Hopp til innhold
Fagartikkel

Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Vi undersøker betydningen av parametrene i funksjonen f(x)=Asin(kx+𝜑)+d.

Utforsk den generelle sinusfunksjonen

Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som

fx=Asin(kx+φ)+d

I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre på parametrene A, k, φ og d ved å dra i gliderne.

Beskriv med ord hva som skjer når du endrer på hver av de fire parametrene.

Vi antar nå videre at både A og k er positive størrelser. Vi skal bruke den generelle sinusfunksjonen til å definere størrelsene periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning.

Periode

Den enkleste sinusfunksjonen,sinx, har en periode p=2π, som vi for eksempel kan måle på grafen til funksjonen som avstanden mellom to nabotoppunkter. Det er fordi at etter at vinkelen x har løpt fra π2 til 5π2, har x endret verdi med 2π. 2π tilsvarer én runde på enhetssirkelen. Etter det begynner funksjonsverdiene å gjenta seg. Dette er også diskutert på teorisiden om grafen til sinus- og cosinusfunksjonen.

I fagene naturfag og fysikk, der vi ikke kobler sinusfunksjoner til enhetssirkelen på samme måte, kaller vi ofte perioden for bølgelengde fordi den beskriver avstanden mellom to bølgetopper. I det elektromagnetiske spekteret er de ulike typene stråling sortert etter bølgelengde.

På den tilhørende oppgavesiden om grafen til trigonometriske funksjoner finner vi at funksjonen gx=sin2x har halvparten så lang periode, nemlig π. Vi resonnerer oss fram til at formelen for perioden til funksjonen gx=sinkx må være

p=2πk

Bevis for formelen

Vi ser på den generelle sinusfunksjonen fx=Asinkx+φ+d. Vi antar at vi ikke kjenner formelen for perioden fra før.

Finn f0 og fp. fp betyr at vi setter x=p, perioden, til funksjonen. (Perioden er ukjent foreløpig.)

Resultat

f0 = Asink·0+φ+d=Asinφ+dfp = Asinkp+φ+d

Når x går en periode fra 0 til p, må vi kreve at argumentet til sinusfunksjonen har økt med 2π, det vil si fra φ til φ+2π. Det betyr at

φ+2π = kp+φkp = 2πp = 2πk

Kontroller at formelen gir riktig svar når vi vet fra før at funksjonen gx=sin2x har periode p=π.

Resultat

I denne funksjonen har vi at k=2.

p=2πk=2π2=π

Legg merke til at perioden til den generelle sinusfunksjonen bare er avhengig av tallet k. Et konstant tillegg φ i argumentet til sinusfunksjonen påvirker ikke perioden.

I mange sammenhenger kalles tallet k for frekvensen til funksjonen. Dette kommer vi tilbake til i kapittelet om funksjonsanalyse og modellering.

En sinusfunksjon har periode p=π3. Hva blir tallet k i sinusfunksjonen da?

Resultat

Vi får

p = 2πkπ3 = 2πkk = 2·3= 6

Likevektslinje

Fra tidligere har vi at toppunktene til gx=sinx har y-koordinat 1 og bunnpunktene har y-koordinat -1. Det betyr at grafen til funksjonen er like mye over som under x-aksen, se bildet øverst på siden. Vi sier at grafen til sinx svinger rundt x-aksen. For denne funksjonen er det derfor x-aksen som er likevektslinje.

Vi definerer likevektslinje slik: Ei likevektslinje er ei vannrett linje som er plassert slik at grafen svinger like mye over og under denne linja. Likevektslinja ligger derfor midt mellom topp- og bunnpunktene.

Den generelle sinusfunksjonen fx=Asinkx+φ+d trenger ikke ha x-aksen som likevektslinje. Nedenfor kan du dra i fire glidere i det interaktive GeoGebra-arket og endre de ulike størrelsene i den generelle sinusfunksjonen.

Hvilken av gliderne er det som gjør at likevektslinja flytter seg?

Svar

Det er glideren for d som gjør at likevektslinja flytter seg. Legg merke til at uansett hvilken verdi d har, vil grafen svinge rundt likevektslinja.

Hva blir formelen for likevektslinja?

Svar

Vi ser at likevektslinja har samme verdi som d. Det betyr at likevektslinja har formelen

y=d

Likevektslinja ligger midt mellom en maksimalverdi og en minimalverdi for den generelle sinusfunksjonen. Skriv opp et uttrykk for likevektslinja dersom vi kjenner maksimalverdien fmaks og minimalverdien fmin til sinusfunksjonen.

Resultat

y-verdien til likevektslinja blir gjennomsnittet av maksimal- og minimalverdien.

y=fmaks+fmin2

Likevektslinje og periode

Du kan finne perioden p til en sinusfunksjon ved å lese av langs likevektslinja. Da må du lese av avstanden mellom to påfølgende skjæringspunkter med voksende graf og likevektslinja eller to påfølgende skjæringspunkter med avtagende graf og likevektslinja, se bildet.

Hva er perioden til den ukjente sinusfunksjonen på bildet? Vis utregning både ut ifra skjæringspunkter mellom likevektslinja og voksende graf, og mellom likevektslinja og avtagende graf.

Resultat

Perioden funnet med skjæringspunkter med voksende graf:

p=5π4-π4=π

Perioden funnet med skjæringspunkter med avtakende graf:

p=7π4-3π4=π

Hva blir avstanden mellom to naboskjæringspunkter mellom grafen og likevektslinja?

Forklaring

Siden grafen svinger rundt likevektslinja, vil avstanden mellom to naboskjæringspunkter være en halv periode. For denne grafen blir avstanden π2.

Vi sier at disse to punktene ikke er i samme svingetilstand siden stigningstallene til tangenten i punktene er forskjellige.

Amplitude

Avstanden fra likevektslinja til et topp- eller bunnpunkt på grafen kaller vi amplituden til funksjonen. Amplituden forteller hvor stort utslaget til sinusfunksjonen er fra likevektslinja, se bildet nedenfor.

Hva er amplituden A til funksjonen på bildet?

Svar

Amplituden til funksjonen på bildet er 1.

Bruk det interaktive GeoGebra-arket nedenfor til å finne hvilke av de fire gliderne som påvirker amplituden til sinusfunksjonen.

Forklaring

Det er glideren for A som bestemmer amplituden til funksjonen. Ingen av de andre gliderne påvirker amplituden.

Hva er sammenhengen mellom amplituden og verdien til glideren A?

Svar

Amplituden til sinusfunksjonen er lik verdien til glideren A. Amplituden til den generelle sinusfunksjonen fx=Asinkx+φ+d er derfor tallet A.

Vi kan finne amplituden til en ukjent sinusfunksjon ut ifra grafen på flere måter.

Skriv opp en formel for amplituden ut ifra

  • maksimalverdien fmaks til sinusfunksjonen og verdien d til likevektslinja y=d

  • fmin og d

  • fmin og fmaks

Resultat

Amplituden er differansen mellom maksimalverdien til funksjonen og verdien til likevektslinja. Vi får

A=fmaks-d

Vi kan også regne ut amplituden ved hjelp av d og fmin, minimalverdien til funksjonen f.

A=d-fmin

Hvis vi måler avstanden mellom fmaks og fmin, får vi det dobbelte av amplituden. Det gir

2A = fmaks-fminA = 12fmaks-fmin

Bevis den siste formelen i resultatboksen over ut ifra de to første.

Svar

I den siste formelen inngår ikke d. Vi kan eliminere d ut ifra de to første formlene.

A = fmaks-dd=fmaks-AA = d-fmin= fmaks-A-fmin2A = fmaks-fmin A = 12fmaks-fmin 

Hvilken funksjon g har vi tegnet grafen til på bildet?

Forklaring

Grafen har likevektslinje y=0,5, så vi har at d=0,5 sammenliknet med den generelle sinusfunksjonen. Amplituden er 1. Hvis vi et øyeblikk later som om likevektslinja er x-aksen, får vi grafen til sinx. Det betyr at grafen på bildet er grafen til funksjonen

gx=sinx+0,5

Kontroller at dette stemmer ved å bruke det interaktive GeoGebra-arket ovenfor.

Faseforskyvning

På teorisiden om grafen til sinusfunksjonen har vi at grafen til sinx+π2 er lik grafen til sinx, men forskjøvet en lengde π2 til venstre. Vi sier at grafen til sinx+π2 er faseforskjøvet i forhold til grafen til en tilsvarende sinusfunksjon uten et tillegg i argumentet.

Det er vanlig å regne faseforskyvning til høyre som positiv. I det interaktive GeoGebra-arket kan du dra i glideren for φ og observere faseforskyvningen til den blå, heltrukne grafen i forhold til den grå, stiplede grafen der φ=0.

Den grå, stiplede grafen er grafen til f0x=Asinkx+0+d. For denne grafen er φ=0. Alle sinusfunksjoner der φ=0, skjærer y-aksen der likevektslinja skjærer y-aksen, for x=0. I dette punktet vil funksjonen alltid være voksende fordi leddet Asinkx+0=0 når x=0, og når x-verdiene øker fra null, øker også sinusverdiene og dermed funksjonsverdiene. Vi får at f00=d. (Funksjonsverdien er også lik d når kx=π, men da er funksjonen avtagende.)

Nullstill det interaktive GeoGebra-arket med knappen med det runde pilsymbolet øverst til høyre før du går videre. Hvor har vi tilsvarende skjæringspunkt med likevektslinja for den andre grafen på bildet, den blå grafen til fx=Asinkx+φ+d?

Forklaring

Vi må finne tilsvarende sted der den blå grafen er voksende. Vi kan se av grafen at dette er oppfylt for x=-π2.

Hvordan kan vi vite at dette er rett sted?

Det rette stedet har vi når argumentet til funksjonen er null, det vil si når kx+φ=0. Det vil si når

x=-φk

Hvis du har nullstilt GeoGebra-arket, har vi at k=1 og φ=π2. Dette gir

x=-φk=-π21=-π2

Merk at funksjonene f og f0 har ellers lik form, de har samme likevektslinje, amplitude og periode.

Grafen til funksjonen f er parallellforskjøvet en avstand -φk langs x-aksen i forhold til grafen til f0.

Vi sier at fx har faseforskyvningen xf=-φk. Faseforskyvningen er enten en negativ x-verdi til venstre for y-aksen hvor grafen til fx skjærer likevektslinja for voksende funksjonsverdier, eller en positiv x-verdi til høyre for y-aksen der grafen til fx skjærer likevektslinja for voksende funksjonsverdier.

Regn ut faseforskyvningen når φ=-π2 og k=0,5. Kontroller svaret ved hjelp av det interaktive GeoGebra-arket.

Resultat

Faseforskyvningen blir

xf=-φk=--π2  12=π

Faseforskyvningen er mot høyre siden den er positiv. Dette stemmer med det interaktive GeoGebra-arket når vi setter φ=-π2 og k=0,5 med gliderne.

Sinusfunksjoner i fase med hverandre

To sinusfunksjoner med samme periode (samme k og derfor samme frekvens) og samme faseforskyvning (samme 𝜑), sier vi er i fase siden de har toppunkter og bunnpunkter for de samme x-verdiene. Dette er tilfellet med de to funksjonene f og g på bildet nedenfor.

Skissering av trigonometriske funksjoner

Det kan være nyttig å kunne lage en skisse av grafen til en sinusfunksjon. Hvis vi skal lage en skisse av grafen til funksjonen fx=2sinx-π2+1 uten hjelpemidler, vil vi ha god nytte av å finne de fire størrelsene periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyvning først.

Finn disse størrelsene for funksjonen f.

Løsning
  • Likevektslinje: y=1

  • Amplitude: A=2

  • Faseforskyvning: xf=-φk=--π21=π2

  • Periode: p=2πk=2π1=2π

Tenk gjennom hvordan du vil bruke disse størrelsene når du skal lage skissen. Skriv en framgangsmåte for hvordan du lager skissen.

Forslag til framgangsmåte
  1. Begynn med å tegne likevektslinja.

  2. Tegn y-aksen slik at likevektslinja krysser midt på. Lengden og skalaen på aksen må være slik at det er litt mer enn amplituden både opp fra likevektslinja og ned fra likevektslinja.

  3. Tegn x-aksen. Skalaen må være slik at det er plass til omtrent to perioder.

  4. Marker faseforskyvningen med pil langs likevektslinja.

  5. Marker punktet på likevektslinja som ligger 1 periode til høyre for faseforskyvningen.

  6. Marker også punktet på likevektslinja som ligger 12 periode til høyre for faseforskyvningen.

  7. Vi kan tegne flere skjæringspunkter mellom grafen og likevektslinja ut ifra de tre vi har.

  8. Grafen vil ha et toppunkt for x-verdien midt mellom x-verdiene til F og Q og et bunnpunkt for x-verdien mellom x-verdiene til Q og P. Punktene vil ligge i en avstand lik amplituden fra likevektslinja.

  9. Vi kan tegne flere toppunkter ved å gå 1 periode til høyre eller venstre fra det første. Det samme gjelder bunnpunktene.

  10. Nå kan selve grafen skisseres.

På bildet har vi fulgt framgangsmåten i forslaget over bortsett fra at vi ikke har gjort det som står i det siste punktet. Hva vet vi om grafen i punktene F, P og Q?

Forklaring

Punktet F markerer faseforskyvningen og ligger derfor i en avstand xf fra y-aksen. Da vet vi at grafen går gjennom punktet og er stigende.

Punktet P ligger 1 periode til høyre for F. Da vet vi at grafen går gjennom dette punktet og er stigende siden grafen må være i samme svingetilstand i P som i F.

Punktet Q ligger en halv periode til høyre for F. Da vet vi at grafen går gjennom dette punktet og er synkende.

Til slutt kan vi skissere selve grafen.



Oppsummering

En funksjon f gitt ved fx=Asinkx+φ+d har

  • periode p=2πk

  • likevektslinje y=d

  • amplitude A

  • faseforskyvning xf=-φk

Når φ er negativ, er faseforskyvningen xf positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre.

Når φ er positiv, er faseforskyvningen xf negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre.

I noen sammenhenger bruker vi betegnelsen bølgelengde i stedet for periode.

Film om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0