Task

Sinussetningen

Oppgavene nedenfor kan løses med alle hjelpemidler dersom det ikke står noe annet. Husk at når du bruker sinussetningen til å regne ut en vinkel, får du to løsninger som begge må vurderes.

2.7.40

a) Figuren viser en trekant $A B C$ med sider $a, b$ og $c$ .

Trekant med hjørner stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at siden liten a er motstående side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon. — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Regn ut lengden av siden $a$ når $b = 3, 0 cm$ , $∠ A = 39 °$ og $∠ B = 59 °$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetningen.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{\sin (39 °)} = \frac{3.0}{\sin (59 °)} \\ 1 \\ NLøs : {a = 2.2} \end{array}$

$a = 2, 2 cm$

b) Figuren viser trekanten ABC med sider a, b og c.

Regn ut lengden av siden b når

$a = 8, 5 cm$ ,

$∠ A = 110, 5 °$ ,

$∠ B = 19, 8 °$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetningen.

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$

Løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{\sin (19.8 °)} = \frac{8.5}{\sin (110.5 °)} \\ 1 \\ NLøs : {b = 3.07} \end{array}$

$b = 3, 1 cm$

2.7.41

Trekant P S V der vinkel S er 48,0 grader, vinkel P er 21,5 grader og linje S V er 235 meter. Illustrasjon. — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Vi skal legge en strømkabel $S P$ langs gangveien på Sjøsanden. Figuren viser arbeidsområdet sett fra vannkanten $V$ . Regn ut lengden $S P$ når du får oppgitt at det er 235 meter mellom $S$ og $V$ .

vis fasit

Vi finner først vinkel $V$ : $∠ V = 180 ° - (21, 5 ° + 48 °) = 110, 5 °$

Så bruker vi sinussetningen.

$\frac{S P}{\sin V} = \frac{S V}{\sin P}$

Løser med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{SP}{\sin (110.5 °)} = \frac{235}{\sin (21.5 °)} \\ 1 \\ NLøs : {SP = 600.59} \end{array}$

$S P = 601 m$

2.7.42

Anniken tar seg en liten båttur en varm sommerdag. Hun går ut fra Dyrstad og legger kursen mot Færøy. Så bøyer hun av mot Ryvingen, deretter drar hun rett hjem. Se figuren.

Trekant med to oppgitte sider. Siden Færøy-Ryvingen er 635 meter og siden Dyrstad-Ryvingen er 1150 meter. Vinkel Færøy er 85,0 grader. Illustrasjon. — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Finn hvor lang båttur Anniken hadde denne dagen.

vis fasit

Først finner vi vinkel $D$ (Dyrstad). Da setter vi opp en likning med utgangspunkt i sinussetningen.

$\frac{F R}{\sin D} = \frac{D R}{\sin F}$

Løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{635}{\sin (D °)} = \frac{1150}{\sin (85.0 °)} \\ 1 \\ NLøs : {D = 33.37} \end{array}$

Det betyr altså at

$∠ D = 33, 4 °$

Så må vi sjekke supplementvinkelen.

$180 ° - 33, 4 ° = 146, 6 °$

Vinkel D kan ikke være 146,6 grader, for da blir vinkelsummen i trekanten over 180 grader. Vinkel D er derfor 33,4 grader.

Den siste vinkelen i trekanten blir da

$180 ° - 33, 4 ° - 85 ° = 61, 6 °$

Avstanden $D F$ fra Dyrstad til Færøy finner vi også ved å bruke sinussetningen.

$\frac{D F}{\sin R} = \frac{D R}{\sin F}$

Løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{DF}{\sin (61.6 °)} = \frac{1150}{\sin (85.0 °)} \\ 1 \\ NLøs : {DF = 1015.46} \end{array}$

$1 015 m + 635 m + 1 150 m = 2 800 m$

Det betyr at Annikens båttur var ca $2 800 m$ .

2.7.43

Du skal finne $∠ C$ i en trekant der $A B = 8, 0 cm, B C = 6, 0 cm$ og $∠ A = 30, 0 °$ .

Trekantfigur som viser at det er to mulige trekanter som oppfyller kravene til figuren. Illustrasjon. — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

a) Bruk figuren ovenfor og forklar at det er to trekanter som oppfyller kriteriene gitt i oppgaveteksten.

vis fasit

Tenk deg at du setter passeren i punkt $B$ og slår en sirkel med radius 6,0 cm. Du vil da skjære venstre vinkelbein til vinkel $A$ på to steder, nemlig i $C_{1}$ og $C_{2}$ .

Du får da to løsningstrekanter $A B C_{1}$ og $A B C_{2}$ .

b) Finn $∠ C_{1}$ og $∠ C_{2}$ i de to mulige trekantene.

vis fasit

Vi bruker sinussetningen.

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

Løser i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} \frac{8.0}{\sin (C °)} = \frac{6.0}{\sin (30.0 °)} \\ 1 \\ NLøs : C = 41.81 \end{array} \begin{array}{rcl} 180 - HøyreSide ($ 1) \\ 2 \\ \approx 138.19 \end{array}$

Her har vi brukt kommandoen "HøyreSide" for å referere til høyre side av likhetstegnet i svaret i linje 2 i stedet for å skrive inn tallsvaret 41,81 manuelt.

$∠ C_{1} = 41, 8 °$ og $∠ C_{2} = 138, 2 °$

Vi ser av figuren at vi her kan bruke begge løsningene.

Gitt en trekant $A B C$ der $A B = 8, 0 cm og ∠ A = 30, 0 °$ .

c) Finn lengden av $B C$ når $B C$ står vinkelrett på venstre vinkelbein til $∠ A$ .

vis fasit

Vinkel $C$ er da $90 °$ , og vi kan bruke definisjonen av sinus som gjelder for rettvinkla trekanter. Vi får

$\sin A = \frac{B C}{A B}$

og vi løser med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \sin (30 °) = \frac{BC}{8.0} \\ 1 \\ NLøs : {BC = 4} \end{array}$

$B C = 4, 0 cm$

Rettvinkla trekant der hjørnet C er den rette vinkelen. Illustrasjon — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

(Vi kunne også brukt direkte at den minste kateten er halvparten av hypotenusen i en 30-, 60-, 90- graders trekant.)

Lengden av $B C$ vil avgjøre hvor mange mulige trekanter vi kan få.

d) Finn hva lengden av $B C$ må være dersom det ikke skal være mulig å danne en trekant.

vis fasit

Dersom lengden $B C$ er kortere enn 4,0 cm vil vi ikke ha noen løsninger fordi $B C$ da ikke rekker opp til venstre vinkelbein til vinkel $A$ ).

e) Finn hva lengden av $B C$ må være dersom det skal være mulig å danne to trekanter.

vis fasit

Dersom vi skal ha to løsninger, må lengden $B C$ være større enn 4,0 cm og mindre enn lengden til $A B$ , dvs. 8,0 cm. Se figuren i oppgave c).

f) Finn hva lengden av $B C$ må være dersom det bare skal være mulig å danne én trekant.

vis fasit

Vi får én løsning når lengden $B C$ er lik eller større enn 8,0 cm og når lengden $B C$ akkurat er 4,0 cm.

2.7.44 (uten hjelpemidler)

Trekant der to vinkler er 30 grader og 45 grader og én side er 5. Illustrasjon. — Image: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Bestem sida $B C$ i trekanten på figuren når du får oppgitt at $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ og $\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetningen og får:

$\begin{array}{rcl} \frac{B C}{\sin 30 °} & = & \frac{A B}{\sin 45 °} \\ \frac{B C}{\frac{1}{2}} & = & \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ B C & = & \frac{5 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \end{array}$

2.7.45 (uten hjelpemidler)

I trekanten $A B C$ er $A C = 2, B C = 3$ og $\sin A = \frac{3}{4}$ .

Trekant der to sider er 2 og 3 og sinus til en av de to vinklene som ikke er mellomliggende vinkel til de to sidene er tre fjerdedeler. Illustrasjon. — Image: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

a) Bestem $\sin B$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetningen og får:

$\begin{array}{rcl} \frac{\sin B}{b} & = & \frac{\sin A}{a} \\ = & \frac{\frac{3}{4}}{3} \\ \sin B & = & \frac{\frac{3}{4} \cdot 2}{3} \\ = & \frac{1}{2} \end{array}$

I en rettvinklet trekant der de spisse vinklene er $30 °$ og $60 °$ , er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.

b) Bruk dette til å bestemme vinkel $B$ i trekanten i a).

vis fasit

I denne trekanten vil den motstående kateten til vinkelen på $30 °$ være den minste kateten. Siden sinus til en av de spisse vinklene i en rettvinkla trekant er motstående katet delt på hypotenus, får vi at $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ .

Da må også vinkel B i oppgave a) være 30 grader siden den har samme sinusverdi.

2.7.40

2.7.41

2.7.42

2.7.43

2.7.44 (uten hjelpemidler)

2.7.45 (uten hjelpemidler)

Rules for use of text "Sinussetningen"