Takvinkel og tangens

Se på den interaktive figuren nedenfor. Figuren viser et loft med skråtak der det er bygd et rom på halvdelen til høyre. Den største høyden under taket får vi langs den veggen som går opp til mønet. I den andre enden av rommet møter taket gulvet.

Du kan dra i glidebryteren for å endre bredden av rommet. Takvinkelen, som her er 40 grader, holdes fast.

Hva skjer med den største takhøyden når vi øker bredden på rommet, og hva skjer når vi reduserer bredden? Svar før du kikker på løsningen nedenfor.

Vi skal undersøke om rombredden og den største takhøyden øker i takt med hverandre når takvinkelen holdes fast. En annen måte å si dette på er: Vi skal undersøke om rombredden og takhøyden er proporsjonale størrelser.

Spørsmål

Hvordan undersøker vi dette?

Målinger

I denne aktiviteten skal vi måle samhørende verdier av takhøyden og rombredden og regne ut forholdet mellom dem. Bruk den interaktive figuren nedenfor der du kan endre både rombredden og takvinkelen.

Sett takvinkelen til 40 grader. Velg fire ulike verdier for rombredden, og mål takhøyden ved veggen av rommet hver gang. Regn også ut forholdet mellom takhøyde og rombredde for hver gang. Lag en tabell med resultatene som den nedenfor.

Gjør deretter det samme én gang til, men la takvinkelen være 25 grader. Fyll ut en ny tabell.

Resultater

Når takvinkelen er 40 grader, vil forholdet mellom takhøyde og rombredde alltid være tilnærmet lik 0,84. Stemte det sånn noenlunde med resultatene dine?

Når takvinkelen er 25 grader, vil forholdet mellom takhøyde og rombredde alltid være tilnærmet lik 0,47. Stemte resultatene dine med dette?

Dette må bety at hvis vi vet dette forholdstallet for en bestemt vinkel, kan vi regne ut hva den største takhøyden i et slik rom blir når vi vet hva bredden på rommet skal være. Hvis takvinkelen er 40 grader, vet vi at

$\frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}=0,84$

Det betyr at vi kan regne ut takhøyden ved å multiplisere rombredden med forholdstallet (her 0,84).

Dette forholdstallet er så viktig at det har fått et eget navn: tangens (til en vinkel). Vi sier for eksempel at tangens til 40 grader er 0,84. Matematisk skriver vi

$\tan 40°=0,84$

I gamle dager måtte vi slå opp i tabeller for å finne tangensverdier. Nå kan vi finne det samme med en kalkulator eller med CAS i GeoGebra.

Bruk det regneverktøyet du bruker til vanlig, og finn ut hvordan du finner $\tan 40°$. Klarer du å gjøre det motsatte, altså finne ut hva vinkelen blir når du vet at tangens til vinkelen er 0,84?

Regneeksempel

Vi skal bygge et rom på loftet slik som på figurene over. Takvinkelen på huset er 40 grader. Bredden på rommet skal være 3,5 m. Hva blir den største takhøyden? Prøv å regne ut svaret selv før du ser på løsningen.

Oppsummering

Kan vi bare bruke tangens når vi regner på takhøyder og rombredder på loftsrom med skråtak? Nei, heldigvis ikke.

Loftsrommet har form som en trekant, og ikke hvilken som helst trekant: Det er en rettvinklet trekant, se figuren over. Vi kaller rombredden og takhøyden for kateter siden det er disse to som danner den rette vinkelen. Taket er hypotenusen.

Her er det også viktig å skille mellom de to katetene. Vi sier at takhøyden er motstående katet til takvinkelen, siden takhøyden ikke er ett av vinkelbeina til takvinkelen. Tilsvarende kalles rombredden for hosliggende katet til takvinkelen, siden rombredden er ett av vinkelbeina til takvinkelen.

Vi kan altså bruke tangens på denne måten i alle rettvinklede trekanter!