Omvendt proporsjonalitet

Jo flere som rydder, jo kortere tid tar det. Tar det for eksempel 2 timer for en elev å rydde alt, vil det ta 1 time dersom det er 2 elever som rydder. Videre vil dette ta 0,5 time dersom det er 4 elever som rydder og så videre. Multipliserer vi antall elever med hvor lang tid den enkelte eleven bruker, får vi alltid 2 timer. (Vi forutsetter at alle elevene rydder like godt.)

Tida det tar å rydde, vil derfor være omvendt proporsjonal med antallet elever som rydder.

Antall pizzastykker per person multiplisert med antall personer vil alltid bli antall delstykker i tre pizzaer, med andre ord tre hele pizzaer. Produktet blir altså alltid det samme.

Antall deltakere multiplisert med pris per deltaker er konstant. Da er størrelsene omvendt proporsjonale. Vi ser også at dersom antallet deltakere dobles fra 8 til 16, halveres prisen per deltaker.

Proporsjonalitetskonstanten er 2 000.

Grafen viser at gjennomsnittsfarten da har vært 80 km/h.

Merk at vi bruker h (engelsk: "hour") som måleenhet for antall timer.

Tidene når gjennomsnittsfarten er 70 km/h og 60 km/h er litt usikre siden rutenettet i den grafiske framstillinga er ganske grovt.

Strekningen er fast på 40 km, så det må være farten og tida som eventuelt kan være omvendt proporsjonale størrelser.

Utvid tabellen fra oppgave b) med en rad der du multipliserer fart og tid.

Produktet $v·t$ er konstant lik 40. Farten og tida er omvendt proporsjonale størrelser.

Formelen $$ s=v·t$$ er sammenhengen mellom strekning, fart og tid når farten er konstant. I nederste rad i tabellen er produktet $v·t$ regnet ut for alle tallene. Da får vi strekningen som skulle kjøres: 40 km. Dette stemmer med formelen.

$\begin{array}{rcl}s& = & v·t\\ & & \\ 40& =& 65·t\\ & & \\ \frac{40}{65}& =& \frac{\cancel{65}·t}{\cancel{65}}\\ & & \\ t& =& 0,615\end{array}$

Vi gjør om til minutter: $0,615 \mathrm{h}·60 \min /\mathrm{h}\approx 37 \min$

Det tar omtrent 37 minutter å kjøre 40 km med en fart på 65 km/h.

Kulene skal deles mellom 6 personer. Antallet kuler på hver blir

$$ \frac{72}{6}=12$$

Vi gjør det samme som i oppgave a) og får

$$ N=\frac{72}{x}$$

Denne oppgaven kan løses på flere måter. Du kan lage en tabell slik som i de andre oppgavene på denne siden, men det enkleste er å regne med formelen direkte.

For å undersøke om N og x er omvendt proporsjonale størrelser, må vi sjekke om produktet av dem er konstant. Dette gjør vi enklest på denne måten:

$$ N·x=\frac{72}{x}·x=\frac{72}{\cancel{x}}·\cancel{x}=72$$

Her har vi brukt at $$ N=\frac{72}{x}$$ i den første overgangen. Vi kan forkorte bort x, og resultatet blir (det konstante) tallet 72. Da får vi at N og x er omvendt proporsjonale størrelser.

Generelt vil det være slik at når formelen er av typen $$ y=\frac{k}{x}$$ der k er konstant, vil alltid x og y være omvendt proporsjonale størrelser.

Her må vi huske på at klinkekulene skal deles med én mer enn antall venner. Dersom antall venner er 2, blir antall klinkekuler på hver

$$ \frac{72}{2+1}=\frac{72}{3}=24$$

Produktet av størrelsene antall venner v og antall kuler k per person er ikke konstant. Størrelsene er derfor ikke omvendt proporsjonale.

Først lager vi en formel for k.

$$ k=\frac{72}{v+1}$$

Så må vi sjekke produktet av k og v.

$$ k·v=\frac{72}{v+1}·v=\frac{72v}{v+1}$$

Vi får ikke forkortet bort v. Produktet vil derfor variere med verdien av v og er derfor ikke konstant. Størrelsene er derfor ikke omvendt proporsjonale.