Effektfaktor og virkningsgrad i en elmotor

Vi kan lese følgende øverst på skiltet: "1 ~Mot.". Det betyr at sagen har en enfasemotor.

Vi har at effektfaktoren $$ \cos 𝜑=0,93$$. Dette er en likning som vi kan løse med en kalkulator eller med CAS i GeoGebra.

Med kalkulatoren i OneNote skriver vi acos(0,93)=.

Fasevinkelen er 21,6°.

Her må vi regne ut de ulike effekttypene ut ifra opplysningene om strøm, spenning og effektfaktor. Vi kan starte med å regne ut den tilsynelatende effekten $$ S$$.

$$ S=U·I=230 \mathrm{V}·14 \mathrm{A}=3 220 \mathrm{VA}=3,22 \mathrm{kVA}$$

Dette tallet er litt for stort. Da prøver vi å regne ut den tilførte effekten $$ P_t$$, som vi her kan regne ut ved å multiplisere den tilsynelatende effekten $$ S$$ med effektfaktoren, siden vi alt har regnet ut $$ S$$.

$$ P_t=U·I·\cos 𝜑=S·\cos 𝜑=3,22 \mathrm{kVA}·0,93=2,99 \mathrm{kW}\approx 3,0 \mathrm{kW}$$

Legg merke til at vi skifter måleenhet fra kVA til kW siden den tilsynelatende effekten $$ S$$ skal ha måleenhet VA (voltampere), mens den tilførte effekten $$ P_t$$ måles i W (watt).

Da kan vi konkludere med at den oppgitte effekten P1 på merkeskiltet er det samme som tilført effekt $$ P_t$$.

Alternativ 1: Vi bruker pytagorassetningen på effekttrekanten.

$$ \begin{array}{rcl}Q & =& \sqrt{S^2-{P_t}^2}\\ & =& \sqrt{3,{22}^2-2,{99}^2} \mathrm{kvar}\\ & =& 1,2 \mathrm{kvar}\end{array}$$

Alternativ 2: Vi bruker at $$ \sin 𝜑=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{Q}{S}$$. Dette gir

$$ Q=S·\sin 𝜑=3,22 \mathrm{kVA}·\sin 21,57°=1,2 \mathrm{kvar}$$

Legg merke til at vi skifter måleenhet fra kVA til kvar (kilovoltampere-reaktiv) siden den tilsynelatende effekten $$ S$$ skal ha måleenhet VA (voltampere), mens den reaktive effekten $$ Q$$ måles i var (voltampere-reaktiv).

Vi taper energi på grunn av friksjon, luftmotstand og elektrisk resistans i motoren.

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t}=\frac{2,2 \mathrm{kW}}{3,0 \mathrm{kW}}=0,73=73\hspace{0.17em}\%$$

Opplysningene betyr at når motoren får tilført en spenning på 230 V, kan den yte en avgitt effekt $$ P_a=0,28 \mathrm{kW}$$ og vil da trekke en strøm på 1,2 A. Effektfaktoren er 0,7.

Vi har forutsatt at det ikke er oppgitt andre effekter på merkeskiltet til motoren. Da er det den avgitte effekten som er oppgitt.

Her må vi huske på å ta med faktoren $$ \sqrt{3}$$ siden det er en trefasemotor.

$$ S=\sqrt{3}·U·I=\sqrt{3}·230 \mathrm{V}·1,2 \mathrm{A}=478 \mathrm{VA}=0,478 \mathrm{kVA}$$

$$ P_t=S·\cos 𝜑=0,478 \mathrm{kVA}·0,7=0,335 \mathrm{kW}$$

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t}=\frac{0,28 \mathrm{kW}}{0,335 \mathrm{kW}}=0,836=83,6 \%$$

Siden det står "3~Mot." øverst på skiltet, er det en trefasemotor.

Som i oppgave 1 må vi gå ut ifra at dette er den avgitte effekten, som vi vanligvis kaller $$ P_a$$.

Siden det står "14,7/8,5 A" og 230 V står før 400 V, er strømmen i dette tilfellet 14,7 A.

$$ \begin{array}{rcl}{P}_t & =& \sqrt{3}·U·I·\cos 𝜑\\ & =& \sqrt{3}·230 \mathrm{V}·14,7 \mathrm{A}·0,73\\ & =& 4 275 \mathrm{W}\\ & =& 4,28 \mathrm{kW}\end{array}$$

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t}=\frac{3,6 \mathrm{kW}}{4,28 \mathrm{kW}}=0,841=84,1 \%$$

Her står det direkte "Three - phase induction motor", så det er en trefasemotor.

Siden det står "V 230/400" og "A 6,32/3,65", er strømmen i dette tilfellet 6,32 A.

Dette er virkningsgraden til motoren. Se også avsnittet "Elektriske motorer i et ressursperspektiv" i Wikipedias artikkel "Elektrisk motor".

Vi kan ikke bruke den vanlige formelen for tilført effekt siden vi ikke kjenner effektfaktoren $$ \cos 𝜑$$. Men vi kan regne ut den tilførte effekten ut ifra virkningsgraden $$ \eta $$.

Vi har for virkningsgraden $$ \eta $$:

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t} \iff \eta ·P_t=P_a \iff P_t=\frac{P_a}{\eta }$$

Vi får derfor at

$$ P_t=\frac{1,5 \mathrm{kW}}{0,828}=1,81 \mathrm{kW}$$

Bruk formelen $$ P_t=\sqrt{3}·U·I·\cos 𝜑$$ og snu på den.

Vi har at

$$ P_t=\sqrt{3}·U·I·\cos 𝜑 \iff \cos 𝜑=\frac{P_t}{\sqrt{3}·U·I}$$

Dette gir

$$ \cos 𝜑=\frac{1 810 W}{\sqrt{3}·230 V·6,32 A}=0,72$$