Ulikheter av andre grad

Løsning ved regning for hånd:

Denne ulikheten er ferdig ordnet. Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4x-12& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4·1·(-12)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{64}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm 8}{2}\\ & & \\ x& =& -2 \vee x=6\end{array}$$

Vi vet nå at uttrykket $x²-4x-12$ er lik 0 når  $x=-2$  og når  $x=6$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $\langle \leftarrow , -2\rangle$, $$ ⟨-2, 6⟩$$ og $⟨6, \to ⟩$.

For $$ x=-3$$  får vi

$$ {\left(-3\right)}^2-4·\left(-3\right)-12=9+12-12=9>0$$  (Uttrykket er positivt.)

For $$ x=0$$  får vi

$$ $ 0^2-4·0-12=-12<0$$$  (Uttrykket er negativt.)

For $$ x=7 $$ får vi

$$ $ $ 7^2-4·7-12=49-28-12=9>0$$$$  (Uttrykket er positivt.)

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $$ $ x^2-4x-12<0$$$. Testen viser at dette er oppfylt i intervallet mellom nullpunktene. Ulikheten har løsningen

$x\in ⟨-2, 6⟩$

Dette ser vi også uten testing. Andregradsleddet i uttrykket er positivt, som betyr at grafen til uttrykket har et bunnpunkt. Da må uttrykket være mindre enn null mellom nullpunktene og ikke andre steder.

Grafisk løsning:

Vi setter  $$ f\left(x\right)=$ x^2-4x-12$$$, tegner grafen i GeoGebra og finner nullpunktene med verktøyet "Nullpunkt".

Ulikheten spør etter når funksjonen $$ f$$ er mindre enn null. Det er den delen av grafen som er under $$ x$$-aksen som vi må se etter. Det er området mellom $$ -2$$ og 6, og vi får den samme løsningen som ved regning for hånd.

Løsning med CAS:

Løsning ved regning:

Vi finner først nullpunktene.

$$ \begin{array}{rcl}x-4x^2& = & 0\\ & & \\ x(1-4x)& =& 0\\ & & \\ x& =& 0 \vee 1-4x=0\\ & & \\ x& =& 0 \vee x=\frac{1}{4}\end{array}$$

Vi vet nå at uttrykket  $$ x-4x^2$$  er lik 0 når  $x=0$  og når  $$ x=\frac{1}{4}$$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Siden andregradsleddet i uttrykket er negativt, betyr det at grafen til uttrykket har et toppunkt. Uttrykket er derfor større enn 0 mellom nullpunktene. Ulikheten har derfor løsningen $x\in ⟨0, \frac{1}{4}⟩$.

Hvis du er usikker, kan du teste med $$ x$$-verdier mellom og utenfor nullpunktene slik vi gjorde i oppgave a).

Grafisk løsning:

Vi setter  $$ f\left(x\right)=x-4x^2$$, tegner grafen i GeoGebra og finner nullpunktene med verktøyet "Nullpunkt".

Ulikheten spør etter når funksjonen $$ f$$ er større enn null. Det er den delen av grafen som er over $$ x$$-aksen som vi må se etter. Det er området mellom 0 og 0,25, og vi får den samme løsningen som ved regning for hånd.

Løsning med CAS:

Løsning ved regning for hånd:

Vi finner først nullpunktene.

$$ \begin{array}{rcl}2x^2+5x-3& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·2·\left(-3\right)}}{2·2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm 7}{4}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=\frac{1}{2}\end{array}$$

Vi vet nå at uttrykket  $$ 2x^2+5x-3$$  er lik $0$ når  $x=-3$  og når  $$ x=\frac{1}{2}$$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn.

Siden andregradsleddet i uttrykket er positivt, betyr det at grafen til uttrykket har et bunnpunkt. Uttrykket er derfor større enn 0 utenfor området mellom nullpunktene. Ulikheten spør også etter når uttrykket er lik 0, så nullpunktene skal være med i løsningen. Ulikheten har derfor løsningen  $$ $ x\le -3 \vee x\ge \frac{1}{2}$$$. Dette kan vi skrive som  $$ $ x\in ⟨\leftarrow ,-3] \cup [\frac{1}{2},\to ⟩$$$, der tegnet $$ \cup $$ betyr "union", eller "unionen av to mengder". (Merk at vi bruker hakeparentesene [ og ] for å markere at tallene $$ -3$$ og $$ \frac{1}{2}$$ skal være med i løsningen.)

Grafisk løsning:

Vi setter  $$ f\left(x\right)=$ 2x^2+5x-3$$$, tegner grafen i GeoGebra og finner nullpunktene med verktøyet "Nullpunkt".

Ulikheten spør etter når funksjonen f er større enn eller lik null. Det er den delen av grafen som er over x-aksen inkludert nullpunktene som vi må se etter. Det er når  $$ x\le -3$$  eller når  $$ x>\frac{1}{2}$$, som vi fant ved regning for hånd.

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning her.

Løsning ved regning for hånd:

Vi finner først nullpunktene.

$$ $ \begin{array}{rcl}-x^2-x+6 & =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-3\right)·6}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm 5}{-2}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=2\end{array}$$$

Ulikheten spør etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Siden andregradsleddet er negativt og grafen til uttrykket har et toppunkt, vil løsningen være området utenfor området mellom nullpunktene, men inkludert nullpunktene. Løsningen er  $$ $ x\in ⟨\leftarrow ,-3] \cup [2,\to ⟩$$$.

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning her.

Løsning ved regning for hånd:

Her mangler førstegradsleddet. Da slipper vi å bruke abc-formelen når vi skal finne nullpunktene.

$$ $ $ \begin{array}{rcl}-3x^2+27 & =& 0\\ & & \\ -3x^2& =& -27 | :\left(-3\right)\\ & & \\ x^2& = & 9\\ & & \\ x& =& -\sqrt{9} \vee x=\sqrt{9}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=3\end{array}$$$$

Ulikheten spør etter når uttrykket er større enn 0. Siden andregradsleddet er negativt, har grafen til uttrykket et toppunkt, og løsningen blir området mellom nullpunktene.

Løsningen er  $$ $ x\in ⟨-3, 3⟩$$$

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning her.

Løsning ved regning for hånd:

Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-8x+15& =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{8\pm \sqrt{64-4·1·15}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{8\pm 2}{2}\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=5\end{array}$$

Vi vet nå at uttrykket  $$ x^2-8x+15$$  er lik 0 når  $x=3$  og når $x=5$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Ulikheten spør etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Siden andregradsleddet er positivt og grafen til uttrykket derfor har et bunnpunkt, må løsningen på ulikheten være området mellom nullpunktene. Ulikheten har derfor løsningen  $x\in [3, 5]$.

Løsning med CAS:

Løsning ved regning for hånd:

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl} 1& > & x^2\\ & & \\ -x^2+1& >& 0\end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}-x^2+1& = & 0\\ & & \\ -x^2& =& -1\\ & & \\ x^2& =& 1\\ & & \\ x& =& -1 \vee x=1\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket  $$ -x^2+1$$  er lik 0 når  $x=-1$  og når  $x=1$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Den ordnede ulikheten spør etter når uttrykket er større enn 0. Siden andregradsleddet er negativt, har grafen til uttrykket et toppunkt. Løsningen må derfor være området mellom nullpunktene. Ulikheten har løsningen $x\in ⟨-1, 1⟩$.

Grafisk løsning:

Vi velger å bruke den opprinnelige ulikheten, ikke den ordnede varianten. Vi setter  $$ f\left(x\right)=1$$  og  $$ g\left(x\right)=x^2$$, tegner grafene med GeoGebra og finner skjæringspunktet mellom grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Ulikheten spør etter når grafen til $$ f$$ ligger over grafen til $$ g$$. Det er området mellom skjæringspunktene. Løsningen blir derfor det samme som ved regning for hånd.

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning her.

Løsning ved regning for hånd:

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl}-x& \le & -x^2+6\\ & & \\ x^2-x-6& \le & 0\end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x-6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{}\\ & & \\ & =& \frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}\\ & & \\ x& =& -2 \vee x=3\end{array}$$

Vi vet nå at uttrykket  $$ x^2-x-6$$  er lik 0 når  $x=-2$  og når  $x=3$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Den ordnede ulikheten spør etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Grafen til uttrykket har et bunnpunkt, som betyr at løsningen må være området mellom nullpunktene. Ulikheten har løsningen $x\in [-2, 3]$.

Løsning med CAS:

Løsning ved regning for hånd:

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl}1-2x& \ge & -x^2\\ & & \\ x^2-2x+1& \ge & 0\end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x+1& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{}\\ & & \\ & =& \frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}\\ & & \\ & =& \frac{2}{2}=1\\ & & \end{array}$$

Her er det bare ett nullpunkt. Vi vet nå at uttrykket  $$ x^2+2x+1$$  er lik 0 når  $x=1$. Det er bare for denne verdien av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Siden det ikke er flere nullpunkter og grafen til uttrykket har et bunnpunkt, må dette bunnpunktet være det samme som nullpunktet. Uttrykket vil derfor alltid være større enn eller lik 0. Løsningen er alle reelle tall, og vi skriver løsningen slik:

$x\in \mathrm{ℝ}$

$$ \mathrm{ℝ}$$ betyr "mengden av alle reelle tall".

Grafisk løsning:

Vi velger å bruke den opprinnelige ulikheten, ikke den ordnede varianten. Vi setter  $$ f\left(x\right)=1-2x$$  og  $$ g\left(x\right)=-x^2$$, tegner grafene med GeoGebra og finner skjæringspunktet mellom grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Ulikheten spør etter når grafen til $$ f$$ ligger over eller oppå grafen til $$ g$$. Det gjør den overalt siden det bare er ett skjæringspunkt. Løsningen blir derfor alle reelle tall, det samme som ved regning for hånd.

Løsning med CAS:

Merk måten GeoGebra skriver løsningen på her.

Løsning ved regning for hånd:

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$-x^2+2x-2\ge 0$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}-x^2+2x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}\end{array}$$

Her er det ingen reelle løsninger. Uttrykket har altså ingen nullpunkter, og det er derfor ingen steder uttrykket kan skifte fortegn. Grafen til uttrykket må derfor enten alltid ligge over $$ x$$-aksen eller under $$ x$$-aksen. Siden andregradsleddet er negativt, vet vi at grafen til uttrykket har et toppunkt, men er ubegrenset nedover. Uttrykket vil derfor være negativt for alle verdier av $x$, og ulikheten har ingen løsning.

Grafisk løsning:

Vi velger å bruke den opprinnelige ulikheten, ikke den ordnede varianten. Vi setter  $$ f\left(x\right)=2x+3$$  og  $$ g\left(x\right)=x^2+5$$, tegner grafene med GeoGebra og prøver å finne skjæringspunkter mellom grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Vi får ingen skjæringspunkter. Ulikheten spør etter når grafen til $$ f$$ ligger over eller oppå grafen til $$ g$$. Det gjør den aldri. Ulikheten har derfor ingen løsning, som vi også fant over.

Løsning med CAS:

Husk at overskudd er forskjellen mellom inntekter og kostnader.

Overskudd er differansen mellom inntekter og kostnader, og overskuddet $O$ er derfor gitt ved

$O\left(x\right)=I\left(x\right)-K\left(x\right)$

Oppgaven kan regnes for hånd, men vi velger å løse med CAS der vi skriver inn funksjonene $$ K$$ og $$ I$$ først.

Sett opp en ulikhet med $$ O\left(x\right)$$.

Vi må løse ulikheten  $$ O\left(x\right)>1 000$$. Nå har vi fordel av å ha løst oppgave a) med CAS, og vi fortsetter med å bruke CAS.

Bedriften må produsere mer enn 44 enheter og mindre enn 136 enheter for at overskuddet skal bli større enn 1 000 kroner.

Når bedriften går med overskudd, er  $$ O\left(x\right)>0$$.

Bedriften må produsere mer enn 11 enheter og mindre enn 169 enheter for å gå med overskudd.

Vi har at overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Det betyr at grafen til funksjonen har et toppunkt. Det betyr videre at når vi setter overskuddsfunksjonen lik en verdi (altså setter opp en likning), vil alltid funksjonen ha høyere verdi for $$ x$$-verdier mellom de to løsningene. Altså kunne vi ha løst oppgavene b) og c) uten å løse en ulikhet.

Når vi klipper bort kvadrater med sidekant lik $$ x$$, vil målene på eskebunnen være $$ 2x$$ kortere enn yttermålene på papplata. Målene på eskebunnen blir derfor som på figuren nedenfor.

Vi finner volumet ved å multiplisere arealet av eskebunnen med høyden av eska, som er $$ x$$. Vi løser oppgaven med CAS.

Volumfunksjonen blir altså en tredjegradsfunksjon.

Vi kan ikke klippe bort mer enn halve sidekanten av pappstykket. Den minste sidekanten er 40 cm, altså må vi klippe bort mindre enn 20 cm for at det skal bli ei eske.

Husk å ha samsvarende måleenheter når du regner.

Vi ser på måleenhetene først. Volumet vi skal sammenlikne med, er oppgitt i L (liter). I volumfunksjonen har vi multiplisert sammen tre lengder som måles i cm. Det betyr at måleenheten til volumfunksjonen er cm³. Da får vi at

$$ 5 \mathrm{L}=5 {\mathrm{dm}}^3=5 000 {\mathrm{cm}}^3$$

For å svare på spørsmålet, må vi løse ulikheten

$$ V\left(x\right)>5 000$$

Vi løser oppgaven med CAS.

Løsningen sier at $$ x$$ må være mellom 3,54 og 11,99, eller at $$ x$$ må være større enn eller lik 29,48. (Det er altså to områder som er løsning av ulikheten.) Fra oppgave b) har vi at vi må klippe bort mindre enn 20 cm for at det skal bli ei eske.

Vi må klippe bort kvadrater med sidekant mellom 3,54 cm og 12 cm for at volumet av den eska vi får, skal være minst 5 L.

$$ x^2$$ kan aldri bli negativ. Uttrykket  $$ 1-x^2$$  blir dermed aldri større enn 1.

Verken$$ (x+1{)}^2$$ eller $$ (x-1{)}^2$$ kan bli mindre enn 0.

Test uttrykket ved å sette inn $$ x$$-verdier i intervallene på alle sider mellom nullpunktene.

Det er bare i nullpunktene at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar derfor stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $$ ⟨\leftarrow ,-1⟩⟨-1,1⟩,⟨1,3⟩$$ og $$ ⟨3,\to ⟩$$. Vi velger $$ x$$-verdiene $$ -2, 0, 2$$ og $$ 4$$.

For $$ x=-2$$  får vi

$$ $ $ {\left(-2\right)}^3-3·{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+3=-8-12+4+3=-13<0$$$$  (Uttrykket er negativt.)

For $$ x=0$$  får vi

$$ $ 0^3-3·0^2-0+3=3>0$$$  (Uttrykket er positivt.)

For  $$ x=2$$  får vi

$$ $ $ 2^3-3·2^2-2+3=8-12-2+3=-3<0$$$$  (Uttrykket er negativt.)

For  $$ x=4$$  får vi

$$ $ $ 4^3-3·4^2-4+3=64-48-4+3=15>0$$$$  (Uttrykket er positivt.)

Ulikheten spør etter når uttrykket er større enn null. Det er i de intervallene der testene ga et positivt tall som resultat.

Løsningen på ulikheten er  $$ x\in \langle -1,1\rangle \cup ⟨3,\to ⟩$$.