Task

Likninger

Øv på å løse likninger på flere måter.

1.2.1

Løs likningene ved manuell regning og med CAS. Sjekk også om du har regnet riktig ved å se om venstre side er lik høyre side når du setter løsningen din inn i den opprinnelige likningen.

a) $3 x - 1 = 5$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 1 & = & 5 \\ 3 x - 1 + 1 & = & 5 + 1 \\ 3 x & = & 6 \\ \frac{3 x}{3} & = & \frac{6}{3} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 3 x minus 1 er lik 5. Svaret med "Løs" er x er lik 2. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Kontroll av løsningen for hånd:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 1 & = & 5 \\ 3 \cdot 2 - 1 & = & 5 \\ 5 & = & 5 \end{array}$

b) $5 x + 2 = 3 x - 2$

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd.

$\begin{array}{rcl} 5 x + 2 & = & 3 x - 2 \\ 5 x + 2 - 2 - 3 x & = & 3 x - 2 - 2 - 3 x \\ 2 x & = & - 4 \\ \frac{2 x}{2} & = & - \frac{4}{2} \\ x & = & - 2 \end{array}$

Kontroll av løsningen:

$\begin{array}{rcl} 5 x + 2 & = & 3 x - 2 \\ 5 \cdot (- 2) + 2 & = & 3 \cdot (- 2) - 2 \\ - 10 + 2 & = & - 6 - 2 \\ - 8 & = & - 8 \end{array}$

c) $5 x + 5 = - x + 11$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 5 x + 5 & = & - x + 11 \\ 5 x + 5 + x - 5 & = & - x + 11 + x - 5 \\ 6 x & = & 6 \\ \frac{6 x}{6} & = & \frac{6}{6} \\ x & = & 1 \end{array}$

Kontroll av løsningen:

$\begin{array}{rcl} 5 x + 5 & = & - x + 11 \\ 5 \cdot 1 + 5 & = & - 1 + 11 \\ 10 & = & 10 \end{array}$

d) $- 3 x - 4 = x - 4$

Løsning

$\begin{array}{rcl} - 3 x - 4 & = & x - 4 \\ - 3 x - 4 - x + 4 & = & x - 4 - x + 4 \\ - 4 x & = & 0 \\ \frac{- 4 x}{- 4} & = & \frac{0}{- 4} \\ x & = & 0 \end{array}$

Kontroll av løsningen:

$\begin{array}{rcl} - 3 x - 4 & = & x - 4 \\ - 3 \cdot 0 - 4 & = & 0 - 4 \\ - 4 & = & - 4 \end{array}$

e) $x - 2 = 4 + x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x - 2 & = & 4 + x \\ x - 2 - x + 2 & = & 4 + x - x + 2 \\ 0 x & = & 6 \\ Ingen løsning \end{array}$

f) $2 (x - 2) = 4 x + 8$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 (x - 2) & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 - 4 x + 4 & = & 4 x + 8 - 4 x + 4 \\ - 2 x & = & 12 \\ \frac{- 2 x}{- 2} & = & \frac{12}{- 2} \\ x & = & - 6 \end{array}$

Kontroll av løsningen:

$\begin{array}{rcl} 2 (x - 2) & = & 4 x + 8 \\ 2 (- 6 - 2) & = & 4 \cdot (- 6) + 8 \\ 2 \cdot (- 8) & = & - 24 + 8 \\ - 16 & = & - 16 \end{array}$

g) Skriv med ord algoritmen for å løse likningen i oppgave f).

Løsningsforslag

Løs opp parentesen på venstre side.
Trekk fra $4 x$ , og legg til $4$ på hver side av likhetstegnet.
Trekk sammen leddene på venstre side og på høyre side.
Del på $- 2$ på begge sider av likhetstegnet.
Regn ut høyre side.

1.2.2

Løs likningene ved manuell regning og med CAS.

a) $2, 5 x - 3 = x + 1, 5$

Løsning

Vi viser bare manuell løsning her.

$\begin{array}{rcl} 2, 5 x - 3 & = & x + 1, 5 \\ 2, 5 x - 3 - x + 3 & = & x + 1, 5 - x + 3 \\ 1, 5 x & = & 4, 5 \\ \frac{1, 5 x}{1, 5} & = & \frac{4, 5}{1, 5} \\ x & = & 3, 0 \end{array}$

b) $0, 32 x - 1, 42 = - 1, 18 x + 1, 58$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 0, 32 x - 1, 42 & = & - 1, 18 x + 1, 58 \\ 0, 32 x - 1, 42 + 1, 18 x + 1, 42 & = & - 1, 18 x + 1, 58 + 1, 18 x + 1, 42 \\ 1, 50 x & = & 3, 00 \\ \frac{1, 50 x}{1, 50} & = & \frac{3, 00}{1, 50} \\ x & = & 2, 00 \end{array}$

c) $0, 5 (x - 3) = 0, 1 x + 0, 1$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 0, 5 (x - 3) & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 1, 5 & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 1, 5 - 0, 1 x + 1, 5 & = & 0, 1 x + 0, 1 - 0, 1 x + 1, 5 \\ 0, 4 x & = & 1, 6 \\ \frac{0, 4 x}{0, 4} & = & \frac{1, 6}{0, 4} \\ x & = & 4, 0 \end{array}$

d) $- 2 (3 - t) = - t + 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} - 2 (3 - t) & = & - t + 2 \\ - 6 + 2 t & = & - t + 2 \\ - 6 + 2 t + t + 6 & = & - t + 2 + t + 6 \\ 3 t & = & 8 \\ \frac{3 t}{3} & = & \frac{8}{3} \\ t & = & \frac{8}{3} \end{array}$

e) $- (s - 2) - 2 (s + 1) = 1 - s$

Løsning

$\begin{array}{rcl} - (s - 2) - 2 (s + 1) & = & 1 - s \\ - s + 2 - 2 s - 2 & = & 1 - s \\ - 3 s & = & 1 - s \\ - 3 s + s & = & 1 - s + s \\ - 2 s & = & 1 \\ \frac{- 2 s}{- 2} & = & \frac{1}{- 2} \\ s & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løse likningen i oppgave e) ved regning for hånd.

Løsningsforslag

Løs opp parentesene på venstre side av likningen.
Trekk sammen på venstre side av likningen.
Legg til $s$ på begge sider.
Trekk sammen leddene på venstre side og på høyre side.
Del på –2 på begge sider.
Flytt minustegnet foran brøken.

1.2.3

Løs likningene ved regning for hånd og grafisk.

a) $\frac{1}{2} x - 2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{6}$

Løsning

Regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} x - 2 & = & \frac{1}{3} x - \frac{1}{6} \\ 6 \cdot \frac{1}{2} x - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{1}{3} x - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ 3 x - 12 - 2 x + 12 & = & 2 x - 1 - 2 x + 12 \\ x & = & 11 \end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $f (x)$ og høyresida som en funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktet har $x$ -koordinaten 11, som er løsningen på likningen.

Grafen til funksjonene f av x er lik 1 halv x minus 2 og g av x er lik 1 tredjedels x minus 1 sjettedel er tegnet for x-verdier mellom 2 og 15. Skjæringspunktet mellom funksjonene er markert og har koordinatene 11 og 3,5. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) $\frac{x}{2} - 2 = \frac{x}{3} - \frac{1}{4}$

Løsning

Vi viser kun løsning ved regning for hånd. Grafisk løsning blir å gjøre tilsvarende som i oppgave a).

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - 2 & = & \frac{x}{3} - \frac{1}{4} \\ 12 \cdot \frac{x}{2} - 12 \cdot 2 & = & 12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{1}{4} \\ 6 x - 24 & = & 4 x - 3 \\ 6 x - 24 - 4 x + 24 & = & 4 x - 3 - 4 x + 24 \\ 2 x & = & 21 \\ \frac{2 x}{2} & = & \frac{21}{2} \\ x & = & \frac{21}{2} \end{array}$

c) $\frac{1}{2} (2 x - 3) = - (x + \frac{3}{2})$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} (2 x - 3) & = & - (x + \frac{3}{2}) \\ x - \frac{3}{2} & = & - x - \frac{3}{2} \\ 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{3}{2} & = & 2 \cdot (- x) - 2 \cdot \frac{3}{2} \\ 2 x - 3 & = & - 2 x - 3 \\ 2 x - 3 + 2 x + 3 & = & - 2 x - 3 + 2 x + 3 \\ 4 x & = & 0 \\ \frac{4 x}{4} & = & \frac{0}{4} \\ x & = & 0 \end{array}$

d) $\frac{x - 2}{2} = \frac{2 - x}{3}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 2}{2} & = & \frac{2 - x}{3} \\ 6 \cdot \frac{(x - 2)}{2} & = & 6 \cdot \frac{(2 - x)}{3} \\ 3 \cdot (x - 2) & = & 2 \cdot (2 - x) \\ 3 x - 6 & = & 4 - 2 x \\ 3 x - 6 + 2 x + 6 & = & 4 - 2 x + 2 x + 6 \\ 5 x & = & 10 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{array}$

e) $\frac{x - 1}{2} - 3 = \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 1}{2} - 3 & = & \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12} \\ 12 \cdot \frac{(x - 1)}{2} - 12 \cdot 3 & = & 12 \cdot \frac{(3 - 2 x)}{3} + 12 \cdot \frac{x}{12} \\ 6 \cdot (x - 1) - 36 & = & 4 \cdot (3 - 2 x) + x \\ 6 x - 6 - 36 & = & 12 - 8 x + x \\ 6 x - 42 & = & - 7 x + 12 \\ 13 x & = & 54 \\ x & = & \frac{54}{13} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løse likningen i oppgave e) ved regning for hånd.

Løsningsforslag

Finn fellesnevneren, som er 12.
Multipliser alle leddene med 12.
Forkort bort nevnerene.
Multipliser ut parentesene.
Trekk sammen på hver side.
Legg til $7 x$ og 42 på hver side av likhetstegnet.
Trekk sammen leddene på hver side av likhetstegnet.
Del med 13 på begge sider av likhetstegnet.

Merk at i løsningsforslaget på oppgave e) viser vi ikke alle trinnene i algoritmen. Finn ut hvilke trinn det er som ikke blir vist.

Trinn i algoritmen i f) som er utelatt i løsningen til oppgave e)

Vi har utelatt det siste og det tredje siste trinnet i algoritmen i løsningsforslaget til oppgave e).

g) Finnes det en generell algoritme for å løse likningene på denne sida, altså lineære likninger? Skriv den ned.

1.2.4

Løs likningene ved regning for hånd, med CAS og grafisk.

a) $3 (\frac{x}{2} - \frac{4}{3}) = (\frac{3}{4} - \frac{x}{6}) 2$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} \frac{3 x}{2} - \frac{12}{3} & = & \frac{6}{4} - \frac{2 x}{6} \\ 9 x - 24 & = & 9 - 2 x \\ 11 x & = & 33 \\ x & = & 3 \end{array}$

Grafisk løsning:

Grafen til funksjonen f av x er lik 3 multiplisert med parentes x halve minus 4 tredjedeler parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom 0 og 5. Grafen til g av x er lik parentes 3 fjerdedeler minus x sjettedeler parentes slutt multiplisert med 2 er tegnet for x-verdier mellom minus 2 og 9. Skjæringspunktet mellom funksjonene er markert og har koordinatene 3 og 0,5. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 3 parentes x halve minus 4 tredjedeler parentes slutt er lik parentes 3 fjerdedeler minus x sjettedeler parentes slutt multiplisert med 2. Svaret med "Løs" er x er lik 3. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) $3 (\frac{s}{4} - \frac{1}{10}) = (s - \frac{1}{5}) 2$

Løsning

Vi viser kun løsning ved regning for hånd.

$\begin{array}{rcl} \frac{3 s}{4} - \frac{3}{10} & = & 2 s - \frac{2}{5} \\ 15 s - 6 & = & 40 s - 8 \\ - 25 s & = & - 2 \\ s & = & \frac{2}{25} \end{array}$

c) $\frac{3}{2} (t - 1) - 2 (\frac{1}{4} - t) = 0$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} t - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 2 t & = & 0 \\ 2 \cdot \frac{3}{2} t - 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 2 t & = & 2 \cdot 0 \\ 3 t - 3 - 1 + 4 t & = & 0 \\ 7 t & = & 4 \\ t & = & \frac{4}{7} \end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $f (x)$ . I stedet for å skrive inn funksjonen $g (x) = 0$ og finne skjæringspunktet mellom funksjonene, kan vi finne når funksjonen $f (x)$ er null, skjæringspunktet mellom grafen til $f (x)$ og $x$ -aksen, med verktøyet "Nullpunkt". Skjæringspunktet (nullpunktet) har $x$ -koordinaten 0,57, som er løsningen på likningen. $(\frac{4}{7} \approx 0, 57)$ .

Grafen til funksjonen f av t er lik 3 halve multiplisert med parentes x minus 1 parentes slutt minus 2 multiplisert med parentes 1 fjerdedel minus x parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 2 og 3. I tillegg er skjæringspunktet med x-aksen markert. Punktet har koordinatene 0,57 og 0. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

d) $\frac{1}{3} y - 3 y + 3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} y - 3 y + 3 & = & \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9} \\ 18 \cdot \frac{1}{3} y - 18 \cdot 3 y + 18 \cdot 3 & = & 18 \cdot \frac{1}{6} - 18 \cdot \frac{1}{9} y + 18 \cdot \frac{1}{9} \\ 6 y - 54 y + 54 & = & 3 - 2 y + 2 \\ - 46 y & = & - 49 \\ y & = & \frac{- 49}{- 46} \\ y & = & \frac{49}{46} \end{array}$

e) Hvilke(n) metode(r) foretrekker du å bruke når du skal løse likninger som dem ovenfor? Forklar hvorfor.

1.2.5

Stian, Erik og Øyvind delte en pizza. Stian spiste en tredjedel, Erik spiste to femtedeler, og Øyvind spiste resten.

a) Sett opp en likning, og finn ut hvor stor del av pizzaen Øyvind spiste.

Løsning

Vi setter Øyvinds del lik $x$ , og vi kan sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} + \frac{2}{5} + x & = & 1 \\ \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} + \overset{3}{15} \cdot \frac{2}{5} + 15 \cdot x & = & 15 \cdot 1 \\ 5 + 6 + 15 x & = & 15 \\ 15 x & = & 15 - 11 \\ \frac{15 x}{15} & = & \frac{4}{15} \\ x & = & \frac{4}{15} \end{array}$

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen en tredjedel pluss 2 femdeler pluss x er lik 1. CAS-utklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Øyvind spiste $\frac{4}{15}$ av pizzaen.

b) Er det andre måter å løse denne oppgaven på? Finn minst én annen framgangsmåte.

1.2.6

Kristin, Anette og Ellen har til sammen 1 100 kroner. Ellen har dobbelt så mange penger som Anette, og Kristin har 100 kroner mindre enn Ellen.

Sett opp en likning, og finn ut hvor mange penger hver av de tre jentene har.

Løsning

Vi setter Anettes beløp lik $x$ . Ellens blir da $2 x$ , og Kristins beløp blir $2 x - 100$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + (2 x - 100) & = & 1100 \\ 3 x + 2 x - 100 & = & 1100 \\ 5 x & = & 1100 + 100 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{1200}{5} \\ x & = & 240 \end{array}$

Anette har $240 kroner$ , Ellen har $2 \cdot 240 kroner = 480 kroner$ , og Kristin har $480 kroner - 100 kroner = 380 kroner$ .

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra, der vi i tillegg regner ut hvor mye de to andre har.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 2 x pluss parentes 2 x minus 100 parentes slutt er lik 1100. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

1.2.7

På en aktivitetsdag ved skolen valgte 60 prosent av elevene fotball. En tredjedel valgte volleyball. De siste 12 elevene hadde fått fritak.

a) Sett opp en likning, og finn ut hvor mange elever det er ved skolen.

Løsning

La $x$ være antall elever ved skolen. 60 prosent av elevene blir $\frac{60}{100} x = \frac{3}{5} x$ . En tredjedel av elevene blir $\frac{1}{3} x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{5} x + \frac{1}{3} x + 12 & = & x \\ \overset{3}{15} \cdot \frac{3}{5} x + \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} x + 15 \cdot 12 & = & 15 \cdot x \\ 9 x + 5 x + 180 & = & 15 x \\ 180 & = & 15 x - 14 x \\ 180 & = & x \end{array}$

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen 3 femtedels x pluss en tredjedels x pluss 12 er lik x. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Det er 180 elever ved skolen.

b) Finn en annen måte å løse oppgaven på enn å løse en likning.

1.2.8

Per, Pål og Espen er til sammen 66 år. Per er dobbelt så gammel som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen.

Sett opp en likning, og finn ut hvor gamle de tre guttene er.

Løsning

Vi setter Espens alder lik $x$ . Påls alder blir da $x + 6$ , og Pers alder blir $2 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} x + (x + 6) + 2 x & = & 66 \\ 4 x & = & 60 \\ x & = & 15 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra, der vi både løser likningen og regner ut alderen til de to andre.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss parentes x pluss 6 parentes slutt pluss 2 x er lik 66. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Espen er 15 år, Pål er 21 år, og Per er 30 år.

1.2.9

Ari, Anette og far er til sammen 54 år. Anette er dobbelt så gammel som Ari, og far er tre ganger så gammel som Anette.

Sett opp en likning, og finn ut hvor gamle Ari, Anette og far er.

Løsning

La $x$ være alderen til Ari. Da er Anettes alder $2 x$ , og fars alder er $6 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + 6 x & = & 54 \\ 9 x & = & 54 \\ x & = & 6 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 2 x pluss 6 x er lik 54. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Ari er 6 år, Anette 12 år, og far er 36 år.

1.2.10

Far er tre ganger så gammel som Per, og bestefar er dobbelt så gammel som far. Til sammen er de 120 år.

Sett opp en likning, og finn ut hvor gamle Per, far og bestefar er.

Løsning

La $x$ være alderen til Per. Da er fars alder $3 x$ , og bestefars alder er $6 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + 6 x & = & 120 \\ 10 x & = & 120 \\ x & = & 12 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 3 x pluss 6 x er lik 120. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Per er 12 år, far er 36 år, og bestefar er 72 år.

1.2.11

Mormor var 22 år da mor ble født. I dag er hun dobbelt så gammel som mor. Sett opp en likning, og finn ut hvor gamle mor og mormor er.

Løsning

La $x$ være alderen til mor. Da er mormors alder $2 x$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} x + 22 & = & 2 x \\ - x & = & - 22 \\ x & = & 22 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 22 er lik 2 x. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Mor er 22 år, og mormor er 44 år. Det hadde vi kanskje ikke trengt likning for å finne ut ...

1.2.12

Far er tre ganger så gammel som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til sammen er de tre 92 år.

Sett opp en likning, og finn ut hvor gamle Camilla, far og onkel Kåre er.

Løsning

La $x$ være alderen til Camilla. Da er fars alder $3 x$ , og onkel Kåres alder er $3 x - 6$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + (3 x - 6) & = & 92 \\ 4 x + 3 x - 6 & = & 92 \\ 7 x & = & 92 + 6 \\ \frac{7 x}{7} & = & \frac{98}{7} \\ x & = & 14 \end{array}$

Vi kan også løse oppgaven med CAS i GeoGebra.

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss 3 x pluss parentes 3 x minus 6 parentes slutt er lik 92. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Camilla er 14 år, far er 42 år, og onkel Kåre er 36 år.

1.2.13

Mor er 21 år eldre enn Maja. Bestefar er tre ganger så gammel som mor. Om to år er de til sammen 100 år.

Sett opp en likning, og finn ut hvor gamle Maja, mor og bestefar er.

Løsning

La $x$ være alderen til Maja. Da er mors alder $x + 21$ , og bestefars alder er $3 (x + 21)$ . I dag er de til sammen $100 år - 3 \cdot 2 år = 94 år$ . Da kan vi sette opp og løse likningen:

$\begin{array}{rcl} x + (x + 21) + 3 (x + 21) & = & 94 \\ x + x + 21 + 3 x + 63 & = & 94 \\ 5 x & = & 94 - 84 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løst med CAS i GeoGebra kan det se slik ut:

Eksakt løsning med CAS av likningen x pluss parentes x pluss 21 parentes slutt pluss 3 multiplisert med parentes x pluss 21 parentes slutt er lik 94. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Maja er 2 år, mor er 23 år, og bestefar er 69 år.

1.2.14

Løs likningene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.

a) $x^{2} + 8 = 12$

b) $4 x^{2} + 6 = 70$

c) $- x^{2} + 2 = 2 x^{2} - 25$

Løsning

Vi viser bare de manuelle løsningene her.

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 12 - 8 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm \sqrt{4} \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} & = & 70 - 6 \\ 4 x^{2} & = & 64 \\ \frac{4 x^{2}}{4} & = & \frac{64}{4} \\ x^{2} & = & 16 \\ x & = & \pm \sqrt{16} \\ x & = & \pm 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 2 & = & 2 x^{2} - 25 \\ 3 x^{2} & = & 27 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

1.2.15

a) Vi skal løse likningen $\frac{2}{x} - 4 = 0$ .

1) Hvilke verdier av $x$ må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

Løsning

$x = 0$ gir $0$ i nevneren og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen ved regning for hånd.

Løsning

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{2}{x} - x \cdot 4 & = & x \cdot 0 \\ 2 - 4 x & = & 0 \\ - 2 x & = & - 2 \\ x & = & \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2} \end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

b) Vi skal løse likningen $3 - \frac{2}{x} = - \frac{1}{x}$ .

1) Hvilke verdier av $x$ må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

Løsning

$x = 0$ gir $0$ i nevneren og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen ved regning for hånd.

Løsning

$\begin{array}{rcl} x \cdot 3 - x \cdot \frac{2}{x} & = & x \cdot - \frac{1}{x} \\ 2 x - 2 & = & - 1 \\ 3 x & = & 1 \\ x & = & \frac{1}{3} \end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

1.2.1

1.2.2

1.2.3

1.2.4

1.2.5

1.2.6

1.2.7

1.2.8

1.2.9

1.2.10

1.2.11

1.2.12

1.2.13

1.2.14

1.2.15

Rules for use of text "Likninger"