne med elementene.

Linje 16: Vi finner forventningsverdien.

Linje 17: Vi finner variansen.

Linjene 19–33: Vi gjentar for $Y$ .

I linjene 35 og 36 finner vi $E (X + Y)$ og $V a r (X + Y)$ .

Til slutt skrives de fem verdiene ut.

Ved å kjøre programmet får vi følgende svar:

Forventningsverdien for $X$ blir 3,84.
Forventningsverdien for $Y$ blir 4,28.
Forventningsverdien for $X + Y$ blir 8,12.
Variansen for $X + Y$ blir 2,70.
Standardavviket for $X + Y$ blir 1,64.

c) En annen oppdretter driver bare med samme rase som tispe $X$ . Han har fire kull i året. Hvor mange valper kan han forvente å få i løpet av 10 år? Løs oppgaven både for hånd og ved å utvide programmet i b).

Løsning

Vi setter $S = 4 \cdot 10 \cdot X$ .

Da har vi at $E (S) = 4 \cdot 10 \cdot E (X) = 40 \cdot 3, 84 = 153, 60$ .

Vi setter inn ei kodelinje på slutten av programmet fra b):

python

1print(f"Forventningsverdien etter 10 år blir {e_X*4*10:.2f}.")

Dette gir følgende utskrift:

"Forventningsverdien etter 10 år blir 153.60."

4.1.31

4.1.32

4.1.33

Regler for bruk av teksten "Summer av stokastiske variabler"