Et praktisk eksempel på en tredjegradsfunksjon

CC BY-NC-SA

Bilde: Pixtal, NTB scanpix

Tenk deg at du skal lage en eske uten lokk av en kvadratisk papplate med sidelengder
60 cm. Du må da klippe bort et kvadrat i hvert hjørne av papplaten.

Du må altså klippe bort de fire mørkeblå kvadratene på tegningen nedenfor. De lyseblå rektangelene bretter du opp, og du får da en eske med det lyse kvadratet i midten som bunn.

Formen på esken avhenger av hvor store kvadrater du klipper bort. Vi kaller sidene i kvadratene du klipper bort for $x$. Hvis $x$ er stor, vil esken få en liten bunn, men blir desto høyere. Hvis $x$ er liten, vil esken få stor bunn, men den vil bli lav.

Volumet av esken vil være avhengig av $x$. Det vil si at volumet er en funksjon av $x$. Vi vil finne en formel for denne funksjonen.

Bunnen til esken blir et kvadrat med sider $60-2x$. Det kan vi lese ut av tegningen. Arealet $G$ til bunnen, det vi kaller grunnflaten, blir da

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& = & \left(60-2x\right)·\left(60-2x\right)\\ & & \\ & =& 60·60-60·2x-2x·60-2x·\left(-2x\right)\\ & & \\ & =& 3 600-240x+4x^2\end{array}$

Høyden på esken blir $x$. Vi må multiplisere grunnflaten med høyden for å få volumet, her kalt $V$.

$\begin{array}{rcl}V\left(x\right)& = & \left(3 600-240+4x^2\right)·x\\ & & \\ & =& 3 600x-240x^2+4x^3\\ & & \\ & =& 4x^3-240x^2+3 600x\end{array}$

Volumet er altså en polynomfunksjon av tredje grad. Vi ser også at $x$ må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få en eske. Definisjonsmengden er da

$D_v=⟨0, 30⟩$

Hvis $x=0$, klipper vi ikke bort noe, og hvis $x=30$, så får vi ingen bunn.

Vi tegner nå grafen til volumfunksjonen.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi ser av grafen at verdimengden er

$V_v=⟨0, 16 000]$

Det vil si at volumet til esken er større enn $0 {\mathrm{cm}}^3$ og mindre enn eller lik $16 000 {\mathrm{cm}}^3$.

Vi kan ellers se av grafen at

• hvis vi ønsker en eske med størst mulig volum, må vi klippe bort kvadrater med sider $10 \mathrm{cm}$
• hvis vi ønsker esker med volum lik $8 000 {\mathrm{cm}}^3$, må vi klippe bort kvadrater med sider $2,68 \mathrm{cm}$ eller $20,0 \mathrm{cm}$
• vi også kan gå motsatt vei og lese av hvor stort volum en bestemt verdi for $x$ gir