Omdreiningslegemer
3.3.10
Vi har gitt fire funksjoner:
g x = x , x ∈ 0 , 4 h x = x + 1 , x ∈ 0 , 4 i x = 4 - x 2 , x ∈ - 2 , 2
a) Tegn omdreiningslegemene som framkommer når grafen til funksjonene som er gitt nedenfor, dreies 360° om
Bruk overflatekommandoen i GeoGebra:
Overflate(u,f(u)sin(t),f(u)cos(t),u,x1,x2,t,0,2pi)
Løsning
b) Hva kalles romfigurene vi får i hvert av tilfellene?
Løsning
sylinder
kjegle
avkortet kjegle
kule
c) Beregn volumet av hvert av omdreiningslegemene ved hjelp av integralregning uten bruk av digitale hjelpemidler. Vi tenker at flatestykket som avgrenses av grafen til funksjonene og
Løsning
3.3.11
Vi bruker formelen
Overflate(u,f(u)sin(t),f(u)cos(t),u,x1,x2,t,0,2pi)
for å tegne omdreiningslegemer.
a) Hva skjer med et omdreiningslegeme hvis du endrer på verdiene for u
?
Løsning
Verdien for u
avgrenser det området av den angitte grafen som vi skal bruke i omdreiningen. Hvis verdiene for u
endres, vil området av grafen som er med i omdreiningen, endres.
b) Hva skjer med omdreiningslegemet hvis du endrer på verdiene for t
?
Løsning
Verdiene for t
angir hvor stor omdreiningen skal være i radianer. En omdreining fra t
endres, vil omdreiningen kunne bli mer eller mindre enn
For eksempel vil en omdreining fra
3.3.12
a) Beregn volumet til omdreiningslegemet som framkommer ved rotasjon av grafen til
Løsning
Løsning uten hjelpemidler:
Løsning i CAS:
b) Tegn grafen til
Løsning
Den omvendte funksjonen til
Denne typen romfigur kalles en rotasjonsparaboloide, det vil si den romfiguren vi får dersom vi roterer en parabel om si egen symmetrilinje. På grunn av symmetrien får vi den samme romfiguren om vi roterer en halvpart av parabelen om symmetrilinja.
En rotasjonsparaboloide er, som nevnt i løsningen over, den romfiguren vi får når vi dreier en parabel om si egen symmetrilinje.
Funksjonen
c) Tegn grafen til
Løsning
Vi bruker Overflate(g,2pi,xAkse)
for å tegne omdreiningslegemet med y-aksen som omdreiningsakse.
Vi ser at vi får det samme omdreiningslegemet som vi fikk i oppgave b), men det har en annen plassering i det tredimensjonale koordinatsystemet.
Hvis vi skal beregne volum av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining om
d) Bestem den omvendte funksjonen
Løsning
e) Beregn volumet til omdreiningsfiguren i oppgave c). Sammenlign volumet med det som ble beregnet i oppgave a).
Løsning
Siden funksjonen vi bruker som utgangspunkt,
Vi må derfor bruke den positive delen av den omvendte funksjonen, det vil si
Vi ser at vi får det samme volumet som vi fikk i oppgave a).
3.3.13
En ellipse er en "flattrykt" sirkel. Vi kan legge inn to akser i en ellipse, en loddrett og en vannrett, slik vist på figuren nedenfor. I en sirkel vil disse aksene være like lange som radius i sirkelen, men i en "flattrykt" sirkel vil den ene aksen være kortere enn den andre.
En ellipse kan beskrives matematisk ut fra følgende likning, der
a) Sett opp likningen for ellipsen som er vist på figuren over, og bruk denne til å tegne til å tegne ellipsen i 2D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Løsning
2D-grafikkfeltet i GeoGebra:
En ellipsoide er et resultat av en omdreining av en ellipse rundt en av de to symmetriaksene.
b) Hvordan kan vi omforme likningen over slik at vi får en funksjon
Løsning
Siden vi skal ha en funksjon for den øvre halvdelen av ellipsen, velger vi den positive løsningen for
c) Tegn en ellipsoide i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ut fra funksjonsuttrykket som du kom fram til i b).
Løsning
d) Beregn volumet av ellipsoiden ved hjelp av CAS.
Løsning
Hvis vi har definert funksjonen
Volumet av ellipsoiden er
e) Formen på en ellipsoide bestemmes ut fra størrelsen på
Løsning
Hvis
3.3.14
I teoriartikkelen "Omdreiningslegemer" viste vi at vi kan lage et omdreiningslegeme med form som en smultring ved å dreie området mellom to grafer om
Vi brukte funksjonene
a) Tegn omdreiningslegemet som framkommer ved 360°-omdreining av det angitte område om
Løsning
For å beregne volum av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining av et område mellom to grafer, beregner vi volum for omdreiningen av hver graf for seg. Så beregner vi volum for det endelige omdreiningslegemet som absoluttverdien av differansen mellom de to volumene.
b) Beregn volumet av "smultringen" som vi lagde i oppgave a) ved hjelp av CAS.
Løsning
Volumet for omdreiningslegemet er
3.3.15
Omdreining av periodiske funksjoner, som for eksempel sinusfunksjonen, kan gi omdreiningslegemer med "kjente" former.
a) Eksperimenter med sinusfunksjonen for å lage en omdreiningsfigur som er ligner vasen på bildet. Vasen er 18 cm høy. Diameter er målt på ulike steder på vasen: 8 cm i åpningen øverst, 6 cm på det smaleste (som er 12 cm opp fra bunnen), 12 cm på det bredeste (som er 7 cm opp fra bunnen) og 6,5 cm i bunnen.
Tips
Denne oppgaven kan løses på flere måter. Du må uansett bruke de oppgitte verdiene som utgangspunkt.
En mulighet er å gjennomføre en regresjon for å få en sinusfunksjon. Dersom grafen ikke er god nok sammenlignet med vasens form, kan du bruke det du har lært om den generelle sinusfunksjonen til å tilpasse grafen.
Trenger du hjelp til å finne en best mulig funksjon, kan du bruke simuleringen i fagartikkelen "Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning".
Løsningsforslag
Vi velger å legge inn punktene (0, 3,25), (7, 6), (12, 3), (18, 4) i regnearket i GeoGebra og deretter gjøre en regresjon med sinus. Resultatet av dette blir følgende funksjon:
For å få en graf som er enda bedre tilpasset til målene til vasen, prøver vi ut endringer på amplituden, faseforskyvningen og likevektslinja, til vi får et funksjonsuttrykk som stemmer ganske bra med de oppgitte målene til vasen:
En omdreining av denne grafen om
b) Hvordan kan vi gjøre en tilnærmet beregning av hvor mye vann vasen vi lagde i oppgave a), inneholder når den blir fylt helt opp? Glasset i en slik vase måles til å være 0,2 cm tykt.
Løsning
Vi må beregne det innvendige volumet av vasen, noe som vi vil kunne beregne ut fra en funksjon
Indre volum beregnet i CAS:
Blomstervasen har et indre volum på
GeoGebra gir mulighet til å laste ned et omdreiningslegeme som 3D-print (som fil av typen .stl). Dersom du har en 3D-printer tilgjengelig, kan du laste ned en slik fil og 3D-printe "sinusvasen" din eller andre omdreiningsfigurer.
3.3.16
Johannes Kepler (1571–1630) var en anerkjent tysk matematiker og astronom. Han arbeidet blant annet med hvilke omdreiningslegemer som oppstår ved rotasjon av ulike geometriske figurer. Noe av det han studerte, var hvordan rotasjon av deler av en sirkel kunne gi ulike romfigurer.
Lenge før Kepler ble født, hadde en annen kjent matematiker, Arkimedes (287 f.Kr–212 f.Kr), påpekt at vi vil få ei perfekt kule hvis vi roterer halvsirkelen
Keplers bidrag til dette var å konstatere at en rotasjon av sirkelsegmentet
a) Bruk framgangsmåten som er beskrevet over for å tegne "Keplers sitron" i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra. Sirkelen som omdreiningslegemet skal ta utgangspunkt i, skal ha en diameter på 6 cm.
Tips
Bruk
Løsning
Vi tar utgangspunkt i en halvsirkel med radius lik
Vi bruker skjæringspunktene mellom sirkelbuen og
Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-2.83,2.83,t,0,2pi)
b) Beregn volumet av "sitronen" i oppgave a) ved hjelp av CAS.
Løsning
c) Bruk samme sirkel som i oppgave a) til å tegne "Keplers eple" i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Tips
Bruk også nå
For å få det riktige omdreiningslegemet må hver av disse elementene dreies om
Løsning
Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius lik
Den øvre sirkelbuen skal i sin helhet brukes til omdreining. De to delene av den nedre sirkelbuen,
Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-3,3,t,0,2pi)
Overflate(u,g(u) sin(t),g(u) cos(t),u,-3,-2.24,t,0,2pi)
Overflate(u,g(u) sin(t),g(u) cos(t),u,2.24,3,t,0,2pi)
Kepler beskrev også et omdreiningslegeme som han kalte en "eplering". Denne romfiguren framkom ved å rotere sirkelsegmentet
d) Hva vil være den største visuelle forskjellen på dette omdreiningslegemet og de to forrige?
Løsning
Dette omdreiningslegemet vil ha et "hulrom" i midten, mens de to forrige var "hele" (massive).
e) Bruk den samme sirkelen som i oppgave a) som utgangspunkt for å tegne "Keplers eplering" i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Tips
Bruk også nå
Løsning
Vi tar som tidligere i oppgaven utgangspunkt i en halvsirkel med radius lik
Vi bruker skjæringspunktene mellom sirkelbuen og
Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-2.83,2.83,t,0,2pi)