Skip to content
Task

Sinus, cosinus og tangens

Oppgavene nedenfor kan løses med alle hjelpemidler hvis det ikke står noe annet.

2.7.21

Finn lengden av siden AC i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 32,0° og siden BC er 18,3.

Vis fasit

Siden AC som vi skal finne, er motstående katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke sinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på sinus og løser i GeoGebra.

sinB=Motstående katetHypotenus=ACBC

sin32.0°=AC18.31NLøs:  {AC=9.7}

AC=9,7

2.7.22

Finn lengden av siden AB i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 19,0° og siden BC er 13,4.

Vis fasit

Siden AB som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

cosB=Hosliggende katetHypotenus=ABBC

cos19.0°=AB13.41NLøs:  {AB=12.67}

AB=12,7

2.7.23

Finn lengden av siden AC i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel C er 47,0° og siden BC er 18,3.

Vis fasit

Siden AC som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel C for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

cosC=ACBC

cos47.0°=AC18.31NLøs:  {AC=12.48}

AC=12,5

2.7.24

Finn lengden av siden AB i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel C er 90°, vinkel A er 72,0° og siden BC er 274 m.

Vis fasit

Siden AB som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke sinus til vinkel A for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på sinus og løser i GeoGebra.

sinA=BCAB

sin72.0°=274AB1NLøs:  {AB=288.1}

AB=288 m

2.7.25

Finn ukjente sider og vinkler i den rettvinklede trekanten ABC, der vinkel B er 90°, vinkel A er 26,6° og siden BC er 274 m.

Vis fasit

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke sinus til vinkel A for å finne AC.

Den ukjente siden AB, som er hosliggende katet, kan vi finne på samme måte med tangens til vinkel A (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og tangens og løser i GeoGebra.

sinA = BCACtanA=BCAB

sin26.6°=274AC1NLøs:  {AC=611.94}tan26.6°=274AB2NLøs:  {AB=547.17}C:=90-26.63  C:=63.4

AC = 612 mAB= 547 m

C=63,4°

2.7.26

Finn de ukjente sidene i trekantene under.

a)

Vis fasit

Den ukjente siden AB som vi skal finne, er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte siden AC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AB.

Den ukjente siden BC, som er hosliggende katet, kan vi finne tilsvarende med cosinus til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AB).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

sinC = ABACcosC=BCAC

sin61.5°=AB3.51NLøs:  {AB=3.08}cos61.5°=BC3.52NLøs:  {BC=1.67}

AB = 3,1

BC=1,7

b)

Vis fasit

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden AB er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjente siden BC, som er hosliggende katet, kan vi finne tilsvarende med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

sinC = ABACtanC=ABBC

sin50.1°=3.1AC1NLøs:  {AC=4.04}tan50.1°=3.1BC2NLøs:  {BC=2.59}

AC=4,0

BC=2,6

c)

Vis fasit

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke cosinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjente siden AB, som er motstående katet, kan vi finne tilsvarende med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

cosC = BCACtanC=ABBC

cos63.3°=1.6AC1NLøs:  {AC=3.56}tan63.3°=AB1.62NLøs:  {AB=3.18}

AC=3,6

AB=3,2

2.7.27 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC under er  sinA=35  og  AB=5,0.

a) Bestem lengden til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A i trekanten.

sinA = BCAB35=BC5,0BC=3,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2=5,02-3,02=25,0-9,0=16,0AC=4,0

b) Bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=45tanA=BCAC=34

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = cosA=45cosB=sinA=35tanB=ACBC=43

2.7.28 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC under er  cosB=25  og  AB=2,0.

a) Bestem lengden til BC og AC. Oppgi svarene eksakt.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til cosinus på vinkel B.

cosB = ABBC25=2,0BCBC=5,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=5,02-2,0225,0-4,0=21,0AC=21,0

b) Bruk eksakte verdier og bestem  sinB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = ACBC=215tanB=ACAB=212

c) Bestem  sinC, cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = sinB=ACBC=215sinC=cosB=25tanC=ABAC=2,021,0=22121

2.7.29 (uten hjelpemidler)

I trekanten under er  sinA=15  og  AB=20,0.

a) Bestem lengden til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A.

sinA = BCAB15=BC20,0BC=4,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2AC2=20,02-4,02=400-16AC=384AC=4·4·4·6AC=86

b) Bruk eksakte verdier og bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=8620=265tanA=BCAC=486=62·6=612

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sin A=15sinB=cos A=265tanA=ACBC=864=26

2.7.30 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC er  sinC=13  og  AB=2,0.

a) Bestem lengden til AC og BC. Oppgi svarene eksakt.

Vis fasit

Vi finner først BC ved å bruke definisjonen til sinus på vinkel C.

sinC=ABBC13 = 2,0BCBC·1=2,0·3BC=6,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=6,02-2,02=36,0-4,0=32,0AC=32=16·2=42

b) Bruk eksakte verdier og bestem  cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = ACBC=426=223tanC=ABAC=242=24

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sinC=13sinB=cosC=223tanB=ACAB=422=22

2.7.31 (uten hjelpemidler)

Gitt den rettvinklede trekanten ABC, se figuren.

a) Bestem  sinC  og  cosC.

Vis fasit

sinC = 2,010=0,2cosC=9,810=0,98

b) Bestem  tanB, sinB  og  cosB.

Vis fasit

tanB = 9,82,0=4,9cosB=sinC=2,010=0,2sinB=cosC=9,810=0,98

2.7.32

Regn ut hvor store hver av de ukjente vinklene i den rettvinklede trekanten ABC under er.

Vis fasit

Vi har oppgitt begge vinkelbeina til vinkel A. Siden AB er hosliggende katet, og siden AC er hypotenus i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel A.

Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

cosA=ABAC

acosd9.212.41  42.1°C:=90-42.12  C:=47.9

A = 42,1°C=47,9°

2.7.33

En 8,5 meter lang stige står mot en husvegg og danner vinkelen 72° med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90°.

a) Hvor høyt står stigen på veggen?

Vis fasit

Vi kaller høyden for h. Høyden opp langs veggen blir motstående katet til vinkelen på 72°. Stigen blir hypotenusen. Da kan vi bruke definisjonen av sinus til vinkelen på 72° for å løse oppgaven, som vi løser med GeoGebra.

sin72°=h8.51NLøs:  {h=8.08}

h=8,1 m

b) Hvor langt fra veggen står stigen?

Vis fasit

La avstanden til veggen være x, som blir hosliggende katet til vinkelen på 72°. Da passer det å bruke cosinus, og vi løser oppgaven med GeoGebra.

cos72°=x8.52NLøs:  {x=2.63}

x=2,6 m

2.7.34

I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 27°. Den hosliggende kateten til denne vinkelen er 3,5 meter. Finn lengden av den andre kateten og hypotenusen.

Vis fasit

Vi kaller den andre kateten for k og hypotenusen for h. Når vi kjenner den hosliggende kateten til vinkelen, kan vi bruke tangens for å finne k og cosinus for å finne h. Vi løser oppgaven med GeoGebra.

tan27°=k3.51NLøs:  {k=1.78}cos27°=3.5h2NLøs:  {h=3.93}

k = 1,8 mh=3,9 m