Den deriverte til omvendte funksjoner
La være den omvendte funksjonen til
Den deriverte til funksjonen er med andre ord lik
Når vi vet dette, kan vi finne den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt ut fra den deriverte til funksjonen, uten å gå veien om å finne den omvendte funksjonen og så derivere denne. Hvis vi allerede kjenner den omvendte funksjonen, kan vi selvfølgelig derivere denne på vanlig måte.
Vi tar utgangspunkt i funksjonen
og finner
Vi har nå det vi trenger for å finne den deriverte til den omvendte funksjonen for
Vi ser at vi har funnet den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt, uten å måtte finne den omvendte funksjonen.
Siden
Legg merke til at vi kan tegne grafen til den omvendte funksjonen ved å speile grafen til
Eksempel
Vi skal nå vise at vi kan finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi, til tross for at det er umulig å finne den omvendte funksjonen.
Uttrykket for den deriverte er alltid positivt, og det betyr at funksjonen er voksende i hele sitt definisjonsområde og derfor har en omvendt funksjon
Det er umulig å finne den omvendte funksjonen
og
Vi var her avhengige av å finne den x-verdien som ga funksjonen
For å finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi