Likningssett

Setje opp eit likningssett

Ein familie som består av tre barn og to vaksne, betaler 380 kroner for å komme inn på ein fotballkamp.

Ein annan familie med fire barn og tre vaksne betaler 540 kroner. Vi ønsker å finne ut kva billettprisen er for barn, og kva billettprisen er for vaksne. Det betyr at vi har to ukjende storleikar som vi kan kalle x og y. Vi lar x vere billettprisen i kroner for barn og y billettprisen i kroner for vaksne.

I den første familien betalte dei for 3 barnebillettar og 2 vaksenbillettar, og summen vart 380 kroner. Dette gir likninga

$3x+2y=380$

Dette er ei likning med to ukjende. Vi kan ikkje vere sikre på kor mykje dei to ulike billettypane kostar berre ut frå denne likninga. Det finst mange par av tal for x og y som passar i likninga. Til dømes kan barnebilletten koste 40 kroner og vaksenbilletten 130 kroner.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi vite at desse billettprisane passar i likninga?

Prisen den andre familien betaler, gir likninga

$4x+3y=540$

Det finst òg her mange par av tal for x og y som passar i likninga, men det finst berre eit par av tal for x og y som passar i begge likningane.

To likningar med dei same to ukjende storleikane kallar vi eit likningssett. Å løyse eit likningssett går ut på å finne dei verdiane for x og y som passar i begge likningane.

Innsetjingsmetoden

Ein metode for å løyse eit likningssett ved rekning utan hjelpemiddel er innsetjingsmetoden.

Når vi bruker denne metoden, byrjar vi med å finne eit uttrykk for den eine ukjende uttrykt med den andre ukjende ved hjelp av ei av likningane. I dømet vårt kan den første likninga gi

$\begin{array}{rcl}3x+2y& = & 380\\ & & \\ 2y& =& 380-3x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}x\end{array}$

Så set vi dette uttrykket inn for y i den andre likninga, derav namnet innsetjingsmetoden. Hugs å bruke parentesar.

$\begin{array}{rcl} 4x+3y& = & 540\\ & & \\ 4x+3\left(190-\frac{3}{2}x\right)& =& 540\end{array}$

På denne måten får vi éi likning med éin ukjend og kan løyse denne:

$\begin{array}{rcl} 4x+570-\frac{9}{2}x& = & 540\\ & & \\ 2·4x+2·570-2·\frac{9}{2}x& =& 2·540\\ & & \\ 8x-9x& =& 1080-1140\\ & & \\ x& =& 60\\ & & \end{array}$

Til slutt set vi denne verdien for $x$ inn i uttrykket vi fann for $y$:

$\begin{array}{rcl}y& = & 190-\frac{3}{2}x\\ & & \\ y& =& 190-\frac{3}{2}·60\\ & & \\ y& =& 100\end{array}$

Billettprisen for vaksne er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

🤔 Tenk over: Vi starta med den første likninga og løyste ho med omsyn på y. Kunne vi i staden løyst likninga med omsyn på x eller starta med den andre likninga i staden?

Det finst òg andre metodar for å løyse likningssett med rekning. I neste døme skal vi bruke ein metode som blir kalla addisjonsmetoden.

Addisjonsmetoden

Vi viser addisjonsmetoden med eit anna døme. Vi skal finne alderen til Kari og mor hennar i dag ut frå opplysningane nedanfor:

• Mora til Kari var 32 år då Kari vart fødd.

• I dag er Kari og mora til saman 64 år.

Vi lar x vere alderen til Kari og y alderen til mora.

Kari og mora er til saman 64 år. Dette gir likninga

$x+y=64$

Kari vart fødd for x år sidan. Då var mora til Kari 32 år. I dag er mora $y$ år. Dette gir likninga

$32+x=y$

Vi får då likningssettet

$\begin{array}{rcl} x+y& = & 64\\ & & \\ 32+x& =& y\end{array}$

Vi ordnar likningane og får

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 64\\ & & \\ x-y& =& -32\end{array}$

Sidan venstresidene i begge likningane er lik høgresidene, må summen av venstresidene vere lik summen av høgresidene. Vi adderer derfor venstresidene og høgresidene kvar for seg og set dei lik kvarandre:

$\begin{array}{rcl}x+x+y-y& = & 64+\left(-32\right)\\ & & \\ 2x& =& 32\\ & & \\ x& =& 16\end{array}$

No fall ledda med y bort, og likninga med berre x som ukjend gav at Kari er 16 år.

Vi kan no finne ut kor gammal mora er, ved å bruke ei av likningane:

$\begin{array}{rcl} 32+x& = & y\\ & & \\ 32+16& =& y\\ & & \\ y& =& 48\end{array}$

Mora er 48 år.

Vi har altså vist at i dag er mora til Kari 48 år, og Kari er 16 år.

🤔 Tenk over: Kva skal til for at addisjonsmetoden skal fungere?

Grafisk løysing

Ein tredje metode vi kan bruke for å løyse eit likningssett, er grafisk løysing. Ved grafisk løysing bruker vi eit koordinatsystem. Vi bruker dømet med alderen til Kari og mora der x er alderen til Kari og y alderen til mora. Likningssettet er

$\begin{array}{rcl}x+y & =& 64\\ 32+x & =& y\end{array}$

Vi skriv inn kvar av likningane inn i algebrafeltet i GeoGebra. Vi får då ein graf som viser samanhøyrande verdiar for x og y for kvar likning.

Algebrafeltet i GeoGebra kan då sjå slik ut:

$\boxed{\begin{array}{rcl}⬤& & \mathrm{eq}1: \text{x}+\text{y}=64\\ ⬤& & \mathrm{eq}2: 32 + \text{x = y}\\ ⬤& & \text{A}=\mathrm{Skjering}(\mathrm{eq}1,\mathrm{eq}2)\\ & & \to (16, 48)\end{array}}$

Her har vi skrive inn ei og ei av likningane og fått dei teikna opp i grafikkfeltet. Så har vi brukt verktøyet "Skjering mellom to objekt" (under knappen for nytt punkt i knapperada øvst). Verktøyet blir brukt ved å trykke på verktøyknappen og deretter trykke på dei to grafane. Då blir skjeringspunktet teikna, GeoGebra gir punktet eit namn (her: A), og vi kan lese av koordinatane til punktet, som blir løysinga på likningssettet. Vi får igjen at Kari i dag er 16 år, og at mora er 48 år.

Vi kan òg løyse likningssettet grafisk utan å bruke eit digitalt verktøy. For kvar av likningane vel vi då nokre verdiar for x og reknar ut den tilhøyrande verdien for y, det vi ofte kallar ein verditabell. Så teiknar vi dei to grafane i eit koordinatsystem og finn koordinatane til skjeringspunktet ved å lese av i koordinatsystemet. Du skal gjere det i ei av oppgåvene.

Løysing med CAS

Med CAS i GeoGebra kan du òg løyse likningssett ved rekning. Vi viser her to måtar dette kan gjerast på.

Den kanskje lettaste måten er å skrive inn likningane i kvar si rute, markere linje 1 og 2 ved å merke dei grå felta til venstre og så bruke verktøyknappen "Løys" $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ . Då kjem løysinga i neste linje.

Alternativt kan vi bruke kommandoen "Løys(<Liste med likningar>,<Liste med variablar>)".

Her må du passe på å setje likningane inn i ei liste med sløyfeparentesar og skrive komma mellom likningane slik som på biletet. Du kan utelate den andre lista som angir dei ukjende, når det berre er x og y i likningane (og ikkje andre bokstavar). Kommandoen blir då

Løys({3x+2y=380,4x+3y=540})