Likningssett

Løysing ved rekning for hand:

Vi vel å bruke den første likninga og løyse ho med omsyn på x.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & -2\\ x& =& -2-y\\ & & \\ 2·(-2-y)-3y& =& 6\\ -4-2y-3y& =& 6\\ -5y& =& 10\\ y& =& \frac{10}{-5}=-2\\ & & \\ x& =& -2-(-2)=-2+2=0\end{array}$

Løysing: $x=0 \wedge y=-2$ (Teiknet $\wedge$ betyr "og".)

Løysing med CAS:

Her har vi skrive inn likninga i linje 1 og linje 2. Så har vi trykt på verktøyknappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ ("Løys ei eller fleire likningar").

Merk at i staden for å trykke på verktøyknappen, kunne vi i linje 3 ha skrive kommandoen

Løys({$1,$2})

Vi viser berre løysing ved rekning for hand i resten av deloppgåvene.

Her er det enklast å løyse den andre likninga med omsyn på y.

$\begin{array}{rcl}-y& = & 6-2x\\ y& =& 2x-6\\ & & \\ 6x+2\left(2x-6\right)& =& 8\\ 6x+4x-12& =& 8\\ 10x& =& 20\\ x& =& \frac{20}{10}=2\\ & & \\ y& =& 2·2-6=-2\end{array}$

Løysing: $x=2 \wedge y=-2$

$\begin{array}{rcl}2x& = & 6+3y\\ x& =& 3+\frac{3}{2}y\\ & & \\ -5\left(3+\frac{3}{2y}\right)-2y& =& 4\\ -15-\frac{15}{2}y-2y& =& 4\\ -\frac{15}{2}y-\frac{4}{2}y& =& 4+15\\ -\frac{19}{2}y& =& 19\\ -19y& =& 38\\ y& =& \frac{38}{-19}=-2\\ & & \\ x& =& 3+\frac{3}{2}·\left(-2\right)=0\end{array}$

Løysing: $x=0 \wedge y=-2$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-8\\ y& =& 2x-4\\ & & \\ -4x& =& 3\left(2x-4\right)-2\\ -4x& =& 6x-12-2\\ -10x& =& -14\\ x& =& \frac{-14}{-10}=\frac{7}{5}\\ & & \\ y& =& 2·\frac{7}{5}-4=\frac{14}{5}-4=\frac{14}{5}-\frac{20}{5}=-\frac{6}{5}\end{array}$

Løysing: $x=\frac{7}{5} \wedge y=-\frac{6}{5}$

$\begin{array}{rcl}-y& = & x-6\\ y& =& 6-x\\ & & \\ 4\left(6-x\right)+4x& =& -2\\ 24-4x+4x& =& -2\\ 0x& =& -26\end{array}$

$0x$ er 0 uansett x-verdi og kan aldri bli lik $-26$. Likningssettet har derfor inga løysing.

Vi løyser den første likninga med omsyn på x.

$\begin{array}{rcl}-x-y & =& \frac{1}{2}\\ x & =& -y- \frac{1}{2}\\ & & \\ 4\left(-y-\frac{1}{2}\right)+4y & =& -2\\ -4y-2+4y & =& -2\\ 0y & =& 0\end{array}$

$0y$ er lik 0 for alle y-verdiar. Likningssettet har derfor uendeleg mange løysingar for y, og dermed har likningssettet uendeleg mange par av løysingar for x og y.

Prøv å gonge den første likninga med $-4$.

Dersom vi har éi likning med to ukjende, vil det vere uendeleg mange kombinasjonar av dei to ukjende som passar i likninga. Det kan tyde på at dei to likningane i likningssettet i f) er éi og same likning.

Koeffisienten framfor x-leddet i den første likninga er $-1$. Koeffisienten framfor x-leddet i den andre likninga er 4. Vi prøver derfor å gonge den første likninga med $-4$, for då blir dei to koeffisientane like.

$\begin{array}{rcl}-x-y & =& \frac{1}{2} |·\left(-4\right)\\ -x·\left(-4\right)-y·\left(-4\right) & =& \frac{1}{2}·\left(-4\right)\\ 4x+4y & =& -2\end{array}$

Vi ser at vi endar opp med den andre likninga i likningssettet. Dei to likningane er derfor same likning, og det er uendeleg mange kombinasjonar av x og y som passar.

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl}x-y& = & 1\\ x& =& 1+y\\ & & \\ 2\left(1+y\right)-3y& =& -2\\ 2+2y-3y& =& -2\\ -y& =& -4\\ y& =& 4\\ & & \\ x& =& 1+4=5\end{array}$

Løysing: $x=5 \wedge y=4$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn dei to likningane (kalla "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til likningane. Skjeringspunktet har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 4, og dette er løysinga på likningssettet.

Løysing med CAS:

Vi viser berre løysing ved rekning for hand her.

$\begin{array}{rcl}2x-\frac{1}{2}y& = & -3\\ -\frac{1}{2}y& =& -3-2x\\ y& =& 6+4x\\ & & \\ \frac{3}{2}x+2\left(6+4x\right)& =& \frac{5}{2}\\ 3x+24+16x& =& 5\\ 19x& =& -19\\ x& =& -1\\ & & \\ y& =& 6-4=2\end{array}$

Løysing: $x=-1 \wedge y=2$

$\begin{array}{rcl}-60x+80y& = & 40 \overline{):20}\\ -3x+4y& =& 2\\ x& =& \frac{4y-2}{3}\\ & & \\ 2\left(\frac{4y-2}{3}\right)& =& -2\\ 8y-4-9y& =& -6\\ -y& =& -2\\ y& =& 2\\ & & \\ x& =& \frac{4·2-2}{3}=2\end{array}$

Løysing: $x=2 \wedge y=2$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-40 \overline{):2}\\ y& =& 2x-20\\ & & \\ -\frac{3}{5}x& =& 3(2x-20)-6\\ -\frac{3}{5}x& =& 6x-60-6 \overline{)·5}\\ -3x& =& 30x-300-30\\ -33x& =& -330\\ x& =& 10\\ & & \\ y& =& 2·10-20\\ y& =& 0\end{array}$

Løysing: $x=10 \wedge y=0$

$\begin{array}{rcl}4y-\frac{1}{5}x& = & 11 \overline{)·5}\\ 20y-x& =& 55\\ x& =& 20y-55\\ & & \\ -2y& =& 20y-55-11\\ -22y& =& -66\\ y& =& 3\\ & & \\ x& =& 20·3-55=5\end{array}$

Løysing: $x=5 \wedge y=3$

Løysing ved rekning for hand:

Vi set prisen for torskefilet lik x kroner og prisen for ulkefilet lik y kroner, og vi får

$\begin{array}{rcl}2x+1,5y& = & 385\\ 3x+0,5y& =& 315\\ & & \\ 0,5y& =& 315-3x\\ y& =& 630-6x\\ & & \\ 2x+1,5(630-6x)& =& 385\\ 2x+945-9x& =& 385\\ -7x& =& -560\\ x& =& 80\\ & & \\ y& =& 630-6·80=150\end{array}$

Torskefileten kostar 80 kroner per kg, og ulkefileten kostar 150 kroner per kg.

Oppgåva kan òg løysast med CAS.

Dersom lærar Hansen kjøpte x eple og y pærer, får vi desse likningane:

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 115\\ 3x+4y& =& 415\\ & & \\ x& =& 115-y\\ & & \\ 3(115-y)+4y& =& 415\\ 345-3y+4y& =& 415\\ y& =& 70\\ & & \\ x& =& 115-70=45\end{array}$

Lærar Hansen kjøpte 45 eple og 70 pærer.

Oppgåva kan òg løysast med CAS.

Vi løyser likningssettet med CAS i GeoGebra.

Vi løyser likningssettet med CAS i GeoGebra.

Her kan vi vurdere å trykke på knappen $\boxed{ \underset{ }{\overset{ }{\approx }} }$ for å få løysinga skriven på desimalform.

Vi set mengda oljeblanding lik x liter og mengda rein bensin lik y liter. Vidare bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likninga. Til den andre likninga bruker vi at mengda olje frå oljeblandinga skal utgjere ein brøkdel $\frac{0,1}{10,1}$ av 5 L.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 5\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+0& =& \frac{5·0,1}{10,1}\end{array}$

Vi løyser oppgåva med CAS i GeoGebra.

Per må blande 2,52 L av oljeblandinga og 2,48 L rein bensin.

Oppgåva kan òg løysast utan å setje opp likningssett. Finn ut korleis!

Vi set opp to likningar der vi set mengda oljeblanding som x liter og mengda olje som $y$ liter.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 8\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+y& =& \frac{8·0,3}{10,3}\end{array}$

Med CAS i GeoGebra får vi følgande:

Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.

Løysinga blir $x=1 \vee y=2 \vee z=3$.

Løysinga blir $x=2 \wedge y=3 \wedge z=5$.

Vi set opp tre likningar der x er kilopris for epla, y er kilopris for druene og z er kilopris for bananane.

$\begin{array}{rcl}1,5x+y+2z & =& 92\\ x+0,5y+1,5z & =& 59\\ 2x+1,5y+z & =& 101\end{array}$

Vi løyser likningssettet med CAS.

Epla kostar 20 kr per kg, druene kostar 30 kr per kg, og bananane kostar 16 kr per kg.

Vi set opp tre likningar, ei for talet på hovud, ei for talet på bein og ei for forskjellen mellom talet på griser og talet på kyr:

$\begin{array}{rcl}k+g+h & =& 150\\ 4k+4g+2h & =& 460\\ g-k & =& 40\end{array}$

Løysing med CAS:

På garden var det 20 kyr, 60 griser og 70 høns.

Vi set opp tre likningar:

$\begin{array}{rcl}y+m+e & =& 36\\ e-y & =& 12\\ y & =& \frac{e}{3}\end{array}$

Løysing med CAS:

Dei tre søskena er 6, 12 og 18 år gamle.

Vi sjekkar først at løysinga passar i den første likninga.

$3·12+4·15=36+60=96$

Så set vi løysinga inn i den andre likninga. Det gir oss ei likning med a som ukjend.

$\begin{array}{rcl}a·12+3·15 & =& 21\\ 12a & =& 21-45\\ 12a & =& -24\\ a & =& -2\end{array}$

Vi vel å løyse den første likninga med omsyn på x:

$\begin{array}{rcl}x+y & =& -2\\ x & =& -y-2\end{array}$

Så set vi resultatet inn i den andre:

$\begin{array}{rcl}bx-3y & =& 6\\ b\left(-y-2\right)-3y & =& 6\\ -by-2b-3y & =& 6\\ -\left(b+3\right)y & =& 2b+6\\ y & =& \frac{2\left(b+3\right)}{-\left(b+3\right)}=-2\end{array}$

Løysinga av likninga er uavhengig av b. Men i overgangen mellom dei to nedste linjene har vi delt på $-\left(b+3\right)$. Då føreset vi eigentleg at $b\ne -3$, for elles deler vi på null. Vi sjekkar den opphavlege likninga ved denne b-verdien.

$\begin{array}{rcl}bx-3y & =& 6\\ -3x-3y & =& 6 |:\left(-3\right)\\ x+y & =& -2\end{array}$

Dei to likningane i settet er no éi og same likning. Då er det uendeleg mange sett av løysingar. Vi kan oppsummere slik:

• Likningssettet har uendeleg mange løysingar for $b=-3$.

• Likningssettet har éi løysing for $b\ne -3$.

• Likningssettet har alltid minst éi løysing uansett verdien på b.

Vi vel å løyse den første likninga med omsyn på x:

$\begin{array}{rcl}3x+4y & =& 96\\ 3x & =& 96-4y\\ x & =& 32-\frac{4}{3}y\end{array}$

Så set vi dette inn i den andre likninga:

$\begin{array}{rcl}a·x+3y & =& 21\\ a\left(32-\frac{4}{3}y\right)+3y & =& 21\\ 32a-\frac{4a}{3}y+3y & =& 21\\ \left(3-\frac{4a}{3}\right)y & =& 21-32a\\ y & =& \frac{21-32a}{3-{\displaystyle \frac{4a}{3}}}\\ & & \end{array}$

Akkurat som i oppgåve b) gjeld ikkje den siste overgangen dersom nemnaren er null. Det skjer når

$\begin{array}{rcl}3-\frac{4a}{3} & =& 0 |·3\\ 9-4a & =& 0\\ a & =& \frac{9}{4}\end{array}$

Vi set denne verdien for a inn i den andre likninga i det opphavlege likningssettet og omformar likninga slik at ho startar med det same som den første, "3x".

$\begin{array}{rcl}\frac{9}{4}x+3y & =& 21 |·4\\ 9x+12y & =& 84 |:3\\ 3x+4y & =& 28\end{array}$

Likningssettet ser no slik ut:

$\begin{array}{rcl}3x+4y & =& 96\\ 3x+4y & =& 28\end{array}$

$3x+4y$ kan ikkje vere lik både 96 og 28 samtidig. Likningssettet har derfor inga løysing når $a=\frac{9}{4}$.

Det er dei seks tala – koeffisientane – i likningssettet som gir løysinga: 3, 2, 380, 4, 3 og 540. Når vi løyser likningssettet med innsetjingsmetoden, er det berre desse seks tala vi bruker for å rekne oss fram til løysinga.

$\begin{array}{lcl}ax+by& = & c\\ & & \\ dx+ey& =& f\end{array}$

$\begin{array}{rcl}ax+by& = & c\\ & & \\ ax& =& c-by\\ & & \\ \frac{ax}{a}& =& \frac{c-by}{a}\\ & & \\ x& =& \frac{c}{a}-\frac{b}{a}y\end{array}$

$\begin{array}{rcl}dx+ey& = & f\\ & & \\ d\left(\frac{c}{a}-\frac{b}{a}y\right)+ey& =& f\\ & & \\ \frac{dc}{a}-\frac{bd}{a}y+ey& =& f\\ & & \\ \left(e-\frac{bd}{a}\right)y& =& f-\frac{cd}{a} |·a\\ & & \\ \left(ae-bd\right)y& =& af-cd\\ & & \\ y& =& \frac{af-cd}{ae-bd}\end{array}$

Då har vi komme fram til formelen for løysinga for y.

Vi treng ikkje det, for vi kan la programmet rekne ut løysinga for y først og deretter bruke svaret til å rekne ut løysinga for x.

• Gi variablane a, b, c, d, e og f verdiane til koeffisientane i likningssettet.

• Rekn ut (af - cd)/(ae - bd) og set resultatet lik variabelen y.

• Rekn ut c/a - by/a og set resultatet lik variabelen x.
• Skriv til skjermen "Løysinga er x = <x>, y = <y>.".

Med "<x>" og "<y>" meiner vi verdien av variablane x og y.

Hugs å ordne likningssettet på forma

$\begin{array}{lcl}ax+by& = & c\\ dx+ey& =& f\end{array}$

før du set inn tala i programmet.

Ordna ser likningssettet slik ut:

$\begin{array}{rcl}-x-y & =& -6\\ 4x+4y & =& -2\end{array}$

Programmet ser då slik ut:

1a = -1
2b = -1
3c = -6
4d = 4
5e = 4
6f = -2
7
8y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d)
9x = c/a - b/a*y
10
11print(f"Løysinga er x = {x:.2f}, y = {y:.2f}.")

Programmet gir feilmelding fordi det prøver å dele på 0. Dette heng saman med at likningssettet ikkje har noka løysing. Då er det ikkje mogleg å rekne ut noko svar.

Vi må teste om nemnaren i uttrykket for y er lik null.

• Gi variablane a, b, c, d, e og f verdiane til koeffisientane i likningssettet.

• Rekn ut ae - bd og set resultatet lik variabelen nemnar.

• Dersom nemnar er lik 0:

  • Skriv til skjermen "Likningssettet har inga løysing".

• Dersom nemnar er forskjellig frå 0:

  • Rekn ut (af - cd)/nemnar og set resultatet lik variabelen y.

  • Rekn ut c/a - by/a og set resultatet lik variabelen x.

  • Skriv til skjermen "Løysinga er x = <x>, y = <y>.".

Med "<x>" og "<y>" meiner vi verdien av variablane x og y.

Koden kan sjå slik ut:

1a = -1
2b = -1
3c = -6
4d = 4
5e = 4
6f = -2
7
8nemnar = a*e - b*d
9
10if nemnar == 0:
11  print(f"Likningssettet har inga løysing.")
12
13else:
14  y = (a*f - c*d)/nemnar
15  x = c/a - b/a*y
16  print(f"Løysinga er x = {x:.2f}, y = {y:.2f}.")

Test programmet i oppgåve i) på likningssettet i oppgåve 1 f). Gir det riktig svar?

Likningssettet har uendeleg mange løysingar for y, og dermed uendeleg mange løysingar for x. Dette tek ikkje programmet i oppgåve i) omsyn til, det seier berre at likningssettet ikkje har noka løysing.

Finn ut korleis du kan teste i programmet for å finne ut om likningssettet har uendeleg mange løysingar.