Takvinkel og tangens

Sjå på den interaktive figuren nedanfor. Figuren viser eit loft med skråtak der det er bygd eit rom på halvdelen til høgre. Den største høgda under taket får vi langs den veggen som går opp til mønet. I den andre enden av rommet møter taket golvet.

Du kan dra i glidebryteren for å endre breidda av rommet. Takvinkelen, som her er 40 grader, blir halden fast.

Kva skjer med den største takhøgda når vi aukar breidda på rommet, og kva skjer når vi reduserer breidda? Svar før du kikkar på løysinga nedanfor.

Vi skal undersøkje om rombreidda og den største takhøgda aukar i takt med kvarandre når takvinkelen blir halden fast. Ein annan måte å seie dette på er: Vi skal undersøkje om rombreidda og takhøgda er proporsjonale storleikar.

Spørsmål

Korleis undersøkjer vi dette?

Målingar

I denne aktiviteten skal vi måle samhøyrande verdiar av takhøgda og rombreidda og rekne ut forholdet mellom dei. Bruk den interaktive figuren nedanfor der du kan endre både rombreidda og takvinkelen.

Set takvinkelen til 40 grader. Vel fire ulike verdiar for rombreidda, og mål takhøgda ved veggen av rommet kvar gong. Rekn òg ut forholdet mellom takhøgde og rombreidde for kvar gong. Lag ein tabell med resultata som nedanfor.

Gjer deretter det same éin gong til, men la takvinkelen vere 25 grader. Fyll ut ein ny tabell.

Resultat

Når takvinkelen er 40 grader, vil forholdet mellom takhøgde og rombreidde alltid vere tilnærma lik 0,84. Stemde det sånn nokolunde med resultata dine?

Når takvinkelen er 25 grader, vil forholdet mellom takhøgde og rombreidde alltid vere tilnærma lik 0,47. Stemde resultata dine med dette?

Dette må bety at dersom vi veit dette forholdstalet for ein bestemd vinkel, kan vi rekne ut kva den største takhøgda i eit slik rom blir når vi veit kva breidda på rommet skal vere. Dersom takvinkelen er 40 grader, veit vi at

$$ \frac{\mathrm{Takhøgde}}{\mathrm{Rombreidde}}=0,84$$

Det betyr at vi kan rekne ut takhøgda ved å multiplisere rombreidda med forholdstalet (her 0,84).

Dette forholdstalet er så viktig at det har fått eit eige namn: tangens (til ein vinkel). Vi seier til dømes at tangens til 40 grader er 0,84. Matematisk skriv vi

$\tan 40°=0,84$

I gamle dagar måtte vi slå opp i tabellar for å finne tangensverdiar. No kan vi finne det same med ein kalkulator eller med CAS i GeoGebra.

Bruk det rekneverktøyet du bruker til vanleg, og finn ut korleis du finn $\tan 40°$. Klarer du å gjere det motsette, altså finne ut kva vinkelen blir når du veit at tangens til vinkelen er 0,84?

Rekneeksempel

Vi skal byggje eit rom på loftet slik som på figurane over. Takvinkelen på huset er 40 grader. Breidda på rommet skal vere 3,5 m. Kva blir den største takhøgda? Prøv å rekne ut svaret sjølv før du ser på løysinga.

Samanfatning

Kan vi berre bruke tangens når vi reknar på takhøgder og rombreidder på loftsrom med skråtak? Nei, heldigvis ikkje.

Loftsrommet har form som ein trekant, og ikkje kva som helst trekant: Det er ein rettvinkla trekant, sjå figuren over. Vi kallar rombreidda og takhøgda for katetar sidan det er desse to som dannar den rette vinkelen. Taket er hypotenusen.

Her er det òg viktig å skilje mellom dei to katetane. Vi seier at takhøgda er motståande katet til takvinkelen, sidan takhøgda ikkje er eitt av vinkelbeina til takvinkelen. Tilsvarande kallar vi rombreidda for hosliggjande katet til takvinkelen, sidan rombreidda er eitt av vinkelbeina til takvinkelen.

Vi kan altså bruke tangens på denne måten i alle rettvinkla trekantar!