Likningssett

Løsning ved regning for hånd (innsettingsmetoden):

$\begin{array}{rcl}x+y& = & -2\\ x& =& -2-y\\ & & \\ 2·(-2-y)-3y& =& 6\\ -4-2y-3y& =& 6\\ -5y& =& 10\\ y& =& \frac{10}{-5}=-2\\ & & \\ x& =& -2-(-2)=-2+2=0\end{array}$

Løsning ved regning for hånd (addisjonsmetoden):

Vi multipliserer den øverste likningen med 3 og legger sammen venstresidene og høyresidene.

$$ \begin{array}{rcl}3x+3y & =& -6\\ 2x-3y & =& 6\\ & & \\ 5x & =& 0\\ x & =& 0\\ & & \\ 3·0+3y & =& -6\\ \frac{3y}{3} & =& \frac{-6}{3}\\ y & =& -2\end{array}$$

Løsning med CAS:

Her har vi skrevet inn likningene i linje 1 og linje 2. Så har vi trykket på verktøyknappen $$ $ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$$ ("Løs en eller flere likninger").

Merk at i stedet for å trykke på verktøyknappen, kunne vi i linje 3 ha skrevet kommandoen

Løs({$1,$2})

Vi viser bare løsning ved regning for hånd med innsettingsmetoden her.

$\begin{array}{rcl}-y& = & 6-2x\\ y& =& 2x-6\\ & & \\ 6x+2\left(2x-6\right)& =& 8\\ 6x+4x-12& =& 8\\ 10x& =& 20\\ x& =& \frac{20}{10}=2\\ & & \\ y& =& 2·2-6=-2\end{array}$

Dersom du skal løse oppgaven ved å bruke addisjonsmetoden, vil det være enklest å starte med å multiplisere den nederste likningen med 2.

$\begin{array}{rcl}2x& = & 6+3y\\ x& =& 3+\frac{3}{2}y\\ & & \\ -5\left(3+\frac{3}{2y}\right)-2y& =& 4\\ -15-\frac{15}{2}y-2y& =& 4\\ -\frac{15}{2}y-\frac{4}{2}y& =& 4+15\\ -\frac{19}{2}y& =& 19\\ -19y& =& 38\\ y& =& \frac{38}{-19}=-2\\ & & \\ x& =& 3+\frac{3}{2}·\left(-2\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-8\\ y& =& 2x-4\\ & & \\ -4x& =& 3\left(2x-4\right)-2\\ -4x& =& 6x-12-2\\ -10x& =& -14\\ x& =& \frac{-14}{-10}=\frac{7}{5}\\ & & \\ y& =& 2·\frac{7}{5}-4=\frac{14}{5}-4=\frac{14}{5}-\frac{20}{5}=-\frac{6}{5}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}-y& = & x-6\\ y& =& 6-x\\ & & \\ 4\left(6-x\right)+4x& =& -2\\ 24-4x+4x& =& -2\\ 0x& =& -26\end{array}$

Ingen løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl}x-y& = & 1\\ x& =& 1+y\\ & & \\ 2\left(1+y\right)-3y& =& -2\\ 2+2y-3y& =& -2\\ -y& =& -4\\ y& =& 4\\ & & \\ x& =& 1+4=5\end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn de to likningene (kalt "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til likningene. Skjæringspunktet har $$ x$$-koordinat lik 5 og $$ y$$-koordinat lik 4, og dette er løsningen på likningssettet.

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$\begin{array}{rcl}2x-\frac{1}{2}y& = & -3\\ -\frac{1}{2}y& =& -3-2x\\ y& =& 6+4x\\ & & \\ \frac{3}{2}x+2\left(6+4x\right)& =& \frac{5}{2}\\ 3x+24+16x& =& 5\\ 19x& =& -19\\ x& =& -1\\ & & \\ y& =& 6-4=2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}-60x+80y& = & 40 \overline{):20}\\ -3x+4y& =& 2\\ x& =& \frac{4y-2}{3}\\ & & \\ 2\left(\frac{4y-2}{3}\right)& =& -2\\ 8y-4-9y& =& -6\\ -y& =& -2\\ y& =& 2\\ & & \\ x& =& \frac{4·2-2}{3}=2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-40 \overline{):2}\\ y& =& 2x-20\\ & & \\ -\frac{3}{5}x& =& 3(2x-20)-6\\ -\frac{3}{5}x& =& 6x-60-6 \overline{)·5}\\ -3x& =& 30x-300-30\\ -33x& =& -330\\ x& =& 10\\ & & \\ y& =& 2·10-20\\ y& =& 0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}4y-\frac{1}{5}x& = & 11 \overline{)·5}\\ 20y-x& =& 55\\ x& =& 20y-55\\ & & \\ -2y& =& 20y-55-11\\ -22y& =& -66\\ y& =& 3\\ & & \\ x& =& 20·3-55=5\end{array}$

Vi setter prisen for torskefilet lik $x$ kroner og prisen for ulkefilet lik $y$ kroner, og får

$\begin{array}{rcl}2x+1,5y& = & 385\\ 3x+0,5y& =& 315\\ 0,5y& =& 315-3x\\ y& =& 630-6x\\ & & \\ 2x+1,5(630-6x)& =& 385\\ 2x+945-9x& =& 385\\ -7x& =& -560\\ x& =& 80\\ & & \\ y& =& 630-6·80=150\end{array}$

Oppgaven kan også løses med CAS.

Torskefileten koster 80 kroner per kg, og ulkefileten koster 150 kroner per kg.

Hvis lærer Hansen kjøpte $x$ epler og $y$ pærer, får vi følgende likninger:

$$ \begin{array}{rcl}x+y& = & 115\\ 3x+4y& =& 415\end{array}$$

Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra:

Lærer Hansen kjøpte 45 epler og 70 pærer.

Likningssettet kan også løses ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}x& = & 115-y\\ & & \\ 3(115-y)+4y& =& 415\\ 345-3y+4y& =& 415\\ y& =& 70\\ & & \\ x& =& 115-70=45\end{array}$$

Vi løser med CAS i GeoGebra.

Vi løser likningssettet med kommandoen "Løs" i CAS i GeoGebra.

Her kan vi vurdere å trykke på knappen $\boxed{ \underset{ }{\overset{ }{\approx }} }$ for å få løsningen skrevet på desimalform.

Vi setter mengden oljeblanding lik $x$ L og mengden ren bensin lik $y$ L. Videre bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likningen. Til den andre likningen bruker vi at mengden olje fra oljeblandingen skal utgjøre en brøkdel $\frac{0,1}{10,1}$ av 5 L.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 5\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+0& =& \frac{5·0,1}{10,1}\end{array}$

Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

Per må blande 2,52 L av oljeblandingen og 2,48 L ren bensin.

Oppgaven kan også løses uten å sette opp likningssett. Finn ut hvordan.

Vi setter mengden oljeblanding lik $x$ liter og mengden ren olje lik $y$ liter.

Vi setter opp to likninger der mengden oljeblanding settes som $x$ liter og mengden olje som $y$ liter.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 8\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+y& =& \frac{8·0,3}{10,3}\end{array}$

Med CAS i GeoGebra får vi

Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.

Dette er et likningssett med tre ukjente. Det løser vi enklest med CAS på tilsvarende måte som likningssett med to ukjente.

Løsning med CAS i GeoGebra:

Nedenfor har vi løst likningssettet ved regning for hånd. Det er god matematisk trening om du prøver det. Vi bruker på en måte innsettingsmetoden to ganger.

Vi løser likningen $x+y+z=6$ med hensyn på $x$.

$x=6-y-z$

Så settes dette uttrykket inn for $x$ i de to andre likningene.

$\begin{array}{rcl}2(6-y-z)+y-2z& =& -2\\ 3(6-y-z)+2y+z& =& 10\\ & & \\ 12-2y-2z+y-2z& = & -2\\ 18-3y-3z+2y+z& =& 10\\ & & \\ -y-4z& =& -14\\ -y-2z& =& -8\end{array}$

Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser.

$\begin{array}{rcl}y-4z & =& -14\\ y & =& 14-4z\end{array}$

Videre er
$\begin{array}{rcl} -\left(14-4z\right)-2z & =& -8\\ -14+4z-2z & =& -8\\ 2z & =& 6\\ z & =& 3\end{array}$

som gir

$\begin{array}{rcl}y & =& 14-4·3=2\\ x & =& 6-2-3=1\end{array}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

Vi setter opp tre likninger der$x$er kilopris for eplene,$y$er kilopris for druene, og$z$er kilopris for bananene.

$\begin{array}{rcl}1,5x+y+2z & =& 92\\ x+0,5y+1,5z & =& 59\\ 2x+1,5y+z & =& 101\end{array}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

Eplene koster 20 kroner per kg, druene koster 30 kroner per kg, og bananene koster 16 kroner per kg.

Vi setter opp tre likninger:

$\begin{array}{rcl}k+g+h & =& 150 \left(\text{antall hoder}\right)\\ 4k+4g+2h & =& 460 \left(\text{antall bein}\right)\\ g-k & =& 40 \left(\text{forskjellen mellom antall griser og kyr}\right)\end{array}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

På gården var det 20 kyr, 60 griser og 70 høner.

Vi setter opp tre likninger.

$\begin{array}{rcl}y+m+e & =& 36\\ e-y & =& 12\\ y & =& \frac{e}{3}\end{array}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

De tre søsknene er 6, 12 og 18 år gamle.