Cosinussetningen

Gitt en trekant ABC. Vinkel A har motstående side a, og det er tilsvarende for de andre vinklene. Følgende setning gjelder:

Cosinussetningen (Den utvidede pytagoreiske setning)

$a^2= b^2+c^2-2bc \cos A$

I en trekant er kvadratet av en side alltid lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus to ganger produktet av disse sidene og cosinus til deres mellomliggende vinkel. Vi kan derfor også skrive setningen på følgende to andre måter:

$\begin{array}{rcl}{b}^2 & =& a^2+c^2- 2ac \cos B \\ & & \\ c^2 & =& a^2+b^2- 2ab \cos C\end{array}$

Vi kan bruke cosinussetningen til å finne både sider og vinkler. Når vi skal finne vinkler, kan det være lurt å snu på formelen slik som vist nedenfor.

$\begin{array}{rcl} a^2& = & b^2+c^2-2·b·c·\cos A\\ & & \\ 2·b·c·\cos A& =& b^2+c^2-a^2\\ & & \\ \cos A& =& \frac{b^2+c^2-a^2}{2·b·c}\end{array}$

De andre vinklene blir da

$\begin{array}{rcl}\cos B& = & \frac{a^2+c^2-b^2}{2·a·c}\\ & & \\ \cos C& =& \frac{a^2+b^2-c^2}{2·a·b}\end{array}$

Skal vi bruke GeoGebra til å løse oppgavene, trenger vi ikke å snu på formelen.

Figuren viser en trekant $ABC$.

Regn ut siden BC når siden AC er 3,5 cm, siden AB er 5,5 cm og $\angle A = 35°$.

Løsning

Vi bruker varianten av cosinussetningen med vinkel A, siden det er den vinkelen som er oppgitt, og løser med GeoGebra.

$a^2= b^2+c^2-2bc \cos A$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{a}}^2=3.5^2+5.5^2-2·3.5·5.5·\cos \left(35°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{a}=-3.3, \mathrm{a}=3.3\}\end{array}}$

$a=3,3 \mathrm{cm}$

Figuren viser en trekant $ABC$.

Regn ut $\angle B$ når du vet at $a=3,3 \mathrm{cm}$, $b=3,5 \mathrm{cm}$ og $c=5,5 \mathrm{cm}$.

Løsning

Vi bruker varianten av cosinussetningen med vinkel B og løser med GeoGebra.

$b^2=a^2+c^2-2ac·\cos B$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3.5^2=3.3^2+5.5^2-2·3.3·5.5·\cos \left(\mathrm{B}°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{B}=-37.26, \mathrm{B}=37.26\}\end{array}}$

$\angle B=37,3°$

Kommentar

Når vi bruker cosinussetningen til å finne vinkler, får vi alltid bare én løsning. Hvis vi bruker sinussetningen til å finne vinkler, får vi to løsninger, og vi må selv vurdere hvilke løsninger som passer i den aktuelle trekanten.

Vi lar først vinkel A være mindre enn 90 grader.

Vi har en trekant ABC der vi har markert høyden h (normalen) fra C ned på siden c (eller AB). Høyden h deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi bruker Pytagoras' læresetning på begge trekantene, først den til høyre.

$\begin{array}{rcl}{a}^2& = & h^2+(c-x{)}^2\\ & & \\ a^2& =& h^2+c^2-2cx+x^2\\ & & \\ a^2& =& h^2+x^2+c^2-2·c·x\end{array}$

Pytagoras' læresetning på den venstre trekanten gir

$h^2+x^2=b^2$

I tillegg har vi at $\cos A=\frac{x}{b}$, dvs. $x=b·\cos A$. Da får vi

$\begin{array}{rcl}{a}^2& = & b^2+c^2-2·c·b·\cos A\\ & & \\ a^2& =& b^2+c^2-2·b·c·\cos A\end{array}$

Vi lar så vinkel A være større enn 90 grader.

Vi bruker Pytagoras’ læresetning på den store, rettvinklede trekanten (hele figuren) med sider h, c + x og a.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& h^2+{\left(c+x\right)}^2\\ & & \begin{array}{c}\end{array}\\ a^2 & =& h^2+c^2+2cx+x^2\\ & & \begin{array}{c}\end{array}\\ a^2 & =& h^2+x^2+c^2+2·c·x\end{array}$

Så bruker vi Pytagoras' læresetning på den lille, rettvinklede trekanten (deler av figuren) med sider h, x og b. Da får vi

$h^2+x^2=b^2$

I tillegg har vi at

$\cos \left(180°-A\right)=\frac{x}{b}$

Her skulle vi helst ha hatt cosinus til A alene. Fra siden To vinkler – samme sinusverdi har vi at

$\begin{array}{rcl}\cos \left(180°-A\right)& = & -\cos A\\ & & \\ -\cos A& =& \frac{x}{b}\\ & & \\ x& =& -b·\cos A\end{array}$

Da får vi

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2+2c·\left(-b \cos A\right)\\ & & \\ a^2 & =& b^2+c^2-2bc \cos A\end{array}$

Til slutt lar vi vinkel A være lik 90 grader.

Da er $\cos A=0$, og vi får Pytagoras’ setning $a^2=b^{2 }+c^2$ både ut i fra cosinussetningen og figuren.

Vi skjønner da hvorfor cosinussetningen også kalles for den utvidede pytagoreiske setning.

Vi har dermed vist at cosinussetningen gjelder for alle trekanter.