Hopp til innhold
Fagartikkel

Den deriverte til omvendte funksjoner

Vi kan finne en sammenheng mellom den deriverte til funksjonen og den deriverte til den omvendte funksjonen.

La gx være den omvendte funksjonen til fx. Da er gfx=x. Vi deriverer begge sider av likningen. På venstre side bruker vi kjerneregelen. På høyre side får vi 1.

gfx=x   gfx'=x'      g'fxf'x=1      g'fx=1f'x

Den deriverte til funksjonen er med andre ord lik 1f'(x).

Når vi vet dette, kan vi finne den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt ut fra den deriverte til funksjonen, uten å gå veien om å finne den omvendte funksjonen og så derivere denne. Hvis vi allerede kjenner den omvendte funksjonen, kan vi selvfølgelig derivere denne på vanlig måte.

Vi tar utgangspunkt i funksjonen

fx=x3-2,    Df=R

og finner f(1), f'(x) og f'(1):

f1=13-2=1-2=-1f'x=13x-23=13x23f'1=13123=13

Vi har nå det vi trenger for å finne den deriverte til den omvendte funksjonen for x=-1, g'(-1) ut fra formelen:

g'fx=1f'xg'-1=1f'1g'-1=113=3

Vi ser at vi har funnet den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt, uten å måtte finne den omvendte funksjonen.

Siden f og g er omvendte funksjoner, ligger grafene symmetrisk om linja y=x. Da må også tangentene til grafene i A og B (se grafen) ligge symmetrisk om denne linja. Vi ser geometrisk at tangentene har inverse stigningstall.

g'-1=3  og  f'1=13

Legg merke til at vi kan tegne grafen til den omvendte funksjonen ved å speile grafen til f om linja y=x.

Eksempel

Vi skal nå vise at vi kan finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi, til tross for at det er umulig å finne den omvendte funksjonen.

fx=ex+13x3-3x2+9x-13  ,     Df=

f'x=ex+x2-6x+9f'x=ex+x-32

Uttrykket for den deriverte er alltid positivt, og det betyr at funksjonen er voksende i hele sitt definisjonsområde og derfor har en omvendt funksjon g.

Det er umulig å finne den omvendte funksjonen g, men det er likevel mulig å finne for eksempel g'-12. Det er fordi

f0=e0+13·03-3·02+9·0-13=-12

og

g'-12=1f'0=1e0+0-32=11+9=110.

Vi var her avhengige av å finne den x-verdien som ga funksjonen f verdien -12.

For å finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi a, g'a, må vi altså først finne den tilhørende x-verdien som gir a som funksjonsverdi til f. Vi setter fx=a .