Article

Sinus, cosinus og tangens til vinkler større enn 90°

Her innfører vi en ny definisjon av de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens som gjelder selv om vinklene blir større enn 90°.

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Vinkel v alene og vinkel v med motstående katet slik at hypotenusen blir 1. Illustrasjon. — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Vi starter med en vinkel $v$ som er mindre enn $90 °$ , slik som på figuren over. Vi oppretter så motstående katet, slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for $a$ og $b$ .

Vi får

\begin{array}{rcl} \sin v & = & \frac{Motstående katet}{Hypotenus} = \frac{b}{1} = b \\ \cos v & = & \frac{Hosliggende katet}{Hypotenus} = \frac{a}{1} = a \end{array}

Koordinatsystem med enhetssirkel med punkt P i første kvadrant slik at P får koordinatene cosinus v og sinus v der v er vinkelen mellom positiv x-akse og linjestykket fra origo til P. Illustrasjon. — Enhetssirkel med punkt 𝑃. Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs $x$ -aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen.

Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til 𝑣 for P.

Vi kaller videre koordinatene til punktet $P$ for $(a, b)$ .

Vi får da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, $\cos v = a$ og at sinus til 𝑣 blir lik andrekoordinaten til P, $\sin v = b$ .

Det betyr at $P = (\cos v, \sin v)$ .

Vi får også at $\tan v = \frac{b}{a} = \frac{\sin v}{\cos v} når \cos v \neq 0$ .

Ettersom avstanden fra origo til $P$ er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras' setning at kvadratet av $\sin v$ pluss kvadratet av $\cos v$ er lik 1.

${(\sin v)}^{2} + {(\cos v)}^{2} = 1$

Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel $v$ .

Enhetssirkelen. Illustrasjon. — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Plasser vinkel $v$ i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren.

La $P$ være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

Vi får

$\cos v$ = førstekoordinaten til P

$\sin v$ = andrekoordinaten til P

Vi får også at

$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} når \cos v \neq 0$

Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.

Prøv selv!

Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer hva som skjer.

Files

Enhetssirkel 180 grader(GGB)

Aktiviteter til den interaktive enhetssirkelen

Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.

Oppgave 1

Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier?

Løsning

Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 alltid er større enn eller lik null. Dette gjelder så lenge vinkelen 𝑣 er innenfor intervallet fra 0 grader til 180 grader.

Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 180 grader.

Matematisk:

$\sin v \geq 0 når 0 ° \leq v \leq 180 °$

$\cos v \geq 0 når 0 ° \leq v \leq 90 °$

$\cos v \leq 0 når 90 ° \leq v \leq 180 °$

Oppgave 2

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.

Løsning

$cos 120° = – 0,5$

Oppgave 3

Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?

Løsning

Ved å dra i glidebryteren får vi at

$\sin 30 ° = \sin 150 ° = 0, 5$

Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.

Dette kan du finne ut mer om i artikkelen To vinkler – samme sinusverdi.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0