Article

Lineære ulikheter

Hva menes med en ulikhet, og hvordan løser vi en ulikhet av første grad?

Hva er en ulikhet?

En ulikhet består av et ulikhetssymbol med et tall eller uttrykk på hver side av symbolet. Et eksempel er ulikheten

Gapende krokodille. Foto. — Husk at krokodillen er sulten og alltid vil gape over det største tallet eller uttrykket. Image: Rolf Øhman / CC BY-NC-SA 4.0

$3 < 8$

Ulikheten leses som " $3$ er mindre enn $8$ ".

Vi har fire ulikhetssymboler: $<$ , som betyr "mindre enn", $>$ , som betyr "større enn", $\leq$ , som betyr "mindre enn eller lik", og $\geq$ , som betyr "større enn eller lik".

Merk at "gapet" alltid peker mot det største tallet.

En ulikhet inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver. Det er vanlig å bruke bokstaven $x$ for den ukjente når ulikheten har én ukjent størrelse.

Et eksempel er ulikheten

$x + 3 \geq 8$

Å løse en ulikhet går ut på å finne hvilke verdier $x$ kan ha for at ulikheten skal være sann. Eksempel: Hvilke verdier av $x$ i ulikheten ovenfor gjør at $x + 3$ blir lik eller større enn $8$ ?

Løsning av ulikheter ved regning for hånd

Langt på vei kan vi løse ulikheter etter de samme prinsippene vi brukte for å løse likninger.

Hvis vi adderer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden $5 < 9, så er 5 + 3 < 9 + 3$ .
Hvis vi subtraherer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden $9 > 5, så er 9 - 3 > 5 - 3$ .
Hvis vi multipliserer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden $9 > 5, så er 9 \cdot 3 > 5 \cdot 3$ .
Hvis vi dividerer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Siden $9 > 6, så er \frac{9}{3} > \frac{6}{3}$ .

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med det samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.

Hva så hvis vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall på begge sider i en ulikhet?

Vi ser på ei tallinje.

Tallinje som går fra minus 7 til 7. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Hvis vi velger to ulike tall, vet vi at det tallet som ligger lengst til høyre, er det største. Tallet $4$ ligger til høyre for tallet $2$ og er dermed større enn $2$ .

$4 > 2$

Utforsking

Hva skjer hvis du multipliserer begge sider av ulikheten med det negative tallet $- 1$ ?

Løsning

Vi multipliserer begge tallene (begge sidene i ulikheten) med det negative tallet $- 1$ . Vi får at $4 \cdot (- 1) = - 4 og 2 \cdot (- 1) = - 2$ . Men $- 4$ ligger til venstre for $- 2$ på tallinja og er da minst. Det betyr at

$- 4 < - 2$

Vi har altså måttet snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

På samme måte kan du ta utgangspunkt i to hvilke som helst ulike tall og multiplisere dem eller dividere dem med samme negative tallet. Du vil se at du alltid må snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

Dette betyr at de reglene vi har for å løse likninger av første grad (lineære likninger) også kan brukes til å løse lineære ulikheter med den forskjell at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.

Vi kan addere og subtrahere med det samme tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Vi kan multiplisere og dividere med det samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresida og høyresida.
Vi må snu ulikhetstegnet hvis vi dividerer eller multipliserer med et negativt tall på begge sider av ulikhetstegnet.

Eksempel

Vi løser ulikheten $2 x + 3 < 4 x + 9$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 & < & 4 x + 9 Vi subtraherer 4 x og 3 på begge sider . \\ 2 x + 3 - 4 x - 3 & < & 4 x + 9 - 4 x - 3 Vi trekker sammen like ledd . \\ - 2 x & < & 6 Vi dividerer med - 2 på begge sider \\ og snur ulikhetstegnet . \\ x & > & - 3 \end{array}$

For alle verdier av $x$ større enn $- 3$ er ulikheten sann. Prøv for eksempel å sette inn 0 i den opprinnelige ulikheten. Prøv så å sette inn $- 4$ .

Grafisk løsning av ulikheter

Vi bruker eksempelet over. Vi kan se på det som står på hver side av ulikhetstegnet i en ulikhet som en funksjon av $x$ . Vi kan kalle funksjonene $f$ og $g$ .

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x + 3 \\ g (x) & = & 4 x + 9 \end{array}$

Da kan vi skrive ulikheten som

$f (x) < g (x)$

Funksjonene kan vi tegne enten for hånd eller med GeoGebra. I GeoGebra skriver vi inn funksjonene i algebrafeltet.

Grafen til funksjonene f av x er lik 2 x pluss 3 og g av x er lik 4 x pluss 3 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 4 og minus 2. Grafene er to rette linjer som har et skjæringspunkt. Skjæringspunktet har koordinatene minus 3 og minus 3. Grafen til f ligger under grafen til g til høyre for skjæringspunktet. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I dette tilfellet får vi to rette linjer der grafen til $f$ er heltrukken mens grafen til $g$ er stiplet. Vi har også tegnet inn skjæringspunktet mellom grafene. Se figuren.

Oppgave

Studer grafene. Oppgaven spør etter når funksjonen $f$ er mindre enn funksjonen $g$ . Hvordan ser vi hva som er løsningen på ulikheten?

Løsning

Vi må finne for hvilke $x$ -verdier grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ . Det gjør den for $x$ -verdier større enn skjæringspunktet. Ulikheten er altså oppfylt for $x$ -verdier større enn $- 3$ , noe som stemmer med hva vi fant ved regning for hånd.

Alternativ grafisk løsning

I et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 6 til 1 og y-aksen går fra minus 3 til 3 er området til høyre for den loddrette linja som skjærer x-aksen i minus 3, skravert. Illustrasjon. — Grafisk illustrasjon av løsningen på ulikheten. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan også få fram et grafisk bilde av løsningen av ulikheten ved å skrive hele ulikheten inn i algebrafeltet. Da setter GeoGebra farge på den delen av grafikkfeltet som er løsning av ulikheten, nemlig det området der $x > - 3$ , se bildet.

Løsning med CAS

CAS-utregning i GeoGebra. Det er skrevet inn 2 x pluss 3 er større enn 4 x pluss 9. Svaret med Løs er x er større enn minus 3. Skjermutklipp. — Image: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Ved CAS i GeoGebra skriver vi inn ulikheten og trykker på knappen $x_{}^{} =$ . Alternativt kan vi bruke kommandoordet "Løs":

Løs(2x+3>4x+9)