Kuleflater

Ei kuleflate i tre dimensjoner kan beskrives matematisk på flere måter, ikke ulikt slik vi kan beskrive en sirkel i planet på flere måter. Her skal vi jobbe mest med likningsframstilling for kuleflater, men hvis du ønsker ekstra fordypning, kan du også jobbe med parameterframstilling av kuleflater lenger ned i artikkelen.

På figuren har vi tegnet ei kule med sentrum i $$ S$$ og radius $r$. Kuleflata er samlingen av alle punkter $P$ som har avstanden $r$ fra $$ S$$.

Vi lar $$ P(x,y,z)$$ være et punkt på kuleflata.
Da vet vi at $$ \overline{)\overline{)\overrightarrow{SP}}}=r$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl} \overline{)\overline{)\overrightarrow{SP}}} & = & r\\ \overline{)\overline{)\left[x-x_0,y-y_0,z-z_0\right]}}& =& r\\ \sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2}& =& r\\ {\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2& =& r^2\end{array}$$

Vi har nå en likning for kuleflata.

Hvis origo er sentrum i kula, blir likningen for kuleflata

$x^2+y^2+z^2=r^2$

Når likningen for ei kuleflate er gitt på formen ovenfor, er det lett å finne sentrum og radius i kula.

Eksempel

Finn sentrum og radius til ei kule når likningen for kuleflata er gitt ved

$(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-6{)}^2=5^2$

Eksempel

Ofte er ikke likningen til kuleflata ordnet slik at vi kan lese ut sentrum og radius direkte. Likningen nedenfor beskriver også ei kuleflate:

$x^2+2x+y^2-6y+z^2=-1$

For å finne sentrum og radius i denne kula må vi bearbeide uttrykket litt.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi omforme likningen slik at vi kan lese ut koordinatene til sentrum i kula og radien til kula?

Vi lager fullstendige kvadrater av leddene med $x$, leddene med $y$ og leddene med $z$ hver for seg. Da gjelder det å huske hvordan vi gjør det! Se teorisiden "En sirkel i planet" hvis du vil ha en repetisjon.

$$ \begin{array}{rcl} x^2+2x+y^2-6y+z^2& = & -1\\ x^2+2x+1^2-1^2+y^2-6y+3^2-3^2+z^2& =& -1\\ \underset{{\left(x+1\right)}^2 }{\underbrace{x^2+2x+1} + }\underset{{\left(y-3\right)}^2}{\underbrace{y^2-6y+9}}+z^2& =& -1+1+9\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+z^2& =& 3^2\end{array}$$

Dette er altså likningen for ei kuleflate med sentrum i $$ \left(-1,3,0\right)$$ og med radius $3$.

Dersom likningen ikke kan skrives på formen ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=r^2$, er det ikke likningen for ei kuleflate.

Det er flere måter å lage en parameterframstilling av ei kuleflate på. Akkurat som for et plan trenger vi to parametre for å lage en parameterframstilling for ei kuleflate. Vi velger her å bruke en parameterframstilling der de to parametrene er vinkler. Disse har vi kalt $$ u$$ og $$ v$$ på figuren.

Vi ser på ei kule med radius $r$ plassert med sentrum i origo. Vi lar $$ P(x,y,z)$$ være et vilkårlig punkt på kuleflata slik at $$ \left|\overrightarrow{OP}\right|=r$$.

Normalen fra $$ P$$ ned til $$ xy$$-planet treffer $$ xy$$-planet i punktet $$ B\left(x,y,0\right)$$. Punktet $$ B$$ får samme $$ x$$- og $$ y$$-koordinat som punktet $$ B$$.

$$ u$$ er vinkelen mellom $$ \overrightarrow{OP}$$ og $$ \overrightarrow{OB}$$ på figuren, og $$ v$$ er vinkelen mellom $$ \overrightarrow{OB}$$ og $$ x$$-aksen ($$ \overrightarrow{OA}$$).

Nå må vi finne vinklene $$ u$$ og $$ v$$ uttrykt ved de andre størrelsene i figuren. Det får vi ved å ta sinus og cosinus til vinklene. Siden punktene på figuren danner to rettvinklede trekanter, får vi

$$ \begin{array}{lcl}\sin u=\frac{\left|\overrightarrow{BP}\right|}{\left|\overrightarrow{OP}\right|}=\frac{z}{r}& \Rightarrow & z=r·\sin u\\ \cos u=\frac{\left|\overrightarrow{OB}\right|}{\left|\overrightarrow{OP}\right|}=\frac{\left|\overrightarrow{OB}\right|}{r}& \Rightarrow & OB=r·\cos u\\ \cos v=\frac{\left|\overrightarrow{OA}\right|}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{x}{r·\cos u}& \Rightarrow & x=r·\cos u·\cos v\\ \sin v=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{y}{r·\cos u}& \Rightarrow & y=r·\cos u·\sin v\end{array}$$

Det vilkårlige punktet $$ P$$ er da beskrevet ved parametrene $$ u$$ og $$ v$$. Ei kuleflate $$ k$$ med sentrum origo og med radius $$ r$$ har derfor parameterframstillingen

$$ k:\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=r·\cos u·\cos v\\ y=r·\cos u·\sin v\\ z=r·\sin u\end{array}\end{array}\right.$$

Den tilsvarende vektorfunksjonen for kuleflata blir

$$ \overrightarrow{OP}=\left[r·\cos u·\cos v,r·\cos u·\sin v,r·\sin u\right]$$

🤔 Tenk over: Hva er definisjonsområdet til $$ u$$ og $$ v$$?

🤔 Tenk over: Hva skjer med parameterframstillingen dersom vi flytter sentrum av kula til punktet $$ S\left(x_0,y_0,z_0\right)$$?

Eksempel

Ei kuleflate med radius lik $5$ og sentrum i origo har vektorfunksjonen

$$ \overrightarrow{OP}=\left[5\cos u·\cos v,5\cos u·\sin v,5\sin u\right]$$

Vi kan flytte sentrum i kula til punktet $$ (0,0,20)$$ ved å øke $$ z$$-koordinaten til vektorfunksjonen med 20:

$$ \overrightarrow{OP}=\left[5\cos u·\cos v,5\cos u·\sin v,20+5\sin u\right]$$

Vi får tegnet kula i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra ved å skrive inn likningen eller vektorfunksjonen for kuleflata i algebrafeltet eller i CAS-feltet. Vektorfunksjonen i det siste eksempelet over kan vi skrive inn i CAS-feltet som

r(u,v):=(5·cos(u)·cos(v),5·cos(u)·sin(v),20+5·sin(u))

Vi kan også bruke kommandoen "Kule(Punkt, Radius)" dersom vi kjenner sentrum og radien i kula. En annen variant av kommandoen er "Kule(Punkt, Punkt)" der det første punktet er sentrum i kula og det andre punktet ligger på kuleflata.