Den deriverte

På figuren har vi tegnet grafen til funksjonen $$ f$$ (blå kurve). Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen $f$ i punktet $A\left(x, f\left(x\right)\right)$.

Vi gir $x$ et tillegg $\mathrm{\Delta }x$ og får et nytt punkt $B$ på grafen:

$B\left(x+\mathrm{\Delta }x, f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)\right)$

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene $A$ og $B$.

Vi regner ut stigningstallet $$ a$$ til denne linja.

$a=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-x}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}$

Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra $A$ til $B$.

Prøv selv

Vi lar nå punktet $B$ nærme seg punktet $A$. Vi lar altså $\mathrm{\Delta }x$ gå mot null. På den interaktive figuren nedenfor kan du dra i punktet $$ B$$. Hva skjer når du drar punktet mot punktet $$ A$$?

Når punktet $$ B$$ dras mot punktet $$ A$$, vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til grafen i punktet $A$.

Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet $$ A$$. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane vekstfarten eller den deriverte til $f$ i punktet A. Vi skriver $f^{\text{'}}\left(x\right)$ og leser det som "f derivert av x". Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på $f$: $f^{\text{'}}$.

Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt $(x, f(x\left)\right)$ kan vi definere en ny funksjon $f^{\text{'}}$ der vi til hver $x$ tilordner verdien $f^{\text{'}}\left(x\right)$. På denne måten har funksjonen $f$ generert en ny funksjon $f^{\text{'}}$. Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen.