Likningssett

Sette opp et likningssett

En familie som består av tre barn og to voksne, betaler 380 kroner for å komme inn på en fotballkamp.

En annen familie med fire barn og tre voksne betaler 540 kroner. Vi ønsker å finne ut hva billettprisen er for barn, og hva billettprisen er for voksne. Det betyr at vi har to ukjente størrelser som vi kan kalle x og y. Vi lar x være billettprisen i kroner for barn og y billettprisen i kroner for voksne.

I den første familien betalte de for 3 barnebilletter og 2 voksenbilletter, og summen ble 380 kroner. Dette gir likningen

$3x+2y=380$

Dette er en likning med to ukjente. Vi kan ikke være sikre på hvor mye de to ulike billettypene koster bare ut fra denne likningen. Det finnes mange par av tall for x og y som passer i likningen. For eksempel kan barnebilletten koste 40 kroner og voksenbilletten 130 kroner.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi vite at disse billettprisene passer i likningen?

Prisen den andre familien betaler, gir likningen

$4x+3y=540$

Det finnes også her mange par av tall for x og y som passer i likningen, men det finnes bare ett par av tall for x og y som passer i begge likningene.

To likninger med de samme to ukjente størrelsene kalles for et likningssett. Å løse et likningssett går ut på å finne de verdiene for x og y som passer i begge likningene.

Innsettingsmetoden

En metode for å løse et likningssett ved regning uten hjelpemidler er innsettingsmetoden.

Når vi bruker denne metoden, begynner vi med å finne et uttrykk for den ene ukjente uttrykt med den andre ukjente ved hjelp av en av likningene. I vårt eksempel kan den første likningen gi

$\begin{array}{rcl}3x+2y& = & 380\\ & & \\ 2y& =& 380-3x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}x\end{array}$

Så setter vi dette uttrykket inn for y i den andre likningen, derav navnet innsettingsmetoden. Husk å bruke parenteser.

$\begin{array}{rcl} 4x+3y& = & 540\\ & & \\ 4x+3\left(190-\frac{3}{2}x\right)& =& 540\end{array}$

På denne måten får vi én likning med én ukjent og kan løse denne:

$\begin{array}{rcl} 4x+570-\frac{9}{2}x& = & 540\\ & & \\ 2·4x+2·570-2·\frac{9}{2}x& =& 2·540\\ & & \\ 8x-9x& =& 1080-1140\\ & & \\ x& =& 60\\ & & \end{array}$

Til slutt setter vi denne verdien for $x$ inn i uttrykket vi fant for $y$:

$\begin{array}{rcl}y& = & 190-\frac{3}{2}x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}·60\\ & & \\ y& =& 100\end{array}$

Billettprisen for voksne er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

🤔 Tenk over: Vi startet med den første likningen og løste den med hensyn på y. Kunne vi i stedet løst likningen med hensyn på x eller startet med den andre likningen i stedet?

Det finnes også andre metoder for å løse likningssett med regning. I neste eksempel skal vi bruke en metode som kalles addisjonsmetoden.

Addisjonsmetoden

Vi viser addisjonsmetoden med et annet eksempel. Vi skal finne alderen til Kari og mora hennes i dag ut ifra opplysningene nedenfor:

• Mora til Kari var 32 år da Kari ble født.

• I dag er Kari og mora til sammen 64 år.

Vi lar x være alderen til Kari og y alderen til mora.

Kari og mora er til sammen 64 år. Dette gir likningen

$x+y=64$

Kari ble født for x år siden. Da var mora til Kari 32 år. I dag er mora $y$ år. Dette gir likningen

$32+x=y$

Vi får da likningssettet

$\begin{array}{rcl} x+y& = & 64\\ & & \\ 32+x& =& y\end{array}$

Vi ordner likningene og får

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 64\\ & & \\ x-y& =& -32\end{array}$

Siden venstresidene i begge likningene er lik høyresidene, må summen av venstresidene være lik summen av høyresidene. Vi adderer derfor venstresidene og høyresidene hver for seg og setter dem lik hverandre:

$\begin{array}{rcl}x+x+y-y& = & 64+\left(-32\right)\\ & & \\ 2x& =& 32\\ & & \\ x& =& 16\end{array}$

Nå falt leddene med y bort, og likningen med bare x som ukjent ga at Kari er 16 år.

Vi kan nå finne ut hvor gammel mora er, ved å bruke en av likningene:

$\begin{array}{rcl} 32+x& = & y\\ & & \\ 32+16& =& y\\ & & \\ y& =& 48\end{array}$

Mora er 48 år.

Vi har altså vist at i dag er mora til Kari 48 år, og Kari er 16 år.

🤔 Tenk over: Hva skal til for at addisjonsmetoden skal fungere?

Grafisk løsning

En tredje metode vi kan bruke for å løse et likningssett, er grafisk løsning. Ved grafisk løsning bruker vi et koordinatsystem. Vi bruker eksempelet med alderen til Kari og mora der x er alderen til Kari og y alderen til mora. Likningssettet er

$\begin{array}{rcl}x+y & =& 64\\ 32+x & =& y\end{array}$

Vi skriver inn hver av likningene inn i algebrafeltet i GeoGebra. Vi får da en graf som viser sammenhørende verdier for x og y for hver likning.

Algebrafeltet i GeoGebra kan da se slik ut:

$\boxed{\begin{array}{rcl}⬤& & \mathrm{eq}1: \text{x}+\text{y}=64\\ ⬤& & \mathrm{eq}2: 32 + \text{x = y}\\ ⬤& & \text{A}=\mathrm{Skj\ae ring}(\mathrm{eq}1,\mathrm{eq}2)\\ & & \to (16, 48)\end{array}}$

Her har vi skrevet inn en og en av likningene og fått dem tegnet opp i grafikkfeltet. Så har vi brukt verktøyet "Skjæring mellom to objekt" (under knappen for nytt punkt i knapperaden øverst). Verktøyet brukes ved å trykke på verktøyknappen og deretter trykke på de to grafene. Da tegnes skjæringspunktet, GeoGebra gir punktet et navn (her: A), og vi kan lese av koordinatene til punktet, som blir løsningen på likningssettet. Vi får igjen at Kari i dag er 16 år, og at mora er 48 år.

Vi kan også løse likningssettet grafisk uten å bruke et digitalt verktøy. For hver av likningene velger vi da noen verdier for x og regner ut den tilhørende verdien for y, det vi ofte kaller en verditabell. Så tegner vi de to grafene i et koordinatsystem og finner koordinatene til skjæringspunktet ved å lese av i koordinatsystemet. Du skal gjøre det i en av oppgavene.

Løsning med CAS

Med CAS i GeoGebra kan du også løse likningssett ved regning. Vi viser her to måter dette kan gjøres på.

Den kanskje letteste måten er å skrive inn likningene i hver si rute, markere linje 1 og 2 ved å merke de grå feltene til venstre og så bruke verktøyknappen "Løs" $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ . Da kommer løsningen i neste linje.

Alternativt kan vi bruke kommandoen "Løs(<Liste med likninger>,<Liste med variabler>)".

Her må du passe på å sette likningene inn i ei liste med sløyfeparenteser og skrive komma mellom likningene slik som på bildet. Du kan utelate den andre lista som angir de ukjente, når det bare er x og y i likningene (og ikke andre bokstaver). Kommandoen blir da

Løs({3x+2y=380,4x+3y=540})