Article

Noen matematiske bevistyper

I matematikken har vi en rekke påstander eller setninger. Et eksempel er setningen som sier at summen av vinklene i en trekant er 180 grader. Vi godtar ikke slike påstander uten videre. Vi krever bevis. Vi skal nå se på noen måter å føre matematiske bevis på.

Direkte bevis

Dette er den mest vanlige formen for bevisførsel, og det er egentlig dette vi gjør når vi for eksempel løser likninger.

Eksempel 1

Vi sier: Løs likningen

$2 x + 4 = 6$

Vi kunne like gjerne sagt: Bevis påstanden

$2 x + 4 = 6 \Rightarrow x = 1$

Det vi gjør, er å løse likningen på vanlig måte. Vi antar at noe er sant og trekker logiske slutninger fram til konklusjonen. Vi bruker implikasjonstegnet for å vise at vi trekker en logisk slutning. Løsning av en likning kunne vi ført på følgende måte

$\begin{array}{ccccl} 2 x & + & 4 & = & 6 \\ ⇓ \\ 2 x & = & 6 - 4 \\ ⇓ \\ 2 x & = & 2 \\ ⇓ \\ x & = & 1 \end{array}$

I dette tilfellet har vi også ekvivalens hele veien. Det betyr at den motsatte implikasjonen også gjelder: $x = 1 \Rightarrow 2 x + 4 = 6$ . Det vil si at $x = 1$ er en løsning på likningen.

Vi kunne altså like gjerne skrevet

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 6 \\ ⇕ \\ 2 x & = & 6 - 4 \\ ⇕ \\ 2 x & = & 2 \\ ⇕ \\ x & = & 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array}$

Eksempel 2

En setning i matematikken sier at for et naturlig tall n gjelder

$n er et partall \Rightarrow n^{2} er delelig med 4$

Et direkte bevis for denne påstanden kan føres slik

$\begin{array}{rclll} n er & et & partall \\ ⇓ & Vi kan skrive n som 2 t hvor t er et \\ n & = & 2 t & helt tall fordi 2 er en faktor i alle partall \\ ⇓ \\ n^{2} & = & 4 t^{2} & 4 er en faktor i n^{2} . \\ Det må bety at n^{2} er delelig med 4 . \end{array}$

I dette beviset brukte vi at ethvert partall kan skrives som $2 t$ hvor $t$ er et helt tall. Tilsvarende kan ethvert oddetall skrives som $2 t + 1$ eller $2 t - 1$ . Se nedenfor.

Partall og oddetall
Et helt tall $n$ er partall hvis og bare hvis det finnes et helt tall $t$ slik at $n = 2 t$ .

Et helt tall $n$ er oddetall hvis og bare hvis det finnes et helt tall $t$ slik at
$n = 2 t + 1$ eller $n = 2 t - 1$ .

Eksempel 3

Det kan ofte være lett å trekke gale slutninger. Det gjelder for eksempel når vi løser irrasjonale likninger.

Likninger hvor den ukjente befinner seg under ett eller flere rottegn, kalles irrasjonale likninger.

Gitt likningen

$\sqrt{x + 1} = - 3$

For å løse slike likninger må vi kvadrere på begge sider av likhetstegnet

${(\sqrt{x + 1})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & 9 \\ x & = & 8 \end{array}$

Hvis vi nå setter prøve, får vi

Venstre side: $\sqrt{x + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$
Høyre side: $- 3$

Vi ser at $x = 8$ ikke er en løsning av likningen. Hvordan kan det henge sammen?

Forklaring

Alle er enige om at

$- 5 \neq 5$

Men samtidig er

${(- 5)}^{2} = 5^{2}$

Vi ser altså at når vi kvadrerer tall som er forskjellige, kan kvadratene bli like. Men ${(- 5)}^{2} = 5^{2}$ medfører ikke at $- 5 = 5$ .

Med implikasjons- og ekvivalenstegn ser vi at problemet er at vi ikke har ekvivalens når vi kvadrerer.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 1} & = & - 3 \\ ⇓ \\ (\sqrt{x + 1})^{2} & = & (- 3)^{2} \\ ⇕ \\ x + 1 & = & 9 \\ ⇕ \\ x & = & 8 \end{array}$

Eksempelet viser at det kan være viktig å være klar over når vi har implikasjon, og når vi har ekvivalens.

Når vi løser irrasjonale likninger, har vi bare implikasjon når vi kvadrerer. Kvadreringen kan føre til at vi får en falsk løsning. Du må derfor alltid sette prøve på svaret når du løser irrasjonale likninger.

Brannsupportere på tribune. Foto. — «Alle bergensere heier på Brann» eller «Ingen som ikke heier på Brann, er bergensere» …? Image: Svein Ove Ekornesvåg / CC BY-NC-SA 4.0

Kontrapositive bevis

Påstand 1
Alle bergensere heier på Brann.

På «matematikkspråket» kan vi skrive dette som

Per er bergenser $\Rightarrow$ Per heier på Brann

Påstand 2
Ingen som ikke heier på Brann, er bergensere.

På «matematikkspråket»

Per heier ikke på Brann $\Rightarrow$ Per er ikke bergenser

Hva er forskjellen på påstand 1 og påstand 2?

La oss gå ut fra at påstand 1 er riktig, og at påstand 2 er gal.

At påstand 2 er gal, betyr at Per kan være bergenser selv om han ikke heier på Brann (rød pil på figuren nedenfor), men ifølge påstand 1 heier han da på Brann, og vi har en selvmotsigelse. (Enten heier man på Brann eller så gjør man det ikke.)

Påstand 2 kan altså ikke være gal hvis påstand 1 er riktig. Tilsvarende kan vi vise at påstand 1 ikke kan være gal hvis påstand 2 er riktig. Det er altså ingen forskjell på påstand 1 og påstand 2.
Vi sier at påstand 1 og påstand 2 er kontrapositive påstander.

I noen tilfeller er det vanskelig å føre et direkte bevis for en påstand, mens det derimot kan være mye enklere å føre et bevis for den kontrapositive påstanden.

Vi kan generalisere eksempelet ovenfor ved å kalle setningen «Per er bergenser» for $p$ , og setningen «Per heier på Brann» for $q$ . Da kan vi på logikkspråket kalle setningen «Per er ikke bergenser» for "ikke $p$ ", og «Per heier ikke på Brann» for "ikke $q$ ".

Vi har da vist følgende:

Vi vil bevise påstanden

$p \Rightarrow q$

Dette er det samme som å bevise at

$ikke q \Rightarrow ikke p$

Eksempel

Vi skal bevise at

$n^{2} er partall \Rightarrow n er partall$

Det kan vi gjøre ved å vise at

$n er ikke partall \Rightarrow n^{2} er ikke partall$

Bevis

$\begin{matrix} n er ikke partall \\ ⇓ \\ n er oddetall \\ ⇓ \\ n = 2 t + 1 (t er et helt tall) \\ ⇓ \\ n^{2} = 4 t^{2} + 4 t + 1 = 2 (2 t^{2} + 2 t) + 1 \end{matrix}$

Det siste uttrykket må være et oddetall.
Altså er $n^{2}$ ikke partall, og setningen er bevist.

Bevis med moteksempel

Påstand
«Ingen elever i min klasse bruker briller.»

Vi kan bevise at denne påstanden er gal, hvis vi kan finne en elev i klassen som bruker briller.

Merk!

Vi kan motbevise en påstand med et moteksempel.

Vi kan aldri bevise en påstand med et eksempel.