For å kunne bruke denne metoden innfører vi en ny skrivemåte for den deriverte, der vi bruker differensialene dy og dx.
Gjennomsnittlig vekstfart fra ett punkt på en graf til et annet punkt på grafen, er definert som ∆y∆x, der ∆x er liten endring i x-retning som medfører en endring ∆y i y-retning. Se figuren nedenfor.
Den deriverte til en funksjon y=f(x) i et punkt er definert som den verdien den gjennomsnittlige vekstfarten går mot når ∆x går mot null:
y'=f'x=lim∆x→0∆y∆x
Den deriverte til en funksjon i et punkt kan ut fra dette defineres som den momentane vekstfarten i punktet, eller stigningstallet til tangenten til grafen i punktet.
Differensialetdx er ut fra dette en liten endring i x-retningen, mens differensialet dytil funksjonen y=fxer hvor mye stigningen til tangenten i punktet x endres med en liten forandring ∆x. (Husk at ∆y er tilsvarende endring for funksjonen,mens både den deriverte og funksjonen endres i x-retning med dx=∆x.) Se figuren.
Dette betyr at den deriverte, som er stigningstallet til tangenten, nå kan skrives som
y'=f'x=dydx
Det er vanlig å bruke variabelen u på uttrykket vi bytter ut (substituerer). Derfor har vi at
u'=dudx
Vi kan si at dudx angir den deriverte av u med hensyn på x. Dette kan omformes til
dx=duu'
I det videre arbeidet skal vi behandle differensialene du og dx som størrelser vi kan behandle algebraisk, det vil si bruke i beregninger.
Metode: integrasjon ved variabelskifte
Integrasjon ved variabelskifte går ut på å omforme integranden, som er en funksjon av x, til en funksjon av u, ved å sette en del av funksjonen lik u. Det som er viktig når vi skal velge hva u skal være, er at den deriverte av u må være slik at den kan forkorte bort det som er igjen av x i uttrykket. Faktoren som settes lik u, vil ofte være faktoren med høyest grad, og den kan for eksempel være innholdet i en parentes, en eksponent, radikanden (det som står under et rottegn) eller nevneren i en brøk, og u angis ofte som "kjernen".
For å se hvordan dette blir tar vi utgangspunkt i følgende ubestemte integral:
∫2x·sinx2+1dx
Vi ser at integranden er et produkt av to faktorer, 2x og sinx2+1. Hvordan blir integralet hvis vi velger kjernen som u=x2+1?
Svar
Hvis vi velger kjernen som u=x2+1, blir integralet
∫2x·sinudx
Hva blir den deriverte av kjernen u=x2+1 ?
Svar
Den deriverte til kjernen, dudx, blir x2+1'=2x.
Vi har at
u=x2+1dudx=2xdx=du2x
Er det mulig å forkorte bort x og utføre integrasjonen hvis vi erstatter dx med du2x ?
Svar
Ja, det vil være mulig å forkorte bort 2x og deretter utføre integrasjonen.
∫2x·sinx2+1dx=∫2x·sinudu2x=∫sinudu
Etter å ha forkortet 2x mot 2x ser vi at integralet har u som variabel og du istedenfor dx. Vi kan da utføre integrasjonen med hensyn på u.
∫sinudu=-cosu+C=-cosx2+1+C
I den siste linja har vi "byttet tilbake", det vil si erstattet u med x2+1.
Det at den deriverte av x2+1 er 2x, gjør at variabelen x "forsvinner" i integranden, slik at integranden bare inneholder variabelen u. Dette er selve "nøkkelen" med metoden.
Her er ikke den deriverte til kjernen nøyaktig lik 3x+6, men begge uttrykkene inneholder faktoren x+2. Denne kan forkortes vekk, og dermed "forsvinner" variabelen x i integranden, slik poenget med metoden er.