Statistiske størrelser i et gruppert datamateriale

Medianen er den midterste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiene er sortert i stigende rekkefølge. Vi ser på eksempelet vårt med 1 000 rekrutter (se lenke nederst på siden). Vi har lagt til en kolonne med kumulativ frekvens i tabellen.

Medianen vil etter vanlig definisjon være høyden til rekrutt nummer

$$ \frac{1 000+1}{2}=500,5$$

I utgangspunktet skal derfor medianen være gjennomsnittshøyden til rekrutt nummer 500 og rekrutt nummer 501 dersom vi sorterer alle rekruttene i stigende rekkefølge etter høyden.

I hvilken av klassene ligger rekrutt nummer 500 og nummer 501?

Det er mulig å finne en mer presis verdi for medianen, men da må vi legge noen forutsetninger til grunn. Vi antar at rekruttene i klassen $$ $ [170,175⟩$$$ er jevnt fordelt på alle høydene i klassen. Dette er ikke sikkert, men jo større antall det er i klassen, jo mer sannsynlig er det. Den medianen vi nå finner, er derfor bare den medianen som er mest sannsynlig. Derfor gir det heller ikke mening å regne ut medianen som gjennomsnittet av tall nummer 500 og 501. I slike tilfeller med to tall i midten velger vi at medianen er det første tallet. Medianen blir derfor høyden til rekrutt nummer 500.

I klassen $$ $ [170,175⟩$$$ er det 323 rekrutter. Rekrutt nummer 500 er rekrutt nummer  $500-388=112$  fra venstre klassebredde. Vi tenker oss fortsatt at det er like mange rekrutter på hver høyde i klassen. Medianrekrutten må da ha høyde en brøkdel $$ \frac{112}{323}$$ av 5 cm (klassebredden) ut fra nedre klassegrense. En tilnærmet verdi for medianhøyden blir da

$$ \left(170+\frac{112}{323}·5\right)\mathrm{cm}=171,7 \mathrm{cm}$$

GeoGebra har dessverre ingen kommando for å finne medianen i et gruppert datamateriale.

Gjennomsnittshøyden i et gruppert datamateriale blir heller ikke en eksakt verdi. For å finne en tilnærmet riktig verdi lar vi alle rekrutter i den samme klassen ha den samme høyden, nemlig klassemidtpunktet. Klassemidtpunktet regnes ut som middelverdien av nedre og øvre klassegrense.

Hva blir klassemidtpunktet i klassen $$ $ $ [175,180⟩$$$$?

Det betyr at når vi skal regne ut gjennomsnittet, antar vi at vi har 204 rekrutter med høyde 177,5 cm. Vi gjør tilsvarende for de andre klassene.

For å finne en tilnærmet riktig verdi for gjennomsnittshøyden kan vi bruke tilsvarende metode som vi har brukt for å finne gjennomsnittskarakteren i klassen til Mary Ann.

Hva blir gjennomsnittshøyden ut ifra tallene i tabellen over?

Bruk regnearkdelen i GeoGebra til å lage tabellen over. Du kan laste ned en mal nedenfor.

Regn ut i regnearkdelen gjennomsnittet i det grupperte materialet. Kontroller at du får det samme svaret som i utregningen over.

Det er enklere å bruke den innebygde kommandoen "gsnitt()" i GeoGebra til å finne gjennomsnittsverdien. Lag de listene du trenger, og bruk denne kommandoen til å finne gjennomsnittshøyden til rekruttene. Får du fortsatt det samme svaret?

Nederst på sida kan du laste ned et ferdig GeoGebra-ark til oppgavene på denne sida.

I kommandoen "gsnitt()" kan du erstatte lista med klassemidtpunktene med ei liste med klassegrensene, hvis du ønsker det. Hvordan vet GeoGebra hva slags liste du legger inn?

Når vi skal finne standardavviket i et gruppert datamateriale, har vi den samme tilnærmingen som da vi regnet ut gjennomsnittet over, nemlig å si at alle tallene i en klasse har den samme verdien: klassemidtpunktet. Derfor kan vi regne ut standardavviket for et gruppert datamateriale på den samme måten som standardavviket for et ugruppert datamateriale. Det er bra, for GeoGebra har ingen egen funksjon for å finne standardavvik i et gruppert datamateriale. Framgangsmåten for å finne standardavviket i et ugruppert datamateriale er vist på teorisida "Spredningsmål" (se lenke nederst på sida).

Vi ønsker nå å finne standardavviket i eksempelet med høyden på rekruttene i 1910. Hvilket av de to typene standardavvik skal vi bruke?

Hva blir kommandoen for å regne ut standardavviket i det grupperte datamaterialet over høyden til rekruttene i 1910? Vi antar at du har lagd ei liste "klassemidtpunkt" med klassemidtpunktene og ei liste "frekvenser" med frekvensene.

Nedenfor kan du laste ned et GeoGebra-ark der vi har funnet gjennomsnittet og standardavviket på måtene vist ovenfor.