Fagartikkel

Integrasjon ved delbrøkoppspalting

Integrasjon ved delbrøkoppspalting er en metode som kan gjøre det mulig å integrere rasjonale uttrykk der nevneren er en polynomfunksjon som kan skrives som et produkt av førstegradsfaktorer.

Vi har tidligere sett hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren enten er en potensfunksjon eller en polynomfunksjon av første grad.

Vi skal gjennom et eksempel se hvordan vi kan integrere et brøkuttrykk der nevneren er en polynomfunksjon av høyere grad. Metoden forutsetter at vi kan skrive nevneren som et produkt av ulike førstegradsuttrykk.

Eksempel

Vi skal beregne $\begin{matrix} \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x \end{matrix}$ .

Vi kan faktorisere nevneren til $(x - 2) (x + 2)$ og kan da skrive

$\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$

Vi gjør altså det motsatte av å sette to brøker på felles brøkstrek, vi splitter opp en brøk i to brøker.

Hvorfor setter vi $A$ og $B$ som tellere i de nye brøkene?

Svar

Utgangspunktet er en brøk med teller lik 1. Når vi splitter opp brøkene, vet vi etter faktorisering hva nevnerne blir, men vi vet ikke hva tellerne blir. Vi angir derfor de nye tellerne som to konstanter, $A$ og $B$ . $A$ og $B$ er tilfeldig valgte navn, men de er vanlige å bruke i denne sammenhengen.

Ved delbrøkoppspalting får vi altså brøker av typen $\frac{A}{x + b}$ , der $A$ og $b$ er konstanter. Har vi en kjent metode for å integrere en brøk av denne typen?

Svar

Vi har at $\frac{A}{x + b} = A \cdot \frac{1}{x + b}$ .

I artikkelen "Integrasjon ved variabelskifte" fant vi en integrasjonsregel for $\begin{matrix} \int \frac{1}{a x + b} d x \end{matrix}$ som sier at

$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C$

En av de grunnleggende integrasjonsreglene er at en konstant multiplisert med en funksjon kan omskrives slik:

$\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$

Vi ser at vårt uttrykk er av typen $k \cdot f (x)$ , der $k = A$ . Vi har videre at $f (x) = \frac{1}{a x + b}$ der $a = 1$ .

Dette gir

$\int \frac{A}{x + b} d x = A \int \frac{1}{x + b} d x = A \cdot \ln |x + b| + C$

Vi har altså følgende utgangspunkt:

$\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$

Nå gjelder det å finne koeffisientene $A$ og $B$ . Det gjør vi ved å multiplisere med felles nevner:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{x^{2} - 4} & = & \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} | \cdot (x - 2) (x + 2) \\ 1 & = & A (x + 2) + B (x - 2) \\ 1 & = & A x + 2 A + B x - 2 B \\ 1 & = & (A + B) x + 2 A - 2 B \end{array}$

Vi setter ut fra dette at $(A + B) = 0$ . Hvorfor kan vi påstå dette?

Svar

Hvis vi har en likning, vil vi kunne lage nye likninger ved å sette ledd eller uttrykk som inneholder $x$ på venstre side, lik ledd eller uttrykk som inneholder $x$ på høyre side.

Høyre side i uttrykket $(A + B) x + 2 A - 2 B = 1$ har ikke noe ledd med $x$ , så hvis vi skulle ha satt inn et $x$ -ledd uten å endre uttrykket, måtte koeffisienten foran dette $x$ -leddet være $0$ . Vi kan med andre ord skrive likningen som

$(A + B) x + 2 A - 2 B = 0 x + 1$ .

Det betyr at vi kan lage en ny likning ved å sette faktoren med $x$ på venstre side lik faktoren med $x$ på høyre side, og vi får

$\begin{array}{rcl} (A + B) x & = & 0 x \\ A + B & = & 0 \end{array}$

Vi setter så at $\begin{array}{rcl} (2 A - 2 B) & = & 1 \end{array}$ . Hvorfor gjelder denne sammenhengen?

Svar

Hvis vi har en likning, vil vi kunne lage en ny likning ved å sette konstantledd på den ene siden lik konstantledd på den andre siden.

Høyre side i uttrykket $(A + B) x + 2 A - 2 B = 1$ inneholder konstantleddene $2 A - 2 B$ , mens venstre side inneholder konstantleddet $1$ . Vi kan derfor lage en ny likning, $\begin{array}{rcl} (2 A - 2 B) & = & 1 \end{array}$ .

Vi har nå to likninger med to ukjente og finner

$\begin{array}{rclcccrcl} A + B & = & 0 & \land & 2 A - 2 B & = & 1 \\ A & = & - B & \land & 2 (- B) - 2 B & = & 1 \\ A & = & - B & \land & - 4 B & = & 1 \\ A & = & \frac{1}{4} & \land & B & = & - \frac{1}{4} \end{array}$

Vi setter verdiene for $A$ og $B$ inn i det opprinnelige integralet og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x & = & \int (\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}) d x \\ = & A \int \frac{1}{x - 2} d x + B \int \frac{1}{x + 2} d x \\ = & \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x \\ = & \frac{1}{4} \ln |x - 2| - \frac{1}{4} \ln |x + 2| + C \\ = & \frac{1}{4} \ln |\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{array}$

I siste linje i utregningen har vi forenklet ved å bruke andre logaritmesetning som sier at $\lg (\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b$ .

Delbrøkoppspalting forutsetter at nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk. En annen forutsetning er at telleren må være av lavere grad enn nevneren. Hva er årsaken til dette?

Svar

Hvis nevneren er av andre grad og faktoriseres til faktorer av første grad, vil konstantene $A$ og $B$ i de to nye delbrøkene bli multiplisert med hver sin parentes der innholdet er av første grad når vi forkorter bort nevnerne. Det nye uttrykket vil bestå av ledd av første grad samt konstantledd. Dette gjør at den opprinnelige telleren må være av første grad eller lavere for at vi skal få et resultat når vi setter disse to lik hverandre for å finne $A$ og $B$ .

Delbrøkoppspalting med polynomdivisjon

Hvordan kan vi omforme en brøk der telleren er av samme grad som nevneren til et uttrykk vi kan integrere med de metodene vi kjenner til nå?

Svar

Hvis telleren er av samme grad som nevneren, kan vi utføre polynomdivisjon for å få et flerleddet uttrykk, der ett av leddene vil være en brøk med teller av lavere grad enn nevneren. Denne brøken vil kunne spaltes i delbrøker.

Denne metoden kan også brukes hvis telleren er av høyere grad enn nevneren. Et slikt uttrykk kan vi ha mulighet til å integrere med de metodene vi kjenner til nå.

Eksempel

Vi skal finne $\begin{matrix} \int \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 9} d x \end{matrix}$ .

Vi ser at telleren har samme grad som nevneren og starter derfor med å utføre en polynomdivisjon.

$x^{2} + 2 x + 1 : x^{2} - 9 = 1 + \frac{2 x + 10}{x^{2} - 9}$

Vi kan nå omskrive integralet slik:

$\int (1 + \frac{2 x + 10}{x^{2} - 9}) d x$

Vi omformer brøken $\frac{2 x + 10}{x^{2} - 9}$ ved delbrøkoppspalting:

$\frac{2 x + 10}{x^{2} - 9} = \frac{2 x + 10}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3} = \frac{A (x - 3) + B (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Vi får da følgende sammenheng mellom tellerne:

$\begin{array}{rcl} A (x - 3) + B (x + 3) & = & 2 x + 10 \\ A x - 3 A + B x + 3 B & = & 2 x + 10 \\ (A + B) x - 3 A + 3 B & = & 2 x + 10 \end{array}$

Vi setter opp to likninger med to ukjente:

$\begin{aligned} A + B & = & 2 & \land & - 3 A + 3 B & = & 10 \\ A & = & 2 - B & \land & - 3 (2 - B) - 2 B & = & 1 \\ A & = & 2 - B & \land & B & = & \frac{8}{3} \\ A & = & 2 - \frac{8}{3} & \land & B & = & \frac{8}{3} \\ A & = & - \frac{2}{3} & \land & B & = & \frac{8}{3} \end{aligned}$

Vi setter verdiene for $A$ og $B$ inn i det opprinnelige integralet og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{2 x + 10}{(x + 3) (x - 3)} d x & = & \int (1 - \frac{\frac{2}{3}}{x + 3} + \frac{\frac{8}{3}}{x - 3}) d x \\ = & \begin{array}{cl} \int 1 d x & - \frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 3} d x + \frac{8}{3} \int \frac{1}{x - 3} d x \end{array} \\ = & x - \frac{2}{3} \ln |x + 3| + \frac{8}{3} \ln |x - 3| + C \end{array}$

Integrasjon ved delbrøkoppspalting

$\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x$

Vi forutsetter at polynomet $P$ har lavere grad enn polynomet $Q$ , og at $Q$ kan faktoriseres på formen

$Q (x) = (x - c_{1}) (x - c_{2}) \dots (x - c_{n}) .$

Vi omskriver brøken:

$\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(x - x_{1})} + \frac{A_{2}}{(x - x_{2})} + \dots + \frac{A n}{(x - x_{n})}$

$A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ er konstanter.

Vi multipliserer med felles nevner, $Q (x)$ , og bruker den nye likningen til å finne verdiene til $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ .

Vi fullfører integrasjonen:

$\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x = \int \frac{A_{1}}{(x - x_{1})} d x + \int \frac{A_{2}}{(x - x_{2})} d x + \dots + \int \frac{A n}{(x - x_{n})} d x$

Dersom polynomet $P$ har høyere grad enn polynomet $Q$ , utføres polynomdivisjon.

Film om delbrøkoppspalting

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Relatert innhold

Fagstoff

Grunnleggende regneregler for integrasjon

Her setter vi opp de grunnleggende integrasjonsreglene.

Fagstoff

Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynomer

Her viser vi hvordan vi gjør polynomdivisjon, som er tilsvarende som divisjon med tall.