Task

Lineære ulikheter

Oppgavene nedenfor skal løses med ulike framgangsmåter.

1.3.1

Løs ulikhetene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.

a) $x - 3 < 5$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x - 3 & < & 5 \\ x - 3 + 3 & < & 5 + 3 \\ x & < & 8 \end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon $f (x)$ og høyresida som en funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktet har $x$ -koordinaten 8.

Grafen til funksjonene f av x er lik x minus 3 og g av x er lik 5 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 2 og 10. Grafene er to rette linjer som har et skjæringspunkt. Skjæringspunktet har koordinatene 8 og 5. Grafen til f ligger under grafen til g til venstre for skjæringspunktet. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ulikheten spør etter når grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ . Dette er oppfylt på venstre side av skjæringspunktet, det vil si når $x < 8$ .

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x minus 3 mindre enn 5. Svaret med "Løs" er x mindre enn 8. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) $2 x + 1 > 3$

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & > & 3 \\ 2 x + 1 - 1 & > & 3 - 1 \\ \frac{2 x}{2} & > & \frac{2}{2} \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $2 x - 4 < x - 4$

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd.

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & < & x - 4 \\ 2 x - 4 - x + 4 & < & x - 4 - x + 4 \\ x & < & 0 \end{array}$

1.3.2

Løs ulikhetene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.

a) $3 x - 5 < 5$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 x - 5 & < & 5 \\ 3 x - 5 + 5 & < & 5 + 5 \\ \frac{3 x}{3} & < & \frac{10}{3} \\ x & < & \frac{10}{3} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 3 - 2 x + 3 & < & 2 x - 6 - 2 x + 3 \\ \frac{3 x}{3} & < & \frac{- 3}{3} \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $6 - 5 x \geq 6 (1 - x)$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} 6 - 5 x & \geq & 6 (1 - x) \\ 6 - 5 x & \geq & 6 - 6 x \\ 6 - 5 x + 6 x - 6 & \geq & 6 - 6 x + 6 x - 6 \\ x & \geq & 0 \end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av ulikheten som en funksjon $f (x)$ og høyresida som en funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktet har $x$ -koordinaten 0.

Grafen til funksjonene f av x er lik 6 minus 5 x og g av x er lik 6 multiplisert med parentes 1 minus x parentes slutt er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 0,5 og 2. Grafene er to rette linjer som har et skjæringspunkt. Skjæringspunktet har koordinatene 0 og 6. Grafen til f ligger over grafen til g til høyre for skjæringspunktet. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ulikheten spør etter når grafen til $f$ ligger over grafen til $g$ , og når de skjærer hverandre. Dette er oppfylt i skjæringspunktet og på høyre side av skjæringspunktet, det vil si når $x \geq 0$ .

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 6 minus 5 x større eller lik 6 multiplisert med parentes 1 minus x parentes slutt. Svaret med "Løs" er x større enn eller lik 0. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

d) $x - 3 \leq 2 (x + 6)$

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$\begin{array}{rcl} x - 3 & \leq & 2 (x + 6) \\ x - 3 & \leq & 2 x + 12 \\ x - 3 - 2 x + 3 & \leq & 2 x + 12 - 2 x + 3 \\ - x & \leq & 15 Vi dividerer på (- 1) \\ og snur ulikhetstegnet . \\ x & \geq & - 15 \end{array}$

1.3.3

Løs ulikhetene ved regning for hånd. Kontroller svarene med CAS.

a) $3 (x - 5) < 5 (x - 2)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 (x - 5) & < & 5 (x - 2) \\ 3 x - 15 & < & 5 x - 10 \\ 3 x - 15 - 5 x + 15 & < & 5 x - 10 - 5 x + 15 \\ \frac{- 2 x}{- 2} & > & \frac{5}{- 2} Vi dividerer på (- 2) \\ og snur ulikhetstegnet . \\ x & > & - \frac{5}{2} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 3 - 2 x + 3 & < & 2 x - 6 - 2 x + 3 \\ \frac{3 x}{3} & < & \frac{- 3}{3} \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $1 - x \geq 1 + x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 1 - x & \geq & 1 + x \\ 1 - x - x - 1 & \geq & 1 + x - x - 1 \\ - 2 x & \geq & 0 Vi dividerer på (- 2) \\ og snur ulikhetstegnet . \\ x & \leq & 0 \end{array}$

d) $3 (2 x - 3) < 6 x - 9$

Løs også ulikheten grafisk.

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} 3 (2 x - 3) & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 - 6 x + 9 & < & 6 x - 9 - 6 x + 9 \\ 0 x & < & 0 \end{array}$

$0 x$ kan aldri bli mindre enn $0$ . Det betyr at ulikheten ikke har løsning.

Dette kan vi se allerede i linje 2 i løsningen. Hvorfor? Se svar nederst i løsningsboksen.

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av ulikheten som en funksjon $f (x)$ og høyresida som en funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. De to grafene ligger oppå hverandre; de er en og samme graf. Verktøyet "Skjæring mellom to objekt" gir ingen løsning.

Grafen til funksjonene f av x er lik 3 multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt og g av x er lik 6 x minus 3 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 1 og 2. Grafene er to rette linjer som ligger oppå hverandre. De er en og samme graf. Illustrasjon. — Grafisk løsning av ulikhet der de to grafene er sammenfallende. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ulikheten spør etter når grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ . Det gjør den aldri fordi grafene ligger oppå hverandre. Ulikheten har derfor ingen løsning.

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 3 multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt mindre enn 6 x minus 9. Svaret med "Løs" er ingenting. Skjermutklipp. — Løsning av ulikhet med CAS der ulikheten har ingen løsning. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Svar på spørsmålet lengre opp i løsningsboksen:

Vi kan se dette i linje 2 fordi det som står på venstre side er helt likt det som står på høyre side. Da kan ikke det som står på venstre side være mindre enn det som står på høyre side.

e) Hva blir løsningen på ulikheten i oppgave d) hvis vi bytter ut tegnet $<$ i ulikheten med $\leq$ ?

Løsning

Det betyr at ulikheten også spør etter når venstre side er lik høyre side. Det fant vi ut at den alltid er, så da er alle mulige tall løsning på ulikheten. Matematisk kan vi, hvis vi vil, skrive dette som

$x \in ℝ$

der $\in$ står for "... element i ...", og $ℝ$ står for "alle reelle tall".

f) Hvilke(t) andre ulikhetstegn kan ulikheten i d) ha for at den skal ha ingen løsning?

Løsning

Siden venstresida av ulikheten alltid er lik høyresida, kan vi bytte ut tegnet $<$ med tegnet $>$ og fortsatt ha ingen løsning. Hvis vi prøver å bytte ut med tegnet $\geq$ , kan de to sidene være lik hverandre, og vi får igjen alle mulige $x$ -verdier som løsning slik som i oppgave e).

1.3.4

Løs ulikhetene ved regning for hånd. Kontroller svarene med CAS.

a) $\frac{2}{3} x - 2 \leq - 3$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{3} x - 2 & \leq & - 3 \\ \frac{2 x \cdot 3}{3} - 2 \cdot 3 & \leq & - 3 \cdot 3 \\ 2 x - 6 & \leq & - 9 \\ 2 x - 6 + 6 & \leq & - 9 + 6 \\ \frac{2 x}{2} & \leq & \frac{- 3}{2} \\ x & \leq & - \frac{3}{2} \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > \frac{1}{6}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - \frac{x}{3} & > & \frac{1}{6} \\ \frac{x \cdot 6}{2} - \frac{x \cdot 6}{3} & > & \frac{1 \cdot 6}{6} \\ 3 x - 2 x & > & 1 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $\frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} \geq 3 - \frac{x}{6}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} & \geq & 3 - \frac{x}{6} \\ \frac{5 x \cdot 12}{2} + \frac{x \cdot 12}{3} - \frac{7 \cdot 12}{4} & \geq & 3 \cdot 12 - \frac{x \cdot 12}{6} \\ 30 x + 4 x - 21 & \geq & 36 - 2 x \\ 36 x & \geq & 57 \\ x & \geq & \frac{57}{36} \\ x & \geq & \frac{19}{12} \end{array}$

d) $\frac{3}{2} (2 x - 3) < 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2})$

Løs også ulikheten grafisk.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} (2 x - 3) & < & 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2}) \\ \frac{6 x}{2} - \frac{9}{2} & < & \frac{9 x}{3} + \frac{9}{2} \\ 3 x - \frac{9}{2} & < & 3 x + \frac{9}{2} \\ 3 x - 3 x & < & \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \\ 0 x & < & \frac{18}{2} \\ 0 x & < & 9 \end{array}$

$0 x$ er alltid mindre enn $9$ . Det betyr at ulikheten er gyldig for alle mulige $x$ . Vi kan skrive løsningen som

$x \in ℝ$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av ulikheten som en funksjon $f (x)$ og høyresida som en funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. De to grafene er parallelle, rette linjer og grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ . Verktøyet "Skjæring mellom to objekt" gir ingen løsning.

Grafen til funksjonene f av x er lik 3 todeler multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt og g av x er lik 9 multiplisert med parentes x tredjedeler pluss en halv parentes slutt er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 2 og 4. Grafene er to parallelle, rette linjer. Grafen til f ligger under grafen til g. Illustrasjon. — Grafisk løsning av ulikhet der de to grafene er parallelle, rette linjer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ulikheten spør etter når grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ . Det gjør den alltid fordi grafene er parallelle. Løsningen er derfor alle mulige $x$ -verdier, som vi fant over.

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 3 halve multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt mindre enn 9 multiplisert med parentes x halve pluss 1 halv parentes slutt. Svaret med "Løs" er x er lik x. Skjermutklipp. — Løsning av ulikhet med CAS der løsningen er alle reelle tall. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

e) Hva blir løsningen på ulikheten i oppgave d) hvis vi bytter ut tegnet $<$ i ulikheten med tegnet $\leq$ ?

Løsning

Om vi bytter ut "mindre enn" i ulikheten med "mindre enn eller lik", vil fortsatt alle mulige $x$ -verdier være løsning av ulikheten siden dette byttet ikke lager flere avgrensninger.

f) Hvilke(t) ulikhetstegn må ulikheten i d) ha for at den skal ha ingen løsning?

Løsning

Siden vi har at venstresida av ulikheten alltid er mindre enn høyresida, kan vi bytte ut tegnet $<$ med både $>$ og $\geq$ for å få ingen løsning på ulikheten.

1.3.5

Per skal ha sommerjobb som jordbærplukker. Han har valget mellom to ulike lønnsavtaler.

1) Han kan få en fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg 2 kroner for hver kurv han plukker.

2) Han kan få 5 kroner for hver kurv han plukker, men da får han ikke noen fast timelønn.

Still opp en ulikhet, og finn ut hvor mange kurver Per må plukke i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

Løsning

Vi lar $x$ være antall kurver Per plukker og setter opp uttrykk for hver av de to lønnsavtalene.

1) $50 + 2 x$

2) $5 x$

Vi ønsker å finne ut når avtale 2 er større enn avtale 1. Vi får da ulikheten

$\begin{array}{rcl} 5 x & > & 50 + 2 x \\ 5 x - 2 x & > & 50 + 2 x - 2 x \\ \frac{3 x}{3} & > & \frac{50}{3} \\ x & > & 16, 7 \end{array}$

Per må plukke minst 17 kurver i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

1.3.6

Kari og familien skal på tur. De vil leie bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leiebiltilbud og funnet fram til to aktuelle.

1) Leiebilen koster 700 kroner per døgn, med fri kjørelengde opp til 500 kilometer. Over det betales det 5 kroner per kilometer.

2) Leiebilen koster 1 500 kroner per døgn. Kjørelengden er inkludert.

Still opp en ulikhet, og finn ut hvor mange kilometer de må kjøre for at tilbud 2 skal lønne seg.

Løsning

Det er klart at hvis kjørelengden er mindre enn eller lik 500 kilometer, lønner tilbud 1 seg fordi det har lavere døgnpris. Kjørelengden må altså være høyere enn 500 kilometer for at tilbud 2 skal lønne seg. Vi kan derfor la $x$ være antall kilometer de kjører over 500 kilometer og bruke det til å sette opp uttrykk for de to tilbudene.

Tilbud 1: $700 \cdot 5 + 5 x$

Tilbud 2: $1 500 \cdot 5$

Vi ønsker å finne ut når tilbud 2 lønner seg. Det betyr her at tilbud 2 skal gi lavest kostnad.

Vi får

$\begin{array}{rcl} 1 500 \cdot 5 & < & 700 \cdot 5 + 5 x \\ 7 500 & < & 3 500 + 5 x \\ 7 500 - 5 x - 7 500 & < & 3 500 + 5 x - 5 x - 7 500 \\ \frac{- 5 x}{- 5} & > & \frac{- 4 000}{- 5} \\ x & > & 800 \end{array}$

Det betyr at de må kjøre mer enn

$800 km + 500 km = 1 300 km$

for at tilbud 2 skal lønne seg. (Husk at $x$ står for antall kilometer over 500.)

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.3.4

1.3.5

1.3.6

Rules for use of text "Lineære ulikheter"