Proporsjonalt eller omvendt proporsjonalt?

Vi vet at 22 masker i bredden er 10 cm. Da kan vi finne antall masker på én cm ved å dele 22 på 10.

$$ \frac{22 \mathrm{masker}}{10 \mathrm{cm}}=2,2 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}$$

Tilsvarende regner vi ut antall masker per cm i høyden.

$$ \frac{25 \mathrm{masker}}{10 \mathrm{cm}}=2,5 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}$$

Antallet masker i bredden blir

$$ 2,2 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}·15 \mathrm{cm}=33 \mathrm{masker}$$

Antallet masker i høyden blir tilsvarende

$$ 2,5 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}·15 \mathrm{cm}=37,5 \mathrm{masker}\approx 38 \mathrm{masker}$$

Antallet masker til sammen blir

$$ 33·38=1 254$$

Alternativ 1

Vi kan ta utgangspunkt i tallene fra kluten eller i opplysningene om strikkefasthet for å lage modellen. Her bruker vi opplysningene om strikkefasthet.

Areal: $$ 10 \mathrm{cm}·10 \mathrm{cm}=100 {\mathrm{cm}}^2$$

Masker: $$ 22·25=550$$

Antall masker per cm² får vi ved å dele det totale masketallet på 100:

$$ \frac{550 \mathrm{masker}}{100 {\mathrm{cm}}^2}=5,5 \frac{\mathrm{masker}}{{\mathrm{cm}}^2}$$

Formelen for arealet $$ y$$ blir

$$ y=5,5x$$

Alternativ 2

Vi bruker tallene for antall masker per cm i bredden (2,2) og i høyden (2,5) og multipliserer dem.

$$ y=2,2·2,5x=5,5x$$

Arealet $$ y$$ av kluten målt i cm² og antall masker $$ x$$ er proporsjonale størrelser. Ett av kravene til proporsjonalitet er at forholdet mellom størrelsene er konstant. Forholdet mellom $$ y$$ og $$ x$$ er

$$ \frac{y}{x}=\frac{5,5x}{x}=5,5$$

Vi har altså konstant forhold lik 5,5 mellom de to størrelsene, som dermed er proporsjonale.

Vi må fordele de 20 000 kronene på antall korpsmusikanter. Hvis vi kaller prisen per musikant $$ p\left(x\right)$$* der $$ x$$ er antall musikanter, får vi at

$$ p\left(x\right)=\frac{20 000}{x}$$

Her mistenker vi at størrelsene er omvendt proporsjonale, siden den ene størrelsen er i nevneren på en brøk. De to størrelsene $$ p\left(x\right)$$ og $$ x$$ er omvendt proporsjonale dersom produktet av dem er konstant for alle verdier av $$ x$$. Produktet er

$$ p\left(x\right)·x=\frac{20 000}{x}·x=20 000$$

Produktet er konstant, altså er størrelsene omvendt proporsjonale.

* Merk at her har vi brukt skrivemåten "$$ p\left(x\right)$$", som vi leser "p av x", og som er vanlig for funksjoner. Vi kunne også ha skrevet bare "$$ p$$".

Vi kaller den totale matkostnaden for $$ K\left(x\right)$$. Et uttrykk for denne kostnaden vil være prisen per musikant multiplisert med antall musikanter. Dette gir

$$ K\left(x\right)=200·x=200x$$

Her mistenker vi at størrelsene er proporsjonale siden det ikke er noen brøk i formelen. Vi sjekker forholdet mellom $$ K\left(x\right)$$ og $$ x$$.

$$ \frac{K\left(x\right)}{x}=\frac{200x}{x}=200$$

Forholdet er konstant, og derfor er den totale matkostnaden proporsjonal med antall musikanter.

Vi må sette sammen uttrykket av de faste utgiftene og de utgiftene som varierer med antall musikanter. De totale kostnadene er summen av den totale matkostnaden og prisen for leie av leirstedet.

$$ T\left(x\right)=20 000+K\left(x\right)=20 000+200x$$

Her er det naturlig å undersøke om størrelsene er proporsjonale siden det ikke er noen brøk i formelen. Men totalkostnaden er ikke proporsjonal med antall musikanter siden vi har ett ledd som er konstant og ett ledd som varierer med $$ x$$:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{T\left(x\right)}{x} & =& \frac{20 000+200x}{x}=\frac{20 000}{x}+\frac{200x}{x}\\ & =& \frac{20 000}{x}+200\end{array}$$

Vi får at forholdet varierer med $$ x$$. Derfor er ikke de totale utgiftene og antall musikanter proporsjonale størrelser.

Dette kan vi gripe an på to måter.

Alternativ 1

Vi kan velge å se på hver musikant for seg. Hver enkelt betaler 200 kroner i matutgifter og sin andel av de 20 000 kronene.

Da får vi$$ M\left(x\right)=200+\frac{20 000}{x}$$.

Alternativ 2

Vi kan bruke uttrykket vi hadde for de totale kostnadene $$ T\left(x\right)$$ og dele på antall musikanter. Dette forholdet regnet vi ut i forrige oppgave, og vi får

$$ M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}=\frac{20 000}{x}+200$$

Her kan vi slå fast med én gang at størrelsene verken er proporsjonale eller omvendt proporsjonale siden formelen består av ett ledd som varierer med $$ x$$ og ett ledd som ikke gjør det. Da vil verken produktet av størrelsene eller forholdet mellom dem kunne bli en konstant.