Andregradslikninger

Løsning ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}2x\left(x-1\right)& = & 0\\ & & \\ 2x& =& 0 \vee x-1=0\\ & & \\ x& =& 0 \vee x=1\end{array}$$

("$$ \vee $$" betyr "eller".)

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $$ f\left(x\right)$$ i algebrafeltet i GeoGebra. Siden høyresida av likningen er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. De to nullpunktene har $$ x$$-koordinater 0 og 1, som er de to løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$$ \begin{array}{rcl}12x-3x^2& = & 0\\ & & \\ 3x\left(4-x\right)& =& 0\\ & & \\ 3x& =& 0 \vee 4-x=0\\ & & \\ x& =& 0 \vee -x=-4\\ & & \\ x& =& 0 \vee x=4\end{array}$$

Løsning ved regning for hånd:

Her må vi bruke abc-formelen. Vi ordner likningen først.

$$ x^2+7x+6=0$$

Vi får at

$$ a=1, b=7, c=6$$

Dette gir

$$ $ \begin{array}{rcl}x& =& \frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·6}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{49-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{25}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-7+5}{2}=-1 \vee x=\frac{-7-5}{2}=-6\end{array}$$$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $$ f\left(x\right)$$ og høyresida som en funksjon $$ g\left(x\right)$$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktene har $$ x$$-koordinater $$ -6$$ og $$ -1$$, som er løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

Løsning ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}5x^2-25x& = & 0\\ & & \\ 5x\left(x-5\right)& =& 0\\ & & \\ 5x& =& 0 \vee x-5=0\\ & & \\ x& =& 0 \vee x=5\end{array}$$

Løsning ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2& = & 4\\ & & \\ x& =& \sqrt{4} \vee x=-\sqrt{4}\\ & & \\ x& =& 2 \vee x=-2\end{array}$$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $$ f\left(x\right)$$ i algebrafeltet i GeoGebra. Siden høyresida av likningen er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. De to nullpunktene har $$ x$$-koordinater $$ -2$$ og $$ 2$$, som er de to løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

Løsning ved regning for hånd:

$$ $ \begin{array}{rcl}{x}^2+5x+6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2}-4·1·6}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5+\sqrt{1}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5+1}{2}=-2 \vee x=\frac{-5-1}{2}=-3\end{array}$$$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $$ f\left(x\right)$$ og høyresida som en funksjon $$ g\left(x\right)$$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktene har $$ x$$-koordinater $$ -3$$ og $$ -2$$, som er løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

Løsning ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2& = & 1\\ & & \\ x& =& \sqrt{1} \vee x=-\sqrt{1}\\ & & \\ x_1& =& 1 \vee x_2=-1\end{array}$$

Løsning ved regning for hånd:

$$ $ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x-24& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4+96}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{100}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2+10}{2}=6 \vee x=\frac{2-10}{2}=-4\end{array}$$$

$\begin{array}{rcl}2x^2& = & -8\\ & & \\ x^2& =& -4\\ & & \mathrm{Ingen} \mathrm{løsning}\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle leddene med 270 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}270x^2+270x-540& = & 0 \overline{):270}\\ & & \\ x^2+x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-1-3}{2}=-2 \vee x=\frac{-1+3}{2}=1\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle leddene med 90 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}360x^2-360x+90& = & 0 \overline{):90}\\ & & \\ 4x^2-4x+1& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·4·1}}{2·4}\\ & & \\ x& =& \frac{4+0}{8} \vee x=\frac{4-0}{8}\\ & & \\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle leddene med 3 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1+3}{2}=2 \vee x=\frac{1-3}{2}=-1\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle leddene med -2 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1+3}{2}=2 \vee x=\frac{1-3}{2}=-1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}-x^2-5x-6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{1}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{5+1}{-2}=-3 \vee x=\frac{5-1}{-2}=-2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}-x^2-6x-8& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-6\right)\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-8\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{6\pm \sqrt{36-32}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{6\pm \sqrt{4}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{6+2}{-2}=-4 \vee x=\frac{6-2}{-2}=-2\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle leddene med 3 før vi setter inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likningen.

Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}3x^2+12x+12& =& 0 |:3\\ & & \\ x^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4}{2}=-2\end{array}$$

Vi må ordne likningen først.

$\begin{array}{rcl}3x^2-2x+2& =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

Her er det lurt å multiplisere alle leddene med 10 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl}0,3x^2-0,2x+0,2& = & 0 \overline{)·10}\\ & & \\ 3x^2-3x+2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

Her er det lurt å multiplisere alle leddene med 1 000 før vi setter inn i abc-formelen. Husk å ordne likningen også.

Vi får da

$\begin{array}{rcl}0,003x^2-0,002x+0,002& = & 0 \overline{)·1000}\\ & & \\ 3x^2-2x+2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\end{array}$

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

$$ \begin{array}{rcl}x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·2}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4+2\sqrt{2}}{2} \vee x=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2\left(2+\sqrt{2}\right)}{2} \vee x=\frac{2\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}\\ & & \\ x& =& 2+\sqrt{2} \vee x=2-\sqrt{2}\end{array}$$

Svaret kan stå med et rotuttrykk. Ved løsning med CAS kan vi finne tilnærmet løsning ved å trykke på knappen $$ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{ }}\stackrel{ }{\approx } }$$$. (Vi må ikke gjøre det.)

Her er det lurt å dividere alle leddene med 2 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

$$ \begin{array}{rcl}5x^2-5x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·5·\left(-2\right)}}{2·5}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{65}}{10}\\ & & \\ x& =& \frac{5+\sqrt{65}}{10} \vee x=\frac{5-\sqrt{65}}{10}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x+2-4+4x& = & 0\\ & & \\ x^2+2x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2\left(-1+\sqrt{3}\right)}{2} \vee x=\frac{2\left(-1-\sqrt{3}\right)}{2}\\ & & \\ x& =& \sqrt{3}-1 \vee x=-1-\sqrt{3}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl} 4-2x+x^2& = & 3x-3+2x^2\\ & & \\ x^2-2x^2-2x-3x+4+3& =& 0\\ & & \\ -x^2-5x+7& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·7}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{25+28}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{53}}{-2}\\ & & \\ x& =& -\frac{5+\sqrt{53}}{2} \vee x=-\frac{5-\sqrt{53}}{2 }\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl} 4x^2-6x+2x^2+11x& = & 3x+3-2x^2\\ & & \\ 4x^2-2x^2+2x^2-6x+11x-3x-3& =& 0\\ & & \\ 8x^2+2x-3& =& 0\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}x& = & \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·8·\left(-3\right)}}{2·8}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{100}}{2·8}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 10}{2·8}\\ & & \\ x& =& \frac{-12}{16}=-\frac{3}{4} \vee x=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\end{array}$$

Kall bredden $$ x$$. Finn deretter en formel for lengden.

Dersom vi kaller bredden for $$ x$$, blir lengden, som er 4 m lengre,  $$ x+4$$.

Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 96 m².

$$ x\left(x+4\right)=96$$

Løsning med CAS:

Her bruker vi bare den positive løsningen. Lengden blir

$8+4=12$

Huset er 12 m langt og 8 m bredt.

Løsning ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}x·\left(x+4\right)& = & 96\\ & & \\ x^2+4x-96& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-96\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{400}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm 20}{2}\\ & & \\ x& =& 8 \vee x=-12\end{array}$$

Når $$ x$$ står for lengden, betyr det at bredden er  $$ x-4$$. Dette gir likningen

$$ x\left(x-4\right)=96$$

Løsning med CAS:

Igjen bruker vi bare den positive løsningen. Lengden er altså 12 m, og bredden blir som før

$$ 12-4=8$$

Det spiller altså liten rolle om vi velger at $$ x$$ skal være bredden eller lengden. Vi får en annen likning å løse, men resultatet er det samme.

Dersom vi kaller lengden for $$ x$$, blir uttrykket for bredden  $$ x-5$$. Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 126 m².

$$ x\left(x-5\right)=126$$

Løsning med CAS:

Her bruker vi bare den positive løsningen. Bredden blir

$14-5=9$

Huset er 14 m langt og 9 m bredt.

Løsning ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl} x·\left(x-5\right)& = & 126\\ & & \\ x^2-5x-126& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{5^2-4·1·\left(-126\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{529}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 23}{2}\\ & & \\ x& =& 14 \vee x=-9\\ & & \end{array}$$

Tegn grunnflata til garasjen, og ta med diagonalen på tegningen.

Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at $$ x$$ står for bredden av garasjen. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen:

$$ x^2+{\left(x+2\right)}^2={10}^2$$

Løsning med CAS:

Vi bruker bare den positive løsningen. Lengden blir

$6+2=8$

Garasjen er 8 m lang og 6 m bred.

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl}{x}^2+{\left(x+2\right)}^2& = & {10}^2\\ & & \\ x^2+x^2+4x+4-100& =& 0\\ & & \\ 2x^2+4x-96& =& 0\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle leddene med 2 for å få enklere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x-48& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-48\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{196}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 14}{2}\\ & & \\ x_1& =& 6 \vee x_2=-8\end{array}$

Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at $$ x$$ står for bredden av tomta. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen

$$ x^2+{\left(x+10\right)}^2={45}^2$$

Løsning med CAS:

Vi får at den eksakte løsningen på likningen blir to uttrykk med kvadratrot. Da trykker vi på knappen $$ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{ }}\stackrel{ }{\approx } }$$$ for å få regnet ut svaret som desimaltall.

Vi kan bare bruke den positive løsningen. Det betyr at bredden av tomta er 26,42 m og lengden er 36,42 m. I linje tre regner vi ut arealet av tomta, og vi har tatt med måleenhetene i utregningen.

Arealet av tomta er 962 m².

Bruk abc-formelen.

Vi har en andregradslikning der $$ a$$ er ukjent,  $$ b=-4$$  og  $$ c=4$$. Vi setter dette inn i abc-formelen.

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·a·4}}{2·a}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{16-16a}}{2a}\end{array}$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $16-16a$.

Dersom  $a>1$, vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dersom  $a=1$, vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning,  $x=\frac{4}{2·1}=2$.

Dersom  $a<1$, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-b\right)\pm \sqrt{{\left(-b\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{b\pm \sqrt{b^2-16}}{2}\end{array}$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $b^2-16$.

Dersom $b^2<16$ vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dette vil skje når $b$ ligger mellom $-4$ og $4$.

Dersom $b^2=16$, det vil si når $b=4$ eller $b=-4$, vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning.

$b=-4: x=\frac{-(-4)}{2·1}=2$

$b=4: x=\frac{-4}{2·1}=-2.$

Dersom $b^2>16$, det vil si når $b>4$ eller $b<-4$, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

Likningen har én løsning når  $$ c=1$$.

Likningen har to løsninger når  $$ c<1$$.

Likningen har ingen løsning når  $$ c>1$$.

Når høyden er 10 m, betyr det at  $$ h\left(t\right)=10$$. Vi skriver inn funksjonen i CAS i GeoGebra og løser likningen.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).

Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.

Det betyr at vi må løse likningen  $$ h\left(t\right)=0$$.

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

Når høyden er 15 m, betyr det at  $$ h\left(t\right)=15$$.

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Ingen løsning. Det må bety at ballen aldri når en høyde på 15 m over bakken.

Når høyden skal være 5 cm, kan vi lage oss følgende overflatefunksjon:

$$ O\left(r\right)=2\pi r^2+10\pi r$$

Når overflata skal være 250 cm², betyr det at vi må løse likningen

$$ O\left(r\right)=250$$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Brusboksen har en radius på 4,3 cm.