Ulikheter av andre grad
1.3.20
Løs ulikhetene ved regning for hånd og grafisk. Kontroller svaret med CAS.
a)
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
Denne ulikheten er ferdig ordnet. Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Vi vet nå at uttrykket
For
For
For
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av
Dette ser vi også uten testing. Andregradsleddet i uttrykket er positivt, som betyr at grafen til uttrykket har et bunnpunkt. Da må uttrykket være mindre enn null mellom nullpunktene og ikke andre steder.
Grafisk løsning:
Vi setter
Ulikheten spør etter når funksjonen
Løsning med CAS:
b)
Løsning
Løsning ved regning:
Vi finner først nullpunktene.
Vi vet nå at uttrykket
Hvis du er usikker, kan du teste med
Grafisk løsning:
Vi setter
Ulikheten spør etter når funksjonen
Løsning med CAS:
c)
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
Vi finner først nullpunktene.
Vi vet nå at uttrykket
Siden andregradsleddet i uttrykket er positivt, betyr det at grafen til uttrykket har et bunnpunkt. Uttrykket er derfor større enn 0 utenfor området mellom nullpunktene. Ulikheten spør også etter når uttrykket er lik 0, så nullpunktene skal være med i løsningen. Ulikheten har derfor løsningen
Grafisk løsning:
Vi setter
Ulikheten spør etter når funksjonen f er større enn eller lik null. Det er den delen av grafen som er over x-aksen inkludert nullpunktene som vi må se etter. Det er når
Løsning med CAS:
d)
Løsning
Vi viser bare løsning ved regning her.
Løsning ved regning for hånd:
Vi finner først nullpunktene.
Ulikheten spør etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Siden andregradsleddet er negativt og grafen til uttrykket har et toppunkt, vil løsningen være området utenfor området mellom nullpunktene, men inkludert nullpunktene. Løsningen er
Løsning med CAS:
e)
Løsning
Vi viser bare løsning ved regning her.
Løsning ved regning for hånd:
Her mangler førstegradsleddet. Da slipper vi å bruke abc-formelen når vi skal finne nullpunktene.
Ulikheten spør etter når uttrykket er større enn 0. Siden andregradsleddet er negativt, har grafen til uttrykket et toppunkt, og løsningen blir området mellom nullpunktene.
Løsningen er
Løsning med CAS:
1.3.21
Løs ulikhetene ved regning for hånd og grafisk.
a)
Løsning
Vi viser bare løsning ved regning her.
Løsning ved regning for hånd:
Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Vi vet nå at uttrykket
Løsning med CAS:
b)
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Vi vet nå at uttrykket
Grafisk løsning:
Vi velger å bruke den opprinnelige ulikheten, ikke den ordnede varianten. Vi setter
Ulikheten spør etter når grafen til
Løsning med CAS:
c)
Løsning
Vi viser bare løsning ved regning her.
Løsning ved regning for hånd:
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Vi vet nå at uttrykket
Løsning med CAS:
d)
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Her er det bare ett nullpunkt. Vi vet nå at uttrykket
Grafisk løsning:
Vi velger å bruke den opprinnelige ulikheten, ikke den ordnede varianten. Vi setter
Ulikheten spør etter når grafen til
Løsning med CAS:
Merk måten GeoGebra skriver løsningen på her.
e)
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Her er det ingen reelle løsninger. Uttrykket har altså ingen nullpunkter, og det er derfor ingen steder uttrykket kan skifte fortegn. Grafen til uttrykket må derfor enten alltid ligge over
Grafisk løsning:
Vi velger å bruke den opprinnelige ulikheten, ikke den ordnede varianten. Vi setter
Vi får ingen skjæringspunkter. Ulikheten spør etter når grafen til
Løsning med CAS:
1.3.22
En bedrift produserer
viser kostnadene i kroner ved produksjon av
Bedriften kan maksimalt produsere 200 enheter per dag. De produserte enhetene selges for 45 kroner stykket. Inntektene er da gitt ved
a) Lag en funksjon
Tips til oppgaven
Husk at overskudd er forskjellen mellom inntekter og kostnader.
Løsning
Overskudd er differansen mellom inntekter og kostnader, og overskuddet
Oppgaven kan regnes for hånd, men vi velger å løse med CAS der vi skriver inn funksjonene
b) Når er overskuddet større enn 1 000 kroner?
Tips til oppgaven
Sett opp en ulikhet med
Løsning
Vi må løse ulikheten
Bedriften må produsere mer enn 44 enheter og mindre enn 136 enheter for at overskuddet skal bli større enn 1 000 kroner.
c) Hvordan må produksjonen være for at bedriften skal gå med overskudd?
Løsning
Når bedriften går med overskudd, er
Bedriften må produsere mer enn 11 enheter og mindre enn 169 enheter for å gå med overskudd.
d) Kunne du ha løst oppgave b) og c) uten å sette opp ulikheter?
Løsning
Vi har at overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Det betyr at grafen til funksjonen har et toppunkt. Det betyr videre at når vi setter overskuddsfunksjonen lik en verdi (altså setter opp en likning), vil alltid funksjonen ha høyere verdi for
Du kan lese mer om dette eksempelet under hvis du vil.
Relatert innhold
1.3.23
Vi skal lage ei eske uten lokk av ei rektangelformet papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat i hvert hjørne. Deretter bretter vi opp kantene og får ei eske med høyde lik sidekanten av kvadratet vi klippet bort. Se figuren nedenfor.
a) Finn en funksjon
Løsning
Når vi klipper bort kvadrater med sidekant lik
Vi finner volumet ved å multiplisere arealet av eskebunnen med høyden av eska, som er
Volumfunksjonen blir altså en tredjegradsfunksjon.
b) Hvilke verdier kan
Løsning
Vi kan ikke klippe bort mer enn halve sidekanten av pappstykket. Den minste sidekanten er 40 cm, altså må vi klippe bort mindre enn 20 cm for at det skal bli ei eske.
c) Hvor mye skal vi klippe bort for at volumet av eska skal bli større enn 5 L?
Tips til oppgaven
Husk å ha samsvarende måleenheter når du regner.
Løsning
Vi ser på måleenhetene først. Volumet vi skal sammenlikne med, er oppgitt i L (liter). I volumfunksjonen har vi multiplisert sammen tre lengder som måles i cm. Det betyr at måleenheten til volumfunksjonen er cm3. Da får vi at
For å svare på spørsmålet, må vi løse ulikheten
Vi løser oppgaven med CAS.
Løsningen sier at
Vi må klippe bort kvadrater med sidekant mellom 3,54 cm og 12 cm for at volumet av den eska vi får, skal være minst 5 L.
1.3.24
Forklar hvorfor ulikhetene ikke har noen løsning.
a)
Løsning
b)
Løsning
Verken
1.3.25
Løs ulikheten
Tips til oppgaven
Test uttrykket ved å sette inn
Løsning
Det er bare i nullpunktene at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar derfor stikkprøver for
For
For
For
For
Ulikheten spør etter når uttrykket er større enn null. Det er i de intervallene der testene ga et positivt tall som resultat.
Løsningen på ulikheten er