Parameterframstillinger for linjer og kurver i rommet

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=-4-30t\\ y=3t\\ z=2+7t\end{array}\right.$$

Vektoren er en retningsvektor for linja siden den er parallell med linja. Da blir en parameterframstilling for linja $$ m$$

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=3+3t\\ z=6t\end{array}\right.$$

En retningsvektor for $$ n$$ er

$$ \left[9-7,8-\left(-2\right),7-\frac{1}{2}\right]=\left[1,10,\frac{13}{2}\right]$$

En parameterframstilling for $$ n$$ er da

$$ n:\left\{\begin{array}{l}x=7+t\\ y=-2+10t\\ z=\frac{1}{2}+\frac{13}{2}t\end{array}\right.$$

$$ x$$-aksen går gjennom origo. En retningsvektor for $$ x$$-aksen er $$ {\overrightarrow{e}}_x=\left[1,0,0\right]$$. En parameterframstilling $$ x_a$$ for $$ x$$-aksen er derfor

$$ x_a:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}\right.$$

Her trenger vi ikke tenke i tre dimensjoner siden linja ligger i $$ xy$$-planet. Når vinkelen med $$ y$$-aksen er $$ \frac{\pi }{4}$$, betyr det at stigningstallet til linja enten er $$ 1$$ eller $$ -1$$. Det vil derfor være to mulige linjer som oppfyller disse kravene, se figuren nedenfor.

En retningsvektor for linja som går på skrå opp til høyre, kan vi finne ved å tenke at når vi går én enhet i positiv $$ x$$-retning, øker $$ y$$-verdien med 1. Dette tilsvarer vektoren $$ \left[1,1,0\right]$$ siden både $$ x$$- og $$ y$$-koordinaten øker med 1. Vektoren vil være en retningsvektor for linja, og en parameterframstilling for denne linja er derfor

$$ l_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=0\end{array}\right.$$

Tilsvarende betraktning med den andre linja gir oss retningsvektoren $$ \left[1,-1,0\right]$$. En parameterframstilling for denne linja er derfor

$$ l_2:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=0\end{array}\right.$$

Linja $$ p$$ tegner vi vanligvis i et todimensjonalt koordinatsystem, det vil si i $$ xy$$-planet, som betyr at $$ z=0$$. Vi får fra konstantleddet at linja går gjennom punktet $$ \left(0,2,0\right)$$. At stigningstallet er $$ -3$$, betyr at når vi går én enhet i positiv $$ x$$-retning, går vi tre enheter i negativ $$ y$$-retning. Det betyr at en retningsvektor for linja er $$ \left[1,-3,0\right]$$. En parameterframstilling for linja $$ p$$ er

$$ p:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2-3t\\ z=0\end{array}\right.$$

Vi har et punkt på linja og en retningsvektor for linja. Da kan vi sette opp parameterframstillingen

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=4t\\ z=-3+2t\end{array}\right.$$

Vi ser på $$ x$$-koordinaten først og regner ut hva parameteren $$ t$$ er når $$ x=1$$. Deretter tester vi at denne $$ t$$-verdien gir riktig $$ y$$- og $$ z$$-koordinat.

$$ 1=2-t \iff t=2-1=1$$

$$ \begin{array}{rcl}y & =& 4t=4·1=4\\ z & =& -3+2t=-3+2·1=-1\end{array}$$

Vi får riktig $$ y$$- og $$ z$$-koordinat, så linja $$ l$$ går også gjennom punktet $$ Q\left(1,4-1\right)$$.

Vi skriver

Kurve(2-t,4t,-3+2t,t,-2,5)

inn i algebrafeltet. Da får vi figuren nedenfor. Vi har valgt å la $$ t$$ gå fra $$ -2$$ til 5.

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=4+2t\\ z=4+2t\end{array}\right.$$

Vi setter $$ x$$-koordinaten lik 0.

$$ 0=2+t \iff t=-2$$

Vi setter inn denne $$ t$$-verdien i $$ y$$- og $$ z$$-koordinatene.

$$ y=z=4+2·\left(-2\right)=4-4=0$$

Linja $$ l$$ går gjennom origo.

Vi kan lage en enklere parameterframstilling med utgangspunkt i punktet origo. Parameterframstillingen for linja $$ l$$ blir da

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=2t\end{array}\right.$$

Vi kan for eksempel multiplisere vektoren $$ \left[1,2,2\right]$$ med $$ -\frac{1}{2}$$. Resultatet vil fortsatt være en retningsvektor for linja siden $$ k·\left[1,2,2\right]$$ er parallell med $$ \left[1,2,2\right]$$. Vi får

$$ -\frac{1}{2}·\left[1,2,2\right]=\left[-\frac{1}{2},-1,-1\right]$$

En annen parameterframstilling for linja $$ l$$ blir

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{t}{2}\\ y=-t\\ z=-t\end{array}\right.$$

En retningsvektor for $$ m$$ vil være

$$ \overrightarrow{AB}=\left[2-\left(-3\right),-3-2,-2-2\right]=\left[5,-5,-4\right]$$

En parameterframstilling for $$ m$$ blir derfor

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=-3+5t\\ y=2-5t\\ z=2-4t\end{array}\right.$$

Vektoren $$ \left[-2,0,-3\right]$$ er posisjonsvektoren til punktet $$ \left(-2,0,-3\right)$$, som ligger på linja. Vektoren $$ \left[1,1,2\right]$$ er retningsvektor for linja. En parameterframstilling for linja er derfor

$$ m:\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=t\\ z=-3+2t\end{array}$$

Vi løser hver av koordinatlikningene med hensyn på $$ t$$.

$\begin{array}{rcl}x& = & 3+2t \Rightarrow t=\frac{x-3}{2}\\ & & \\ y& =& 4+4t \Rightarrow t=\frac{y-4}{4}\\ & & \\ z& =& 2+8t \Rightarrow t=\frac{z-2}{8}\end{array}$

Dette gir

$\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-2}{8}$

Vi får ikke en likningsframstilling bestående av én likning. Vi får i stedet to (tre) likninger som til sammen kan betraktes som en likningsframstilling for linja. Det er derfor oftest hensiktsmessig å beskrive linjer i rommet på parameterform.

For at kurven skal skjære $$ y$$-aksen, må vi kreve at $$ x=0$$ og $$ z=0$$. Den første likningen gir

$$ \begin{array}{rcl}-3+\frac{1}{2}t & =& 0\\ \frac{1}{2}t & =& 3\\ t\hspace{0.17em}& =& 6\end{array}$$

$$ z$$-koordinaten må være lik 0 for samme $$ t$$-verdi.

$$ 2·\sin 6\ne 0$$

Kurven skjærer derfor ikke $$ y$$-aksen.

Det er $$ z$$-koordinaten som styrer hvordan kurven beveger seg i høyden dersom vi assosierer positiv $$ z$$-retning som oppover. Hvis vi lar $$ z$$-koordinaten få et lineært tillegg $$ t$$, vil bølgemønsteret gå lineært oppover.

En sirkel med sentrum i origo vil ha en posisjonsvektor som har konstant lengde uansett verdi på $$ t$$.

$$ \overrightarrow{OP}=\left[0,2\cos t,2\sin t\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{OP}\right| & =& \sqrt{0^2+{\left(2\cos t\right)}^2+{\left(2\sin t\right)}^2}\\ & =& \sqrt{4{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}t}\\ & =& \sqrt{4\left({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t\right)}\\ & =& 2\end{array}$$

Vi bruker den samme tenkemåten som i oppgave a).

$$ \overrightarrow{OP}=\left[0,a\cos t,2\sin t\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{OP}\right| & =& \sqrt{0^2+{\left(a\cos t\right)}^2+{\left(2\sin t\right)}^2}\\ & =& \sqrt{a^2{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}t}\\ & =& \sqrt{a^2{\cos }^{2}t+4\left(1-{\cos }^{2}t\right)}\\ & =& \sqrt{a^2{\cos }^{2}t+4-4{\cos }^{2}t}\\ & =& \sqrt{\left(a^2-4\right){\cos }^{2}t+4}\end{array}$$

Dersom $$ \left|\overrightarrow{OP}\right|$$ skal være konstant, må vi kreve at

$$ \begin{array}{rcl}{a}^2-4 & =& 0\\ a^2 & =& 4\\ a & =& -2 \vee a=2\end{array}$$

Kurven $$ m$$ er en sirkel dersom $$ a=-2 \vee a=2$$.