Én-entydige funksjoner

Du husker kanskje fra 1T at $$ f\left(x\right)$$ er en funksjon av $$ x$$ hvis og bare hvis $$ f\left(x\right)$$ for hver $$ x$$-verdi gir kun én $$ y$$-verdi. Flere $$ x$$-verdier kan derimot gi den samme $$ y$$-verdien. Vi sier at en funksjon er entydig.

Vi ser på funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2 , D_f=\mathrm{ℝ}.$$

Både $$ f(-2)=4$$ og $$ f\left(2\right) = 4$$, men uansett hvilken $$ x$$-verdi vi velger i definisjonsområdet til $$ f$$, gir $$ f\left(x\right)$$ bare én $$ y$$-verdi.

En eventuell omvendt funksjon til $$ f$$ måtte ha ført $$ y$$-verdien 4 tilbake til den $$ x$$-verdien som funksjonen $$ f$$ startet med. Her er det to muligheter: $$ x=-2$$ eller $$ x=2$$. Definisjonen på hva en funksjon er, krever at funksjonsverdien er entydig, og den omvendte funksjonen eksisterer derfor ikke for denne funksjonen.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må altså entydigheten "gå begge veier"; den må være det vi kaller én-entydig.

En funksjon $$ f$$ er én-entydig hvis

$$ x_1\ne x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right) \text{for alle } x_1, x_2\in D_f$$

Dette medfører følgende setning:

Vi ser på funksjonene

$$ g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$$

og

$$ $ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty ,\left.0\right]$$$

Husk at en funksjon er gitt ved et funksjonsuttrykk og en definisjonsmengde.

Vi ønsker å finne ut om funksjonene har omvendte funksjoner og eventuelt finne de omvendte funksjonene.

Vi tegner grafen til $$ g$$ og ser at funksjonen vokser i hele sitt definisjonsområde. Da må det for alle $$ x_1\ne x_2$$ være slik at $$ g\left(x_1\right)\ne g\left(x_2\right)$$. Funksjonen er derfor én-entydig og har en omvendt funksjon.

$$ \begin{array}{lcccc}\text{Vi setter}& & g\left(x\right)=y& & x\ge 0, y\ge 0\\ & & & & \\ \text{Da er }& & y=x^2& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=\sqrt{y}& & \text{Vi løser altså likningen med hensyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & g^{-1}\left(y\right)=\sqrt{y}& & \left(g^{-1}\left(y\right)=x\right)\end{array}$$

Tenk over

Hvorfor velger vi $$ x=\sqrt{y}$$ når vi skal finne den omvendte funksjonen over, og ikke $$ x=-\sqrt{y}$$?

Funksjonen

$$ $ g\left(x\right)=x^2 D_g=[0, \infty ⟩, V_g=[0, \infty \rangle $$$

har den omvendte funksjonen

$$ g^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x} D_{g^{-1}}=[0, \infty ⟩, V_{g^{-1}}=[0, \infty ⟩$$

Vi tegner så grafen til $$ h$$ og ser at funksjonen avtar i hele sitt definisjonsområde. Da må det for alle $$ x_1\ne x_2$$ være slik at $$ h\left(x_1\right)\ne h\left(x_2\right)$$. Funksjonen er derfor én-entydig og har en omvendt funksjon.

$$ \begin{array}{lcccc}\text{Vi setter}& & h\left(x\right)=y& & x\le 0, y\ge 0\\ & & & & \\ \text{Da er }& & y=x^2& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=-\sqrt{y}& & \text{Vi løser altså likningen med hensyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & h^{-1}\left(y\right)=-\sqrt{y}& & \left(h^{-1}\left(y\right)=x\right)\end{array}\begin{array}{}\end{array}$$

Vi bytter $$ x$$ og $$ $$$$ y$$ og får

$$ \begin{array}{cc}{h}^{-1}\left(x\right)=-\sqrt{x} , & x\ge 0\end{array}$$

Funksjonen

$$ $ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty ,\left.0\right], V_h=[0, \infty ⟩$$$

har den omvendte funksjonen

$$ h^{-1}\left(x\right)=-\sqrt{x} , D_{h^{-1}}=[0, \infty ⟩, V_{h^{-1}}=⟨-\infty , 0]$$

Ut fra det vi har sett, kan vi formulere setningen nedenfor:

Det betyr at vi kan sjekke om en funksjon har en omvendt funksjon ved å trekke linjer parallelle med $$ x$$-aksen. Hvis alle slike linjer bare treffer grafen i ett punkt, har funksjonen en omvendt funksjon.

Vi kan også bruke derivasjon, for eksempel:

$$ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}-2=x^{\frac{1}{3}}-2 \Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

Siden $$ x^2$$ aldri kan bli negativ, er den deriverte alltid positiv. Det betyr at funksjonen er det vi kaller strengt voksende (se lenger ned) og derfor har en omvendt funksjon.

Vi minner om at definisjonsmengden til den omvendte funksjonen alltid er lik verdimengden til den opprinnelige funksjonen.

Tenk over

Kan en funksjon ha en omvendt funksjon selv om den vokser i noen intervaller og synker i andre intervaller?

Forklaring

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen

$$ $ f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-x-3 , -2\le x\le 2\\ x-2 , 18\le x\le 100 \end{array}$$$

Vi ser at funksjonen er én-entydig selv om funksjonen synker i intervallet $$ \left[-2,2\right]$$ og vokser i $$ \left[2,6\right]$$ siden det ikke er noen $$ f\left(x\right)$$-verdier som kan gi to $$ x$$-verdier.

Dette betyr at selv om funksjoner som vokser i hele sitt definisjonsområde, har en omvendt funksjon, betyr ikke det at funksjoner som både vokser og synker, ikke kan ha det.

Funksjonen

$$ $ g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$$$

i eksempelet over er det vi kaller strengt voksende i hele sitt definisjonsområde.

Tenk over

Er funksjonen $$ $ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty ,\left.0\right]$$$ i eksempelet lenger opp på siden en strengt voksende eller strengt avtagende funksjon?

Tenk over

Nedenfor har vi tegnet funksjonen

$$ $ f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x , x\le 2\\ 2 , 2<x\le 6 \\ x-4 , x>6\end{array}$$$

Har denne funksjonen en omvendt funksjon? Forklar.

Er denne funksjonen strengt voksende? Forklar.

Vi definerer derfor videre:

Ved hjelp av det vi vet, kan vi nå formulere en formell definisjon av omvendte funksjoner.