Den deriverte til logaritmefunksjonen

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2\ln x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& 2·\left(\ln x\right)\text{'}\\ & =& 2·\frac{1}{x}\\ & =& \frac{2}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \ln 2x\\ & =& \ln 2+\ln x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& 0+\frac{1}{x}\\ & =& \frac{1}{x}\end{array}$

Alternativt kan vi derivere ved hjelp av kjerneregelen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \ln x^2\\ & =& 2·\ln x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& 2·\left(\ln x\right)\text{'}\\ & =& 2·\frac{1}{x}\\ & =& \frac{2}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& e^x+\ln x\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right) & =& e^x+\frac{1}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& e^x·\ln x\\ & & \\ g\text{'}\left(x\right) & =& \left(e^x\right)\text{'}·\ln x+e^x·\left(\ln x\right)\text{'}\\ & =& e^x·\ln x+e^x·\frac{1}{x}\\ & =& \frac{x{e}^x·\ln x+e^x}{x}\\ & =& \frac{e^x\left(x·\ln x+1\right)}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}h\left(x\right)& =& \frac{e^x}{\ln x}\\ & & \\ h\text{'}\left(x\right)& = & \frac{\left(e^x\right)\text{'}·\ln x-e^x·\frac{1}{x}}{{\left(\ln x\right)}^2}\\ & = & \frac{e^x·\ln x·x-e^x\frac{1}{x}·x}{{\left(\ln x\right)}^2·x}\\ & =& \frac{e^x\left(x\ln x-1\right)}{x{\left(\ln x\right)}^2}\end{array}$

$f\left(x\right)=2·3^x+5\ln x$

Det er den deriverte som gir oss svaret på dette, så vi må finne $f\text{'}\left(3\right)$:

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right) & =& 2·3^x·\ln 3+5·\frac{1}{x}\\ & =& 2\left(3^x\ln 3\right)+\frac{5}{x}\\ & & \\ f\text{'}\left(3\right) & =& 2\left(3^3\ln 3\right)+\frac{5}{3}\\ & =& 54\ln 3+\frac{5}{3}\end{array}$

Den momentane vekstfarten når $t=3$ er $54\ln 3+\frac{5}{3}$.

Vi bruker kjerneregelen og regelen for derivasjon av logaritmefunksjoner:

$\begin{array}{rcl}g\left(u\right)& = & 4u^2 , u\left(t\right)=\ln t\\ g\text{'}\left(u\right)& =& 8u , u\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t}\\ g\text{'}\left(t\right)& =& g\text{'}\left(u\right)·u\text{'}\left(t\right)\\ & =& 8·\ln t·\frac{1}{t}\\ & =& \frac{8\ln t}{t}\\ g\text{'}\left(3\right)& =& \frac{8·\ln 3}{3}=\frac{8}{3}\ln 3\end{array}$

Den momentane vekstfarten når $t=3$ er $\frac{8}{3}\ln 3$.

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Årsomsetningen er cirka 3,8 millioner kroner om 3 år.

Vi må løse likningen $T\left(x\right)=20$.

Legg merke til at her klarer ikke GeoGebra å finne en løsning med verktøyet "Løs". Det vil ta omtrent 5 år til firmaet har en årsomsetning på 20 millioner kroner.

Det er den deriverte som gir oss økningen i årsomsetning.

$\begin{array}{rcl}T\left(x\right) & =& 2x·\ln (3x+5)-12\\ T\text{'}\left(x\right) & =& 2x·\frac{1}{3x+5}·3+2·\ln (3x+5)\\ & =& 2\ln (3x+5)+\frac{6x}{3x+5}\end{array}$

Vi bruker CAS:

Om fem år øker årsomsetningen med 7,5 millioner kroner per år.