Implikasjon, ekvivalens og noen matematiske bevistyper

Riktig (et kvadrat er alltid en firkant).

Feil. For at det skal være et kvadrat, må alle sidene være like lange, og vinklene må være 90 grader.

Riktig. I en rombe er kravet at alle sidene skal være like lange. Størrelsen på vinklene betyr ikke noe. Det vil si at et kvadrat også er en rombe.

Riktig. I et rektangel er kravet at to og to sider skal være like lange og vinklene skal være 90 grader. Det vil si at et kvadrat også er et rektangel.

Riktig. Summen av vinklene i en trekant er 180 grader.

Når den ene vinkelen er 90 grader, må summen av de to andre være lik 90 grader, og hver av dem må være mindre enn 90 grader.

Feil. Vinklene i et kvadrat må være 90 grader.

Feil. Det kan regne i Norge uten at det regner i Bergen.

Riktig.

Riktig.

Riktig.

Feil. $x^2=4$ kan også ha løsningen $x=2$.

Et oddetall kan skrives som $2k+1$. Finn et uttrykk for neste oddetall, og summer disse to oddetallene.

Bevis:

Et tilfeldig oddetall kan skrives som $2k+1$ der$k$er et helt tall.
Det påfølgende oddetall må da ha en verdi som er 2 større, altså$\left(2k+1\right)+2$.

Summen av disse tallene blir da $2k+1+\left(2k+1\right)+2 = 4k+4 = 4\left(k+1\right)$

Siden 4 er faktor i summen, må summen av tallene kunne deles med 4. Q.e.d.

(Q.e.d. er en forkortelse for det latinske uttrykket "quod erat demonstrandum", som betyr "hvilket skulle bevises".)

Bevis:

Et tilfeldig partall kan skrives som $2k$ der $k$ er et helt tall. Det påfølgende partallet må da ha en verdi som er 2 større, altså$2k+2$.

Det neste blir $2k+2+2$, og det fjerde påfølgende partallet blir $2k+2+2+2$.

Summen av disse tallene blir da

$\begin{array}{rcl}2k+\left(2k+2\right)+\left(2k+2+2\right)& & \\ +\left(2k+2+2+2\right)& =& 8k+12\\ & =& 4\left(2k+3\right)\end{array}$

Siden 4 er faktor i summen, må summen av tallene kunne deles med 4.

Q.e.d.

Bevis:

Et tilfeldig rasjonalt tall kan skrives som$\frac{m}{n}$der $m$ og $n$ er hele tall.

Et annet tilfeldig rasjonalt tall kan skrives som$\frac{p}{q}$der $p$ og $q$ er hele tall.

Summen av disse tallene kan vi skrive som

$\frac{m}{n}+\frac{p}{q} = \frac{m·q}{n·q}+\frac{p·n}{q·n} = \frac{m·q+p·n}{n·q}$

Når vi multipliserer to hele tall med hverandre, får vi et nytt helt tall. Når vi adderer to hele tall med hverandre, får vi et nytt helt tall. Dette må bety at både telleren og nevneren i den nye brøken blir hele tall. Summen av de to rasjonale tallene blir dermed et rasjonalt tall.

Bevis:

$$ \begin{array}{rcl} n \text{er et oddetall.} & \Rightarrow & n = 2t+1 \text{der} t \text{er et helt tall.}\\ & & \\ & \Downarrow & \\ n^2-1 & =& {\left(2t+1\right)}^2-1\\ & =& 4t^2+4t+1-1\\ & =& 4\left(t^2+t\right)\end{array}$$

Tallet 4 er dermed en faktor i $n^2-1$, og følgelig er $n^2-1$ delelig med 4.

Bevis:

Anta at det første tallet er et partall. Et tilfeldig partall kan skrives som$2k$ der$k$er et helt tall. Det påfølgende tallet blir da $2k+1$.

Produktet blir $2k\left(2k+1\right) = 4k^2+2k = 2\left(2k^2+k\right)$.

2 er en faktor i produktet, og følgelig er produktet et partall.

Hvis det første tallet er et oddetall, kan det skrives som $2k+1$ der $k$ er et helt tall. Det påfølgende tallet blir $2k+2$.

Produktet blir $\left(2k+1\right)\left(2k+2\right) = 4k^2+6k+2 = 2\left(2k^2+3k+1\right)$.

2 er en faktor i produktet, og følgelig er også her produktet et partall.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{3-x} & =& 1\\ & \Downarrow & \\ 3-x & =& 1\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 2\end{array}$

Vi setter prøve på svaret:

Venstre side: $\sqrt{3-x} =\sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$
Høyre side: 1

$x = 2$ er en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{3x-2} & =& 4\\ & \Downarrow & \\ 3x-2 & =& 16\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 6\end{array}$

Vi setter prøve på svaret:

Venstre side: $\sqrt{3x-2} =\sqrt{3·6-2} = \sqrt{16} = 4$
Høyre side: 4

$x = 6$ er en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl}-2 & =& \sqrt{x-1}\\ & \Downarrow & \\ 4 & =& x-1\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 5\end{array}$

Vi setter prøve på svaret:

Venstre side: $-2$
Høyre side: $\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$

$x = 5$ er ikke en løsning av likningen.

(Kommentar: Går det an å se direkte at likningen ikke har løsning?)

$\begin{array}{rcl}x-2 & =& \sqrt{x-2} \\ & \Downarrow & \\ x^2-4x+4 & =& x-2\\ x^2-5 x+6 & =& 0 \\ x & =& 2 \vee x = 3\end{array}$

Vi setter prøve på svaret $x = 2$.

Venstre side: $2-2 = 0$
Høyre side: $\sqrt{2-2} = 0$

$x = 2$ er en løsning av likningen.

Vi setter prøve på svaret $x = 3$.

Venstre side: $3-2 = 1$
Høyre side: $\sqrt{3-2} = 1$

$x = 3$ er også en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x+4}+x & =& 2 \\ \sqrt{2x+4} & =& 2-x\\ & \Downarrow & \\ 2x+4 & =& 4-4x+x^2\\ x^2-6 x & =& 0 \\ x\left(x-6\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 6\end{array}$

Vi setter prøve på svaret $x = 0$.

Venstre side: $\sqrt{2·0+4}+0 =2$
Høyre side: $2$

$x = 0$ er en løsning av likningen.

Vi setter prøve på svaret $x = 6$.

Venstre side: $\sqrt{2·6+4}+6 = \sqrt{16}+6 = 10$
Høyre side: $2$

$x = 6$ er ikke en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl} x+\sqrt{4-4x} & =& 2\\ \sqrt{4-4x} & =& 2-x\\ & \Downarrow & \\ 4-4x & =& 4-4x+x^2\\ x^2 & =& 0\\ x & =& 0\end{array}$

Vi setter prøve på svaret $x = 0$.

Venstre side: $0+\sqrt{4-4·0} = 2$
Høyre side: $2$

$x = 0$ er en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{4x+4}- x & =& -2 \\ \sqrt{4x+4} & =& x-2 \\ & \Downarrow & \\ 4x+4 & =& x^2-4x+4\\ x^2-8x & =& 0\\ x\left(x-8\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 8\end{array}$

Vi setter prøve på svaret $x = 0$.

Venstre side: $\sqrt{4·0+4}- 0 = 2$
Høyre side: $-2$

$x = 0$ er ikke en løsning av likningen.

Vi setter prøve på svaret $x = 8$.

Venstre side: $\sqrt{4·8+4}- 8 = 6-8 = -2$
Høyre side: $-2$

$x = 8$ er en løsning av likningen.

Kontrapositiv påstand: Det er riktig å si at jeg bestod eksamen.

Kontrapositiv påstand: De som har spilt fotball selv, liker å se en fotballkamp.

Bevis:

Den kontrapositive påstanden blir:

$\begin{array}{rcl} n \text{er ikke et oddetall} & \Rightarrow & n^2 \text{er ikke et oddetall}\\ & \Updownarrow & \\ n \text{er et partall} & \Rightarrow & n^2 \text{er et partall}\end{array}$

Vi setter $n = 2t t\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Da er$n^2 = 4t^2 = 2·\left(2t^2\right)$som må være et partall.

Da er den kontrapositive påstanden bevist og dermed er den opprinnelige påstanden bevist.

Bevis:
$$ \begin{array}{rcl}& & n \text{er et oddetall.}\\ & \Downarrow & \\ n & =& 2t+1 t\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& {\left(2t+1\right)}^2\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& 4t^2+4t+1\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& 4\left(t^2+t\right)+1\end{array}$$

Siden 4 er en faktor i $$ 4\left(t^2+t\right),$$ er dette leddet et partall.

Følgelig er$n^2 = 4\left(t^2+1\right)+1$et oddetall.

Bevis:

Vi fører først et direkte bevis for påstanden$$ n \text{er et partall.} \Rightarrow n^2 \text{er et partall. }$$

Anta at$n$er et partall. Vi kan da skrive

$$ \begin{array}{rcl} n & =& 2t t\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& {\left(2t\right)}^2 = 4t^2 =2·\left(2t^2\right) \Rightarrow n^2 \text{er et partall}. Q.e.d.\end{array}$$

Vi fører så et kontrapositivt bevis for påstanden:

$n^2$ er et partall. $\Rightarrow n$ er et partall.

Kontrapositiv påstand:

$n$ er et oddetall. $\Rightarrow n^2$ er et oddetall.

Anta at $n$ er et oddetall. Da kan vi sette$n = 2t+1, t\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$\begin{array}{rcl}n & =& 2t+1 , t\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& {\left(2t+1\right)}^2\\ & =& 4t^2+4t+1\\ & =& 2\left(2t^2+2t\right)+1\\ & =& 2k+1 , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Dermed blir $n^2$ et oddetall.

Q.e.d.

Bevis:

En rombe er en firkant som ikke er et rektangel.

Påstanden er ikke riktig.

NB: Vi kan motbevise en påstand med et eksempel, men vi kan aldri bevise en påstand med et eksempel (ikke med to eller flere eksempler heller).

${\left(-6\right)}^2 = 36 > 25 og -6 < 5$

Påstanden er ikke riktig.

$$\begin{gathered} x = -3 , y = -2 \Rightarrow x < y \\ \left.\begin{array}{r} x^2 = {\left(-3\right)}^2 = 9 \\ y^2 = {\left(-2\right)}^2 = 4 \end{array}\right\}\Rightarrow x^2 > y^2 \end{gathered}$$

Påstanden kan ikke være riktig.

$$\begin{gathered} x^2 = 4 , y^2 = 9 \Rightarrow x^2 < y^2 \\ \left.\begin{array}{r} x = 2 \\ y = -3\end{array}\right\}\Rightarrow x > y \end{gathered}$$

Påstanden kan ikke være riktig.

$$\begin{gathered} x^2 = 4 , y^2 = 4 \Rightarrow x^2 = y^2 \\ \left.\begin{array}{r} x = 2 \\ y =-2 \end{array}\right\}\Rightarrow x^2 = y^2, \text{men} x \ne y \end{gathered}$$

Påstanden kan ikke være riktig.

Dette må du bare finne ut av selv!

Dette må du finne ut av selv!