Integrasjon ved variabelskifte

Når vi integrerer med variabelskifte, bruker vi kjerneregelen for derivasjon "baklengs".

For å kunne bruke denne metoden innfører vi en ny skrivemåte for den deriverte, der vi bruker differensialene $$ dy$$ og $$ dx$$.

Gjennomsnittlig vekstfart fra ett punkt på en graf til et annet punkt på grafen, er definert som $$ \frac{∆y}{∆x}$$, der $$ ∆x$$ er liten endring i $$ x$$-retning som medfører en endring $$ ∆y$$ i $$ y$$-retning. Se figuren nedenfor.

Den deriverte til en funksjon $$ y=f\left(x\right)$$ i et punkt er definert som den verdien den gjennomsnittlige vekstfarten går mot når $$ ∆x$$ går mot null:

$$ y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆y}{∆x} $$

Den deriverte til en funksjon i et punkt kan ut fra dette defineres som den momentane vekstfarten i punktet, eller stigningstallet til tangenten til grafen i punktet.

Differensialet $dx$ er ut fra dette en liten endring i $$ x$$-retningen, mens differensialet $$ dy $$til funksjonen $$ y=f\left(x\right) $$er hvor mye stigningen til tangenten i punktet $$ x$$ endres med en liten forandring $$ ∆x$$. (Husk at $$ ∆y$$ er tilsvarende endring for funksjonen, mens både den deriverte og funksjonen endres i $$ x$$-retning med $$ dx=∆x$$.) Se figuren.

Dette betyr at den deriverte, som er stigningstallet til tangenten, nå kan skrives som

$$ y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}$$

Det er vanlig å bruke variabelen $$ u$$ på uttrykket vi bytter ut (substituerer). Derfor har vi at

$$ u^{\text{'}}=\frac{du}{dx}$$

Vi kan si at $$ \frac{du}{dx}$$ angir den deriverte av $$ u$$ med hensyn på $$ x$$. Dette kan omformes til

$$ dx=\frac{du}{u^{\text{'}}}$$

I det videre arbeidet skal vi behandle differensialene $$ du$$ og $dx$ som størrelser vi kan behandle algebraisk, det vil si bruke i beregninger.

Integrasjon ved variabelskifte går ut på å omforme integranden, som er en funksjon av $$ x$$, til en funksjon av $$ u$$, ved å sette en del av funksjonen lik $$ u$$. Det som er viktig når vi skal velge hva $$ u$$ skal være, er at den deriverte av $$ u$$ må være slik at den kan forkorte bort det som er igjen av $$ x$$ i uttrykket. Faktoren som settes lik $$ u$$, vil ofte være faktoren med høyest grad, og den kan for eksempel være innholdet i en parentes, en eksponent, radikanden (det som står under et rottegn) eller nevneren i en brøk, og $$ u$$ angis ofte som "kjernen".

For å se hvordan dette blir tar vi utgangspunkt i følgende ubestemte integral:

$$ \int 2x·\sin \left(x^2+1\right) dx$$

Vi ser at integranden er et produkt av to faktorer, $2x$ og $\sin \left(x^2+1\right)$. Hvordan blir integralet hvis vi velger kjernen som $u=x^2+1$?

Hva blir den deriverte av kjernen $u=x^2+1$ ?

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}u & =& x^2+1\\ \frac{du}{dx} & =& 2x\\ dx & =& \frac{du}{2x}\end{array}$$

Er det mulig å forkorte bort $$ x$$ og utføre integrasjonen hvis vi erstatter $dx$ med $\frac{du}{2x}$ ?

Det at den deriverte av $x^2+1$ er $2x$, gjør at variabelen $x$ "forsvinner" i integranden, slik at integranden bare inneholder variabelen $u$. Dette er selve "nøkkelen" med metoden.

$\int \frac{3x+6}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx$

Vi setter radikanden lik $$ u$$, som gir $u=x^2+4x+5$.

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}{u}^{\text{'}}& = & \frac{du}{dx}=2x+4=2\left(x+2\right)\\ & & \\ dx& =& \frac{du}{2\left(x+2\right)}\end{array}$$

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{3x+6}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx& = & \int \frac{3\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx\\ & & \\ & =& \int \frac{3\cancel{\left(x+2\right)}}{\sqrt{u}}·\frac{du}{2\cancel{\left(x+2\right)}}\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du\end{array}$$

Her er ikke den deriverte til kjernen nøyaktig lik $3x+6$, men begge uttrykkene inneholder faktoren $$ x+2 $$. Denne kan forkortes vekk, og dermed "forsvinner" variabelen $x$ i integranden, slik poenget med metoden er.

Vi antideriverer og finner

$\begin{array}{rcl}\frac{3}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du& = & \frac{3}{2}\int u^{-\frac{1}{2}} du\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}·\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}·u^{-\frac{1}{2}+1}+C\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}·2·\sqrt{u}+C\\ & & \\ & =& 3\sqrt{x^2+4x+5}+C\end{array}$

Vi kan bruke variabelskifte sammen med regelen om at $$ \begin{array}{c}\int \frac{1}{x} dx=\ln \left|x\right| , x\ne 0\end{array}$$ til å finne en integrasjonsregel for $$ \begin{array}{c}\int \frac{1}{ax+b} dx\end{array}$$, der $a$ og $b$ er konstante tall.

$$ \int \frac{1}{ax+b} dx$$

$u=ax+b$

$$ \frac{du}{dx}=a$$, og dette gir $dx=\frac{du}{a}$.

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$, og vi kan nå utføre integrasjonen:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{1}{ax+b} dx& = & \int \frac{1}{u} \frac{du}{a}\\ & & \\ & =& \int \frac{1}{u}·\frac{1}{\cancel{a}}du\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\int \frac{1}{u} du\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\ln \left|u\right|+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+C\end{array}$$