Overflate av omdreiningslegemer
3.3.20
I oppgave 3.3.10 beregner vi volumet til fire omdreiningslegemer.
Du skal nå beregne overflatearealet til de samme omdreiningslegemene ved hjelp av integrasjon. Overflatene i de tre første deloppgavene skal du beregne uten digitale hjelpemidler, mens overflaten i oppgave d) skal du beregne ved hjelp av CAS.
a)
Løsning
Overflaten til omdreiningslegemet som har form som en sylinder, er
b)
Løsning
Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei kjegle, er
c)
Løsning
Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei avkortet kjegle, er
d)
Løsning
Siden
Overflaten av kula er
3.3.21
På teorisiden bruker vi integrasjon til å utlede formelen for overflaten av ei kule.
a) Bruk den samme metoden for å utlede formelen for overflaten til en sylinder med radius
Tips
En sylinder vil framkomme ved omdreining av et vannrett linjestykke om
Løsning
Et generelt funksjonsuttrykk for et linjestykke som gir en sylinder ved omdreining om
b) Kontroller beregningen av overflaten til sylinderen i oppgave 3.3.20 a) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave a), uten bruk av digitale hjelpemidler.
Løsning
Sylinderen i oppgave 3.3.20 a) har radius
Vi ser at vi får den samme overflaten i begge beregningene.
c) Utled formelen for overflaten av ei kjegle uten bunn på samme måte som for kule og sylinder. Bruk radius =
Løsning
I ei kjegle er sidekanten,
d) Kontroller også beregningen av overflaten til kjegla i oppgave 3.3.20 b) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave c), uten bruk av digitale hjelpemidler.
Løsning
Kjegla i oppgave 3.3.20 b) framkommer ved omdreining av
Vi får den samme overflaten i begge beregningene.
3.3.22
Evangelista Torricelli (1608–1647) var en italiensk matematiker og fysiker. Innen fysikk er han kanskje mest kjent for å ha oppfunnet kvikksølvbarometeret, men han var også en av bidragsyterne til utviklingen av integralregningen.
I arbeidet med integralregningen oppdaget Torricelli noen helt spesielle egenskaper ved omdreiningslegemet som framkommer ved omdreining av grafen til funksjonen
Torricelli viste at dette omdreiningslegemet, som i ettertid er blitt kalt både Torricellis trompet og Gabriels horn, har endelig volum og uendelig overflate.
a) Beregn det endelige volumet for et horn som framkommer ved omdreining av
Løsning
Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil volumet gå mot den endelige verdien
Beregning av volum ved hjelp av CAS:
b) Vis ved hjelp av CAS at det samme hornet har uendelig overflate.
Løsning
Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil overflatearealet også gå mot uendelig.
c) Undersøk volumet av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining av
Løsning
Vi ser at volumet av omdreiningslegemet går mot uendelig. Årsaken er at grafen til