Frekvenstabeller. Søylediagram

Innledning

Før du arbeider med denne siden, bør du ha vært gjennom teorisiden "Statistikk" slik at du er kjent med begrepene gjennomsnitt, median og variasjonsbredde.

Forsøk: Kast med terning

Ingrid har kastet terninger og fått disse resultatene:

1 3 3 2 2 4 4 3 4 4 4 3 2 6 3 2 6 2 2 2 5 5 4 4 5 6 3 4 6 1 1 2 3 3 2 4 2 6 2 6 1 3 3 4 4 6 1 6 1 5

Ingrid ønsker å skaffe seg en oversikt over resultatene. Hun lurer også på hva det gjennomsnittlige terningkastet er, og om det går an å finne medianen i resultatene.

Frekvenser og frekvenstabell

For å få oversikt starter Ingrid med å telle opp hvor mange terningkast det er av hvert resultat. For eksempel fikk hun 10 treere. Vi sier da at frekvensen av terningkast 3 er 10.

En tabell som viser frekvensene av de mulige terningkastene, kalles en frekvenstabell. Nedenfor har vi lagd en slik tabell over resultatene til Ingrid der vi også har summert antall terningkast nederst. Vi kan bruke tellekolonnen til først å sette en strek for hver ener mens vi går bortover tallrekka. Deretter gjør vi det samme for toerne og så videre.

🤔 Tenk over: Hva er frekvensen av terningkast 5?

🤔 Tenk over: Hva betyr det at summen av frekvensene er 50?

Søylediagram

Ingrid ønsker å lage en grafisk framstilling eller et diagram over resultatene i frekvenstabellen. Hun velger å lage et søylediagram (stolpediagram). Hun velger i første omgang å tegne diagrammet for hånd på et ruteark.

Ingrid tegner én søyle for hver frekvens i frekvenstabellen. Søylen for terningkast 1 skal være 6 enheter høy, søylen for terningkast 2 skal være 11 enheter høy, og så videre. Med overskrift og navn på aksene (viktig å ha med!) kan diagrammet se ut som på bildet nedenfor (som er lagd med regneark, se lenger ned).

Et søylediagram egner seg godt til å presentere et tallmateriale der dataene fordeler seg på et begrenset antall verdier eller kategorier. I eksempelet vårt fordeler dataene seg på seks terningkast.

Statistiske mål ut ifra en frekvenstabell

Ingrid ønsker å si noe mer om resultatene av de 50 terningkastene.

Gjennomsnittet

Ved hjelp av frekvenstabellen kan hun enklere regne ut gjennomsnittet siden hun nå vet at det er 6 enere, 11 toere og så videre. Regnestykket blir

$\frac{1·6+2·11+3·10+4·11+5·4+6·8}{50}=3,4$

🤔 Tenk over: Hva betyr det at gjennomsnittet er 3,4?

Variasjonsbredden

Siden vi bare kan få terningkast fra og med 1 til og med 6 og Ingrid fikk både enere og seksere, er variasjonsbredden

$6-1=5$

Kumulativ frekvens og median

Ingrid lurer på hva medianen i resultatene hennes er. Det kunne hun ha funnet svaret på dersom hun stilte opp 50 terninger som viste alle resultatene hennes etter størrelse, det vil si først de 6 enerne, så de 11 toerne og så videre. Så kunne hun ha funnet de to terningene i midten og regnet ut gjennomsnittet av disse. (Husk at når antallet tall er et partall slik som her, er det to tall som er i midten.)

Ingrid kan heller bruke frekvenstabellen over. Den letteste måten å gjøre det på er å lage en ny kolonne i tabellen der hun regner ut hvor mange terningkast som er mindre enn eller lik hvert enkelt antall øyne. Dette kaller vi kumulativ frekvens. For eksempel er den kumulative frekvensen av terningkast 2 lik

$6+11=17$

siden vi skal telle opp alle resultatene som er mindre enn eller lik 2, det vil si alle enerne og toerne.

🤔 Tenk over: Hva blir den kumulative frekvensen av terningkast 3?

Slik kan Ingrid fortsette å regne ut de kumulative frekvensene. Da får hun denne tabellen:

🤔 Tenk over: Er det overraskende at den kumulative frekvensen for terningkast 6 er 50?

Med den kumulative frekvensen på plass er det litt enklere å finne medianen. Siden det er 50 resultater totalt, vil medianen være gjennomsnittet av terning nummer 25 og 26 når de er ordnet i rekkefølge. Vi har fra kolonnen med de kumulative frekvensene at det er

• 6 enere

• 17 enere og toere

• 27 enere, toere og treere

Det betyr at i rekka av sorterte resultater er resultat nummer 6 den siste eneren, resultat nummer 17 den siste toeren og resultat nummer 27 den siste treeren. Lenger behøver vi ikke å gå, for dette betyr at resultat nummer 25 er den nest, nest siste treeren og nummer 26 den nest siste i rekka av treere. Nedenfor kan du se litt av den sorterte rekka med 50 terninger:

Medianen er derfor lik 3.

Bruk av regneark på eksempelet

Start med å skrive inn frekvenstabellen i regnearket. Finn først summen av frekvensene og kontroller at den er 50, se bildene nedenfor.

Gjennomsnitt

Vi fortsetter med å finne gjennomsnittet. Vi kan dessverre ikke bruke kommandoen "Gjennomsnitt" på frekvenstabeller. Vi har fra teorisiden "Statistikk" at vi finner gjennomsnittet i et tallmateriale ved å legge sammen alle resultatene og dele på antallet resultater. Her betyr det å legge sammen alle øynene på de 50 terningkastene og dele summen på 50.

En måte å finne det totale antallet øyne på er å lage en ny kolonne der vi regner ut antall øyne totalt for hvert terningkast ved å gange antallet øyne med frekvensen. Som bildet nedenfor viser, gir 6 kast med resultat 1 totalt 6 øyne, 11 kast med resultat 2 gir totalt 22 øyne, og så videre.

🤔 Tenk over: Hva får vi når vi summerer tallene i den nye kolonnen?

Vi regner ut gjennomsnittet ved å dele summen av tallene i den nye kolonnen med antall terningkast. Resultatet blir 3,4, som vi fikk over. Se bildet nedenfor.

Kumulativ frekvens og median

Vi kan heller ikke bruke kommandoen "Median" på datamateriale i en frekvenstabell. Vi trenger derfor de kumulative frekvensene og lager en ny kolonne til dette i regnearket. Vi regner ut de kumulative frekvensene på samme måte som vi gjorde uten hjelpemidler lenger opp på siden. I cella for kumulativ frekvens for toere kan vi lage en formel for dette som vi kan kopiere nedover, se nedenfor.

Medianen finner vi manuelt ut ifra kolonnen med de kumulative frekvensene, på samme måte som vi gjorde uten hjelpemidler.

Søylediagram med regneark

Vi ønsker å bruke regnearket til å lage et søylediagram over frekvensene til terningkastene, et slikt som vi viser lenger oppe på siden. Framgangsmåten nedenfor gjelder for regnearkprogrammet Excel, men det er omtrent likt i andre regnearkprogrammer.

Vi markerer tallene i kolonne A og B (ikke tallet 50 for summen), velger "Sett inn" og velger den første varianten av søylediagrammene. Dersom du får to grupper med søyler, velger du "Sett inn" og "Anbefalte diagrammer" (pass på at diagrammet er markert). Så velger du det alternativet som gir deg enkeltsøyler.

Vi trykker så på plussmenyen til høyre for diagrammet og krysser av for aksetitler. Da får vi to felter i diagrammet der vi kan skrive inn aksetitlene. Siden vi bare har én dataserie, trenger vi ikke ha med forklaring.

Regneark til eksempelet på siden

• Ferdig regneark inkludert diagram(XLSX)

Video om frekvens og kumulativ frekvens