På teorisiden "Den deriverte til sinusfunksjonen" viser vi at når , er f'x=cosx.
a) Bruk sammenhengene cosx=sinπ2-x og sinx=cosπ2-x til å finne den deriverte funksjonen til gx=cosx.
Tips til oppgaven
Du trenger kjerneregelen.
Løsning
g'x = cosx'= sinπ2-x'= cosπ2-x·-1= -sinx
Her må vi bruke kjerneregelen i tredje linje.
b) Finn den deriverte funksjonen til hx=tanx.
Tips til oppgaven
Bruk at tanx=sinxcosx og regelen for derivasjon av en brøkfunksjon. I forenklingen av resultatet trenger du sammenhengen cos2v+sin2v=1.
(Merk at cos2x betyr cosx2.)
Løsning
g'x = tanx'= sinxcosx'= cosx·sinx'-sinx·cosx'cosx2= cosx·cosx-sinx·-sinxcos2x= cos2x+sin2xcos2x= 1cos2x
Deriver funksjonene ved hjelp av derivasjonsregler.
a) fx=2sinx
Løsning
f'x=2cosx
b) fx=12sinπ6-x
Løsning
f'x=12cosπ6-x·-1=-12cosπ6-x
c) fx=13cos3x
Løsning
f'x=13-sin3x·3=-sin3x
d) fx=12sin2x
Løsning
f'x=12·2sinx·cosx=sinx·cosx
e) fx=2sin2x
Løsning
Vi skriver om funksjonen litt.
fx=2sin2x=2sin2x-1
f'x = 2·-1sin2x-2·cos2x·2= -4cos2xsin22x
f) fx=2sinx·cos2x
Løsning
f'x = 2sinx·-sin2x·2+cosx·cos2x= 2cosx·cos2x-2sinx·sin2x
g) fx=-sin2x+2sinx+1
Løsning
f'x=-2sinx·cosx+2cosx
h) fx=12tan2x
Løsning
f'x=12·1cos22x·2=1cos22x
i) fx=2x·sinx
Løsning
f'x = 22x·sinx+2x·cosx= sinxx+2x·cosx
j) fx=2x3cosx
Løsning
f'x = 2·3cosx-2x·-3sinx3cosx2= 6cosx+6xsinx9cos2x= 2cosx+xsinx3cos2x
k) fx=excos2x
Løsning
f'x = ex·cos2x+ex·-sin2x·2= excos2x-2sin2x
l) fx=lnx·tanπx
Løsning
f'x = 1x·tanπx+lnx·1cos2πx·π= tanπxx+π·lnxcos2πx
Når vi skal derivere trigonometriske funksjoner, er det forutsatt at vinkelen x er målt i radianer.
Hvordan deriverer vi funksjonen fv=sinv dersom v er målt i grader?
Løsning
Vi regner om fra v målt i grader til x målt i radianer. Det betyr at
x=v·180π
Da kan vi skrive funksjonen som
fx=sinπ180x
Videre får vi
f'x = cosπ180x·π180f'v = π180cosv