Oppgave

Multiplikasjon av sannsynligheter

Løs oppgavene uten hjelpemidler.

4.1.50

Tikrone. Foto. — Bilde: NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

Du kaster en tikrone to ganger.

a) Finn sannsynligheten for at du får krone i begge kastene.

Vis fasit

$P (2 krone) = P (krone) \cdot P (krone) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

b) Finn sannsynligheten for at du får mynt i begge kastene.

Vis fasit

$P (2 mynt) = P (mynt) \cdot P (mynt) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

c) Finn sannsynligheten for at du får mynt i det første kastet og krone i det andre kastet.

Vis fasit

$P (Først mynt, så krone) = P (mynt) \cdot P (krone) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

d) Finn sannsynligheten for at du får krone i det første kastet og mynt i det andre kastet.

Vis fasit

$P (Først krone, så mynt) = P (krone) \cdot P (mynt) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

e) Sett opp en sannsynlighetsfordeling for forsøket.

Vis fasit

Utfall	KK	KM	MK	MM
Sannsynlighet	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

4.1.51

Du får vite at Arne og Grete har to barn. Barna er ikke tvillinger. Vi regner med at ved en fødsel er sannsynligheten for å få ei jente like stor som sannsynligheten for å få en gutt.

a) Hva er sannsynligheten for at Arne og Grete har to jenter?

Vis fasit

$P (J J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0, 25$

b) Hva er sannsynligheten for at Arne og Grete har éi jente og én gutt?

Vis fasit

$P (J G eller G J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0, 50$

4.1.52

Du får vite at Anne og Morten har tre barn. Barna er ikke tvillinger eller trillinger. Vi regner med at ved en fødsel er sannsynligheten for å få ei jente like stor som sannsynligheten for å få en gutt.

a) Hva er sannsynligheten for at hele barneflokken er jenter?

Vis fasit

$P (J J J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0, 125$

b) Hva er sannsynligheten for at den eldste i søskenflokken er en gutt og resten er jenter?

Vis fasit

$P (G J J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0, 125$

c) Hva er sannsynligheten for at det er høyst én gutt i søskenflokken?

Vis fasit

Vi har da fire gunstige utfall, $\{J J J, G J J, J G J, J J G\}$ , av totalt 8 mulige utfall med samme sannsynlighet.

$\begin{array}{rcl} P (Høyst en gutt) & = & P (J J J) + P (G J J) + P (J G J) + P (J J G) \\ = & \frac{1}{8} \cdot 4 \\ = & 0, 50 \end{array}$

4.1.53

Hatt med lapper med tallene 1 til 5. Illustrasjon. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Du legger fem lapper nummerert fra 1 til 5 i en hatt, og så trekker du etter tur ut to lapper.

a) Hva er sannsynligheten for at du først trekker nummer 3 og så nummer 4 dersom du legger tilbake den første lappen før du trekker neste lapp?

Vis fasit

$P (Først 3, så 4) = P (3) \cdot P (4) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

b) Hva er sannsynligheten for at du først trekker nummer 3 og så nummer 4 dersom du ikke legger tilbake den første lappen før du trekker neste lapp?

Vis fasit

$P (Først 3, så 4) = P (3) \cdot P (4 | 3) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$

4.1.54

I en boks ligger det 4 blå, 3 røde og 5 gule kuler. Du trekker ut to kuler fra boksen. (Du legger ikke tilbake den første kula før du trekker den neste.)

a) Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde?

Vis fasit

$P (R R) = P (R) \cdot P (R | R) = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} = \frac{1}{22} \approx 0, 045$

b) Hva er sannsynligheten for at den første kula du trekker ut, er blå, og at den andre kula du trekker ut, er gul?

Vis fasit

$P (B G) = P (B) \cdot P (G | B) = \frac{4}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{5}{33} \approx 0, 15$

c) Hva er sannsynligheten for at du trekker éi blå og éi gul kule?

Vis fasit

Her må vi passe på. Å trekke éi blå og éi gul kule kan gjøres på to måter. Du kan først trekke éi blå kule og deretter éi gul kule, eller du kan først trekke éi gul kule og deretter éi blå kule.

$\begin{matrix} P (B G eller G B) = P (B) \cdot P (G | B) + P (G) \cdot P (B | G) \\ P (B G eller G B) = \frac{4}{12} \cdot \frac{5}{11} + \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = 2 \cdot \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 11} = \frac{10}{33} \approx 0, 30 \end{matrix}$

4.1.55

Omtrent én tidel av verdens befolkning er venstrehendte.

a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person er høyrehendt?

Vis fasit

$P (Høyrehendt) = 1 - P (Venstrehendt) = 1 - 0, 10 = 0, 90$

I en klasse er det 20 elever.

b) Hva er sannsynligheten for at det ikke er noen venstrehendte i denne klassen?

Vis fasit

$P (Alle høyrehendte) = 0, 90^{20} = 0, 12$

c) Hva er sannsynligheten for at det er minst én venstrehendt i klassen?

Vis fasit

Enten er ingen venstrehendte eller så er det minst én venstrehendt.

Vi kan da skrive

$\begin{array}{rcl} P (Minst én venstrehendt) & = & 1 - P (Ingen venstrehendte) \\ = & 1 - 0, 12 \\ = & 0, 88 \end{array}$

(Ingen venstrehendte er det samme som at alle er høyrehendte.)

4.1.56

I ei skål ligger det 100 nøtter. Fem av nøttene er dårlige. Du tar tre nøtter tilfeldig.

a) Hva er sannsynligheten for at alle tre nøttene er fine?

Vis fasit

Vi definerer hendelsen F: ei nøtt er fin.

$P (F F F) = P (F) \cdot P (F | F) \cdot P (F | F F) = \frac{95}{100} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98} = 0, 856$

b) Hva er sannsynligheten for at de to siste nøttene er fine når du vet at den første var dårlig?

Vis fasit

Dette blir det samme som å ha bare 99 nøtter der fire er dårlige og så trekke to:

$P (F F) = P (F) \cdot P (F | F) = \frac{95}{99} \cdot \frac{94}{98} = 0, 9204 \approx 0, 920 \begin{array}{l} \end{array}$

c) Hva er sannsynligheten for at den tredje nøtta er fin når de to første var dårlige?

Vis fasit

På samme måte som i b) tenker vi oss her at vi har tatt ut to av de dårlige nøttene og har 98 nøtter, tre av dem er dårlige.

$\begin{array}{rcl} P (Den tredje nøtta er fin når \\ vi vet at de to første var dårlige) & = & \frac{95}{98} \\ = & 0, 969 \end{array}$

4.1.57

Et passord består av fem siffer.

a) Hvor mange ulike passord kan du få dersom du kan bruke tallene 0 til 9 akkurat som du vil?

Vis fasit

Vi har 10 siffer å velge mellom og kan få $10^{5} = 100 000$ mulige passord.

b) Hvor mange passord kan du få dersom alle tallene må være ulike?

Vis fasit

For det første tallet har du 10 mulige siffer å velge mellom, for det andre tallet har du nå 9 siffer å velge mellom og så videre.

Vi får da $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30 240$ muligheter for passordet.

4.1.58

Terning med 12 sidekanter. Illustrasjon. — Bilde: Ukjent / CC BY-SA 4.0

Figuren viser en tolvsidet terning der tallene 1, 2, 3, ... , 12 er skrevet på sidene. De tolv mulige utfallene er like sannsynlige.

a) Hva er sannsynligheten for å få 12 når du kaster terningen én gang?

Vis fasit

$P (12 i ett kast) = \frac{1}{12}$

b) Du kaster terningen to ganger. Hva er sannsynligheten for å få 12 begge gangene?

Vis fasit

$P (12 i begge kastene) = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{144}$

c) Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på terningene er mindre enn 6 dersom du kaster terningen to ganger?

Vis fasit

Vi setter utfallene opp i en tabell for å få oversikt.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

Det er i alt $12 \cdot 12 = 144$ mulige utfall.

Sannsynligheten for at summen er mindre enn 6 (se rutene der tallene er uthevet i tabellen) blir dermed

$P (Sum < 6) = \frac{10}{144} = \frac{5}{72} \approx 0, 07$

4.1.59

Lærer Hansen er i skitrekket med klassen sin. Det er 13 gutter og 17 jenter i klassen. Elevene tar skiheisen opp, og Hansen blir igjen nede. Han lurer på om det er en gutt eller ei jente som kommer først ned bakken. Vi antar at elevene kommer ned i tilfeldig rekkefølge.

a) Hva er sannsynligheten for at den første eleven som kommer ned, er en gutt?

Vis fasit

$P (G) = \frac{13}{30} \approx 0, 433$

b) Hva er sannsynligheten for at den andre eleven som kommer ned, er ei jente, når den første var en gutt?

Vis fasit

$P (J | G) = \frac{17}{29} \approx 0, 586$

Den andre gangen elevene tar heisen opp, er det bare ni gutter og seks jenter som er med.

c) Hva er sannsynligheten for at de to første som kommer ned denne gangen, er jenter?

Vis fasit

$P (J J) = P (J) \cdot P (J | J) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{7} \approx 0, 143$

4.1.60

Thomas har to søsken. Ingen er tvillinger eller trillinger.

a) Hva er sannsynligheten for at de tre søsknene har fødselsdag på ulike ukedager?

Vis fasit

Vi har 7 ulike ukedager. Tenk deg at søsken nummer en har fødselsdag en bestemt ukedag. Da har søsken nummer to 6 andre ukedager å "velge" mellom. Søsken nummer tre har 5 ukedager å velge mellom.

Vi får da $\frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} = 0, 61$ .

b) Hva er sannsynligheten for at minst to av søsknene har fødselsdag på den samme ukedagen?

Vis fasit

Enten har ingen av søsknene fødselsdag på den samme ukedagen, eller så har minst to av søsknene fødselsdag på den samme ukedagen.

Vi får da $1 - 0, 61 = 0, 39$ .

Nå tar vi med foreldrene til Thomas.

c) Hva er sannsynligheten for at de fem familiemedlemmene har fødselsdag på ulike ukedager?

Vis fasit

Vi får $\frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{7} = 0, 15$ .

4.1.61

For å vinne toppgevinsten i lotto må du velge ut 7 riktige tall blant tallene fra og med 1 til og med 34. Tallene kan bare velges en gang hver. Du velger ut akkurat 7 tall.

a) Hva er da sannsynligheten for å vinne toppgevinsten i lotto?

Vis fasit

Sannsynligheten for å vinne toppgevinsten blir

$\frac{7}{34} \cdot \frac{6}{33} \cdot \frac{5}{32} \cdot \frac{4}{31} \cdot \frac{3}{30} \cdot \frac{2}{29} \cdot \frac{1}{28} = \frac{1}{5379616}$

b) Hva er da sannsynligheten for at ingen av tallene du tipper, er riktige?

Vis fasit

Sannsynligheten for at ingen av tallene er riktige, blir

$\frac{27}{34} \cdot \frac{26}{33} \cdot \frac{25}{32} \cdot \frac{24}{31} \cdot \frac{23}{30} \cdot \frac{22}{29} \cdot \frac{21}{28} = 0, 165$

c) Hva er da sannsynligheten for at minst ett av tallene er riktig?

Vis fasit

Sannsynligheten for at minst ett av tallene er riktig, blir

$1 - 0, 165 = 0, 835$

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

4.1.50

4.1.51

4.1.52

4.1.53

4.1.54

4.1.55

4.1.56

4.1.57

4.1.58

4.1.59

4.1.60

4.1.61

Regler for bruk av teksten "Multiplikasjon av sannsynligheter"

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24