d) Tegn inn alle punktene fra tabellene i a) og b) i et koordinatsystem sammen med linja y=x. Tegn normaler fra alle punktene til linja, og mål avstanden mellom punktene og linja. Hva observerer du?
Løsning
Vi observerer at for hvert par av punkter er avstanden fra punktet til linja lik.
3.3.12
a) Vis ved regning at funksjonen gx=1ax-ba er den omvendte funksjonen til en lineær funksjon f(x)=ax+b.
Løsning
Vi har at f-1fx=x.
Vi får da at
gfx=gax+bgfx=1aax+b-bagfx=1a·a·x+ba-ba=x
som var det vi skulle vise.
b) Lag glidere for a og b i GeoGebra, og skriv inn de to funksjonene fra a). Observer at uansett hva du gjør med de to gliderne, vil grafene ligge symmetrisk om linja y=x.
3.3.13
Finn de omvendte funksjonene til funksjonene under for hånd og ved hjelp av GeoGebra. Tegn grafene til funksjonen og den omvendte funksjonen, og observer symmetrien:
a) fx=x3
Løsning
Vi løser ligningen for x:
y=x3x3=yx=y3
Dette gir f-1(x)=x3.
I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f) og får følgende grafbilde:
b) gx=x
Løsning
Her viser vi bare løsningen for hånd.
Vi vet her at både x og y er positive tall. (Lurer du på hvorfor? Tenk gjennom hvilke tall som har kvadratrøtter, og hvilke tall som kan være kvadratrøtter.)
Vi løser for x igjen:
y=xx=yx=y2
Vi får altså at g-1x=x2,x≥0.
c) hx=5x+5
Løsning
Vi viser bare løsningen for hånd.
Vi bruker regelen vi viste i 3.3.12 og får
h-1x=15x-55=15x-1
3.3.14
På teorisida Omvendte funksjoner (ndla.no) finner du et GeoGebra-ark vi har brukt til å utforske omvendte funksjoner. Et slikt kan du lage selv også, og her kan du bruke det til å utforske andre logaritmefunksjoner enn den naturlige logaritmen. (Denne oppgaven er utforskende og har ikke løsningsforslag)
I GeoGebra kan du definere tallet a som en "glider". Så kan du definere funksjonene ax og logax, logaritmefunksjonen med a som grunntall.
Hvilke grunntall er mulige?
Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvendte funksjoner. Hvordan kan du vise geometrisk at funksjonene er omvendte av hverandre?
Hvilket grunntall utenom e er du kjent med fra tidligere?
Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntallet, er omvendte funksjoner.